第 7 章 进化博弈论简介

• 可见，不存在y，使得x<y时小甲虫的期望收益 超过大甲虫。因此，策略―小体态‖不是进 化稳定的。
体态博弈中的进化稳定策略：考察大体态
甲虫2
小的 小的 甲虫1 大的
x
5, 5 8, 1
大的 (1-x) 1, 8 3, 3
• 考虑一个很小的正数x，总体中x占比为小 体态，1-­­x占比甲虫为大体态。
• 每只甲虫的策略都是由遗传基因硬性决定的
– ―策略选择‖的概念在此是缺失的
• 因此以策略选择为基础的纳什均衡思想在 此没有直接的对应 • 但我们可有一个平行的概念－－―进化稳 定策略‖的概念
（下面我们先学习这个概念，然后看它和纳什 均衡的关系）
进化稳定策略
• 一个策略称为是进化稳定的，若当整个种群都采 取这个策略时，任何采用不同策略的小规模 ―入侵‖群体经过多代遗传后最终会消亡。 • 形式化定义
– 也就是，在互动中，p种群能比q种群更具适 应能力，从而能抑制q种群的蔓延吗？
• 若是，则称p是进化稳定混合策略
进化混合策略下的收益
第二类生物
S（q） T（1-­­q）
第一类 生物
S（p） T（1-­­p）
a, c,
a b
b, d,
c d
• 我们首先来看两个采用不同混合策略的生物体 相遇互动时的收益期望（p, q的函数） • 然后再看根据在总体中的占比，两种生物体随 机相遇所导致的收益期望（x, p, q 的函数） • 讨论最后这两个期望的大小，判断是否进化稳定
• 例子：病毒博弈
– 噬菌体Φ6病毒。这种病毒感染细胞，而且产 生自我复制（繁殖）所需的产物。 – 它的一种基因变异体称为噬菌体ΦH2，自身繁 殖能力较弱，但能够利用Φ6的化学产物，于 是当和病毒噬菌体Φ6同时存在时，噬菌体ΦH2 在适应性方面便有一个明显优势。
• 具有类似囚徒困境博弈的结构：
– 大甲虫期望收益是 8x + 3(1-­­x) = 3 + 5x – 小甲虫期望收益是 5x + (1-­­x) = 1 + 4x
• 大甲虫的期望收益总是超过小甲虫的， 所以，―大体态‖是一个进化稳定策略。
进化博弈中的“军备竞赛”
• 生物学家认为在自然界中存在具有囚徒困 境结构的进化博弈现象
– 例如：树木间高矮的关系；植物根系的竞争
• 病毒有两个进化策略Φ6和ΦH2； • 在一个纯Φ6种群中，病毒行为收益（自我复制的 能力）会优于纯ΦH2种群的病毒； • 但是，当病毒ΦH2与Φ6同时存在时，ΦH2的收益 会比较高，甚至高于纯Φ6种群情形。 • 因此，只有ΦH2是进化稳定的。
– 结果就是，一旦Φ6种群中出现了少量变 异ΦH2，则ΦH2病毒会越来越多，Φ6越来越少
– 为了使S成为一个进化稳定策略，用策略S应对 策略S的回报不能小于用策略T来应对策略S取得 的回报。
– 若策略S和T在应对策略S时的收益相等。为了保 证S是一个进化稳定策略，采取策略S应对策略T 的收益要严格优于采取策略T应对策略T的收益。
进化稳定策略与纳什均衡的关系
生物体2
S T S T
生物体1
所以应满足a(1-­­x)+ bx > c(1-­­x)+ dx
• 结论：在双人双策略的对称博弈中，若(i)a>c或(ii)a=c且b>d ，则S是进化稳定的。（注意―x很小‖在其中的作用）
生物体2
S T S T
生物体1
a, c,
a b
b, d,
c d
• 在双人双策略的对称博弈中，若(i) a>c，或(ii) a=c且b>d，则S是进化稳定的。这意味着：
进化稳定策略和严格纳什均衡
• 在一个策略选择中，若每个参与人使用的都是 唯一的最佳应对策略（即严格最佳应对），则 称这个最佳应对策略组是一个严格纳什均衡。
生物体2
S T S T
生物体1
a, c,
a b
b, d,
c d
• 不难看到：如果（S,S）是一个严格纳什均衡（ 即a>c），则S是进化稳定的。反之不一定成立。
生物适应性与新陈代谢
• 对于大甲虫，维持新陈代谢实际上要比 较困难些
– 需要吃较多的食物才能维持较大的体态要求 ；即同样数量的食物，小甲虫从中可获得较 多的收益（适应性）。
