高中数学奥赛辅导专题-数列
奥赛高中数学试题及答案
奥赛高中数学试题及答案1. 题目：设函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
若f(1) = 3，f(-1) = 1，f(0) = 2，求a、b、c的值。
解答：根据题意，我们可以得到以下方程组：\begin{cases}a +b +c = 3 \\a -b +c = 1 \\c = 2\end{cases}解得：a = 2，b = 1，c = 2。
2. 题目：已知数列{an}是等差数列，且a1 = 1，a3 = 5，求a5的值。
解答：设等差数列的公差为d，则有：a3 = a1 + 2d5 = 1 + 2dd = 2所以，a5 = a1 + 4d = 1 + 4 × 2 = 9。
3. 题目：设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f(x)的单调区间。
解答：首先求导数f'(x)：f'(x) = 3x^2 - 6x令f'(x) > 0，解得：x > 2 或 x < 0令f'(x) < 0，解得：0 < x < 2所以，f(x)在(-∞, 0)和(2, +∞)上单调递增，在(0, 2)上单调递减。
4. 题目：已知圆C的方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9，直线l的方程为y = x + 1，求圆C与直线l的交点坐标。
解答：将直线l的方程代入圆C的方程，得到：(x - 1)^2 + (x + 1 - 2)^2 = 9化简得：2x^2 - 2x - 8 = 0解得：x1 = -2，x2 = 2代入直线l的方程，得到对应的y值：y1 = -1，y2 = 3所以，圆C与直线l的交点坐标为(-2, -1)和(2, 3)。
5. 题目：设函数f(x) = ln(x + √(x^2 + 1))，求f(x)的导数f'(x)。
解答：根据复合函数求导法则，我们有：f'(x) = (1 / (x + √(x^2 + 1))) × (1 + x / √(x^2 + 1))化简得：f'(x) = 1 / √(x^2 + 1)以上就是奥赛高中数学试题及答案的完整内容。
2023年全国高中生数学奥赛高难题目
2023年全国高中生数学奥赛高难题目难题一：立体几何
已知一个右方金字塔的顶点A位于平面xOy上，A的坐标为(5,6,0)，底面是一个边长为10的正方形，且底面中心O的坐标为(5,6,0)。
金字
塔的高度为12，求：
1. 金字塔底面四个顶点的坐标；
2. 金字塔的体积。
难题二：复数运算
若复数z满足z^4 + 15z^2 + 36 = 0，则求z的所有可能值。
难题三：概率与统计
已知A、B两个事件的发生概率分别为P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，且
P(A∪B) = 0.7。
求：
1. P(A∩B)的值；
2. 若事件A和事件B相互独立，求P(A|B)和P(B|A)的值。
难题四：数列
已知数列{an}满足a1 = a2 = 1，且an+2 = an+1 + 2an对于n≥1成立。
求：
1. a5的值；
2. 数列{an}的通项公式；
3. 求该数列的前10项和。
难题五：函数与导数
已知函数f(x) = (x+1)e^x，在定义域上是递增函数。
求：
1. f'(x)的值；
2. 函数f(x)在定义域上的最小值点；
3. 函数f(x)的图像在x轴和y轴上与坐标轴围成的面积。
注意：以上题目均为高难度题目，需要运用数学知识和思维能力进行解答。
考生可以根据自己的实际情况选择解答题目，建议合理分配时间，不要卡在某一道题目上耽误整体答题进度。
祝各位考生取得优异成绩！。
数列求和专题讲座(高三数学总复习专题)
三、裂项相消法
1 1、求数列1 5
,
3
1
7
,
5
1
9…
的前n
项和。
通项：an
(2n
1 1)(2n
3)
1( 1 1 ) 4 2n 1 2n 3
Sn
1 (1 1 1 4 53
1 7
11 59
+…+ 1 1 2n 3 2n 1
1 2n 1
1) 2n 3
1 (1 1 1 1 ) 4 3 2n 1 2n 3
n
S
n (3n
n
1
1 an
1 1
a
1)n ＝ 2
(3n 1)n 2
(3n 1)n 2
＝ a a1n a 1
(3n 1)n 2
3、求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设 ak k(k 1)(2k 1) 2k 3 3k 2 k
n
n
∴ Sn k(k 1)(2k 1) ＝ (2k3 3k 2 k)
1 2
1 4
…+
1 2n
)
n
2
1
1 2n
2、求数列的前n项和：1 1,
1 a
4,
1 a2
7,,
1 a n1
3n
2
解：设
Sn
(1 1)
(1 a
4)
(1 a2
7)
(
1 a n 1
3n
2)
将其每一项拆开再重新组合得
Sn
(1
1 a
1 a2
1 a n1
)
(1
4
7
3n
2)
高中数学专题-数列
高中数学专题-数列一、基础知识1.等差数列的定义与性质定义：1n n a a d+-=（d 为常数)，()11n a a n d=+-等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y⇔=+前n 项和()()11122n n a a n n n S nad+-==+性质：{}n a 是等差数列(1)若m n p q+=+，则m n p q a a a a +=+；(2)数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；(3)若三个成等差数列，可设为a d a a d-+，，(4)若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=(5){}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数)nS 的最值可求二次函数2n S an bn=+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S ndS S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇.(7)项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-na S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇.2.等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠)，11n n a a q -=.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G xy =.前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！)