• 直观结论是：大体态变异基因使适应性 减弱，经过多次繁衍后，它极可能被 淘汰。 • 然而事实真的是这样吗？
互动与生物适应性
进化博弈论：谁有更强的适应性
博弈与进化博弈若干概念的一种对比理解
• 博弈，纯策略
– 确定性策略，直接对应的收益
• 博弈，混合策略
– 概率性策略，期望收益
均衡
• 进化博弈，纯策略
– 对于个体：确定性策略，直接收益 – 对于群体（策略）：适应性－其中个体与其他个体随机相 遇的收益期望
• 进化博弈，混合策略
生物适应性与种群变异
• 例子：体态大小的博弈
– 考虑一种甲虫种群 – 假设每只甲虫对给定环境的适应能力取决于
• 它是否可以发现食物 • 能否有效地从食物中汲取营养
– 假设一个特定的突变基因出现并开始蔓延， 造成携带该突变基因的甲虫体型变大。 – 因此，在该甲虫种群中，便分成两种不同的 群体——小甲虫和大甲虫。
进化博弈论简介
（对应教材第7章）
回顾上一讲（博弈论基础）
• 博弈
– 参与者（player） – 策略（strategy） – 收益，回报（payoff）
• 收益矩阵－形象地描述一个博弈的结构 • 在博弈论的分析中（决定采取什么策略）
– 不是要考虑如何战胜对方，而是基于对对方的行为的预测，自 己如何收益最大（尽可能大）。双方都如此态度。
进化稳定混合策略
• 在有些情况下不存在进化稳定策略 • 例子：鹰鸽博弈
动物2 鸽派D 鹰派H
动物1
鸽派D
鹰派H
3，3
5，1
1，5
0，0
• 可以验证：D，H都不是进化稳定的。
– 这从（D，D）和（H，H）都不是纳什均 衡即可推出
进化稳定混合策略的场景
• 一种生物个体，由其基因决定，按照概率 分布（p,1-­­p）随机采用两个策略S和T之一。 • 想像有一群这样的个体，在互动中繁衍 • 突然，其中出现了一种变异：概率为q • 设变异种群在总体中初始占比x（很小） ，问：原来的种群是进化稳定的吗？
进化博弈的由来
• 1960s，从博弈论视角来解释生物进化论
– 由基因决定的生物特征及行为可类比作博弈 中的策略； – 将生物的适应性（的提高）类比为它的收益。
• J. M. Smith和G. R. Price，提出―进化稳定 均衡‖，标志着进化博弈的诞生。
– John M. Smith. On Evolu)on. Edinburgh Univ Press, 1972 – M. Smith and G. R. Price, The Logic o J. Conflict, Nature, 246, 15-­­18, 1973.
• 换句话说，ΦH2成功入侵了Φ6
病毒博弈的收益矩阵
• 生物学家测量了两病毒在不同条件下复制 行为的相对速率（体现适应性）
病毒2
Φ6 Φ6 病毒1 ΦH2 ΦH2
1.00, 1.00 1.99, 0.65
0.65, 1.99 0.83, 0.83
• 理性的选择与进化的力量有相似的取向
进化稳定策略的一般描述
• 猎鹿，猎兔都是进化稳定的
– 因此（猎鹿, 猎鹿）和（猎兔, 猎兔）也都是 纳什均衡
例子：另一种猎鹿博弈
猎人2 猎鹿 猎兔 猎人 1 猎 鹿 猎 兔 4， 4 4，0 0，4 3，3 猎 猎人 兔 1 猎 鹿 猎人2 猎兔 猎鹿 3，3 0，4 4，0 4，4
ห้องสมุดไป่ตู้
• 猎鹿不是进化稳定的，尽管（猎鹿, 猎鹿） 是纳什均衡。 • 猎兔是进化稳定的，于是（猎兔, 猎兔） 此时也是纳什均衡。
S）是均衡，a,b,c,d之间的关系？ T）是均衡，…？ S）是均衡，…？ T）是均衡，…？
经常会用到“期望”的概念
• 一个随机的行为，会有多种（以两种 为例）可能的结果（r1, r2），分别对应一 个概率（p1, p2），p1+p2=1 • 则这个行为的结果期望就是
p1r1 + p2r2
• 概率常常用―比率‖和―占比‖来近似 • 混合策略的收益：在纯策略集合上按概 率分布选择的收益期望
稳定性
– 对于个体：概率性策略，期望收益 – 对于群体（策略）：适应性－其中个体与其他个体随机相 遇的收益期望
进化博弈的由来
• 进化论的主要观点
– 生物体的遗传基因在很大程度上决定了它的 外部特征（行为方式等），因而决定了它是 否能够适应给定的环境。 – 适应性较强的生物体往往会繁衍较多的后代 ，于是使得适应性强的基因的物种在总体中 的数量增加。 – 一个物种的成功进化取决于它其中的个体和 其他个体（同种或者不同种）的互动。
• 纯策略、混合策略（在可选纯策略集合上的一 个概率分布）
均衡（纳什均衡）
• 均衡：互为最佳应对 • 纳什均衡定理：在考虑混合策略条件下 ，任何有限参与人、有限纯策略的博弈 都存在均衡 • 一般来讲，找到均衡是很困难的，但在 某些限定条件下可能有系统化方法
– 例如，双人双（纯）策略
若（1）为空， 1. 检查四个策略组合是否为纯策略均衡 则（2）一定有； 2. 利用无差异原理试求混合策略均衡 若（1）不空， （2）也可能有
a, c,
a b
b, d,
c d
• S是进化稳定的条件：
– (i) a>c，或 (ii) a=c且b>d
• (S,S)是纳什均衡的条件：a≥c • 因此，若策略S是进化稳定的，则(S,S)一 定是一个纳什均衡。反之不一定成立。
例子：猎鹿博弈
猎人2 猎鹿 猎兔 猎 猎人 鹿 1 猎 兔 4， 4 3，0 0，3 3，3 猎 猎人 兔 1 猎 鹿 猎人2 猎兔 猎鹿 3，3 0，3 3，0 4，4
两个采用不同混合策略者相遇的收益
第二类生物
考察小体态是否进化稳定策略
甲虫2 小的 小的 甲虫1 大的
(1-x)
大的
x
5, 5 8, 1
1, 8 3, 3
• 考虑一个小正数x，总体中有x占比的个体使用 策略―大体态‖ ，有1-­­x占比的个体使用策 略―小体态‖。（甲虫们随机相遇争夺食物）
– 一只小甲虫的期望收益是 5(1-­­x)+1x = 5-­­ – 一只大甲虫的期望收益是 8(1-­­x)+3x = 8-­­5x
• 每只甲虫从争夺一定量食物的互动中获得的生 物适应性（不是食物量），可认为是双人博弈 中的收益。 • 每只甲虫有两个策略：大和小，由其基因决定。
甲虫2
小的 小的 甲虫1 大的 5, 5 8, 1 大的 1, 8 3, 3
甲虫2
小的 大的 小 的
大 的
甲 虫1
5, 5
8, 1
1, 8
3, 3
与经典的博弈比较
– 一种生物体的适应性是指它与一个随机遇到的生物体互 动得到的收益期望 – 称―策略T在x程度上（以x水平）入侵策略S‖，指的是 在总体中有x占比的生物体采用策略T，1-­­x占比采用策 略S；其中x是一个小于1的小正数。 – 若存在一个小正数y，当任何其他策略T以任何x<y水平 入侵策略S时，采用策略S的个体的适应性严格高于采取 策略T的个体，则称策略S是进化稳定的（evoluVonarily stable）。
考虑 双人 对称 博弈
生物体2
S (1-x) T (x) S T
生物体1
a, c,
a b
b, d,
c d
• 如何用a，b，c，d写出S是进化稳定的条件？ • 设对于一个很小的正数x，总体中有1-­­x部分使用策略S ，有x部分使用策略T
– 采取S策略的期望收益：a(1-­­x)+bx – 采取T策略的期望收益：c(1-­­x)+dx
• 当两只甲虫为食物争夺时，可能的结果有：
– 当争夺食物的两只甲虫大小相同时，它们会 平分同样的食物 – 当一只大甲虫和一只小甲虫争夺食物，则大 甲虫会得到大多数的食物 – 对于同样的食物量，大甲虫在适应性上得到 的益处要少，因为所得到的食物中有一部分 要转化用来维持它们消耗较高的新陈代谢
收益矩阵
囚徒困境（协调）博弈的特征模式
双人双策略 • • 对称 • 均衡出现在双方采用某一种相同的策略 ―最佳收益‖不是均衡，因为参与人之一有 • 动机改变策略
鹰鸽博弈的特征模式
• 双人双策略 • 对称 • 均衡出现在双方采用不同的策略
双人双策略对称博弈均衡的一般条件
若（S, • • 若（S, • 若（T, • 若（T,