性质：{}n a 是等比数列(1)若m n p q+=+，则m n p qa a a a =··(2)232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为nq .注意：由nS 求na 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.二、等差数列和等比数列对比等差数列等比数列定义a n－a n－1＝常数(n≥2)a na n－1＝常数(n≥2)通项公式a n＝a1＋(n－1)d a n＝a1q n－1(q≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n≥1)⇔{a n}为等差数列(3)通项公式法：a n＝pn＋q(pq为常数)⇔{a n}为等差数列(4)前n项和公式法：S n＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{a n}为等差数列(5){a n}为等比数列，a n>0⇔{log a a n}为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：a2n＋1＝a n·a n＋2(n≥1)(a n≠0)⇔{a n}为等比数列(3)通项公式法：a n＝c·q n(c、q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{a n}为等比数列(4){a n}为等差数列⇔{a an}为等比数列(a>0且a≠1)性质(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q特别：若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p.(2)a n＝a m＋(n－m)d(3)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列，即2(S2m－S m)＝S m+(S3m－S2m)(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q特别地，若m＋n＝2p，则a m·a n＝a2p.(2)a n＝a m q n－m(3)若等比数列前n项和为S n则S m，S2m－S m，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－S m)2＝S m(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)．前n 项和S n＝n a1＋a n2＝na1＋n n－12d(1)q≠1，S n＝a11－q n1－q＝a1－a n q1－q(2)q＝1，S n＝na1三、考点方法归纳考点一求数列的通项公式1.由a n与S n的关系求通项公式：由S n与a n的递推关系求a n的常用思路有：①利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为a n的递推关系，再求其通项公式；数列的通项a n与前n项和S n的关系是a n S1，n＝1，S n－S n－1，n≥2.当n＝1时，a1若适合S n－S n－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项a n；当n＝1时，a1若不适合S n－S n－1，则用分段函数的形式表示。
高中数学专题练习《数列、导数知识点》含详细解析
数列、导数知识点一、等差数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即a n+1-a n =d(n∈N *,d 为常数).2.等差中项:由三个数a,A,b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项,且2A=a+b.3.通项公式:等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,则其通项公式为a n =a 1+(n-1)d.4.前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d(n∈N *).5.性质:(1)通项公式的推广:a n =a m +(n-m)d(m,n∈N *).(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N *),则有a m +a n =a p +a q .(3)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.(4)数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn(A,B 为常数).(5)在等差数列{a n }中,若a 1>0,d<0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d>0,则S n 存在最小值.二、等比数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,即a n a n -1=q(n≥2,n∈N *,q 为非零常数).2.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.此时,G 2=ab.3.通项公式:等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,则其通项公式为a n =a 1q n-1.4.前n 项和公式:S n ={na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q=a 1-a n q 1-q,q ≠1.5.性质:(1)通项公式的推广:a n=a m q n-m(m,n∈N*).(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有a k·a l=a m·a n.(3)当q≠-1或q=-1且n为奇数时,S n,S2n-S n,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为q n.三、求一元函数的导数1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数) f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sin x f'(x)=cos xf(x)=cos x f'(x)=-sin xf(x)=a x(a>0,且a≠1)f'(x)=a x ln af(x)=e x f'(x)=e xf(x)=log a x(a>0,且a≠1)f'(x)=1xlnaf(x)=ln x f'(x)=1x2.导数的四则运算法则已知两个函数f(x),g(x)的导数分别为f'(x),g'(x).若f'(x),g'(x)存在,则有:(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).3.简单复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x =y'u ·u'x .四、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增; 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. 2.函数的极值与导数条件 f'(x 0)=0x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0x 0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0图象极值 f(x 0)为极大值 f(x 0)为极小值 极值点 x 0为极大值点x 0为极小值点3.函数的最大(小)值与导数(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.(3)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.。
高中数学专题复习-数列与数学归纳法
第六章⎪⎪⎪数列与数学归纳法第一节数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念概念 含义数列 按照一定顺序排列的一列数数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{a n }的第n 项a n通项公式 数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系能用公式a n ＝f (n )表示,这个公式叫做数列的通项公式前n 项和 数列{a n }中,S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 叫做数列的前n 项和列表法 列表格表示n 与a n 的对应关系 图象法 把点(n ,a n )画在平面直角坐标系中 公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式 使用初始值a 1和a n ＋1＝f (a n )或a 1,a 2和a n ＋1＝f (a n ,a n －1)等表示数列的方法n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ,则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4．数列的分类[小题体验]1．已知数列{a n }的前4项为12,34,78,1516,则数列{a n }的一个通项公式为________．答案：a n ＝2n －12n (n ∈N *)2．已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝a n2a n ＋3,则a 5等于________．答案：11613．(教材改编题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n ＝3n －1,则a n ＝________. 答案：2×3n －11．数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号． 3．在利用数列的前n 项和求通项时,往往容易忽略先求出a 1,而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式,但它只适用于n ≥2的情形．[小题纠偏]1．已知S n 是数列{a n }的前n 项和,且S n ＝n 2＋1,则数列{a n }的通项公式是________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥22．数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋9n ,则该数列第________项最大． 答案：4或5考点一 由数列的前几项求数列的通项公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(温岭模拟)将石子摆成如图所示的梯形形状,称数列5,9,14,20,…为梯形数,根据图形的构成,此数列的第2 018项与5的差即a 2 018－5＝( )A ．2 017×2 024B ．2 017×1 012C ．2 018×2 024D ．2 018×1 012解析：选B 结合图形可知,该数列的第n 项为a n ＝2＋3＋4＋…＋(n ＋2),所以a 2 018－5＝4＋5＋6＋…＋2 020＝2 017×(2 020＋4)2＝2 017×1 012.2．根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10,…； (2)(易错题)－11×2,12×3,－13×4,14×5,…； (3)－1,7,－13,19, …； (4)9,99,999,9 999,….解：(1)各数都是偶数,且最小为4,所以它的一个通项公式a n ＝2(n ＋1),n ∈N *.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n (n ＋1),n ∈N *.(3)这个数列,去掉负号,可发现是一个等差数列,其首项为1,公差为6,所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5),n ∈N *.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1,10 000－1,所以它的一个通项公式a n ＝10n －1,n ∈N *.[谨记通法]由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征,并对此进行归纳、联想,具体如下：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知下面数列{a n }的前n 项和S n ,求{a n }的通项公式． (1)S n ＝n 2＋1； (2)S n ＝2n －a n .解：(1)a 1＝S 1＝1＋1＝2,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－(n －1)2－1＝2n －1,而a 1＝2,不满足此等式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)当n ＝1时,S 1＝a 1＝2－a 1,所以a 1＝1；当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(2n －a n )－[2(n －1)－a n －1]＝2－a n ＋a n －1, 即a n ＝12a n －1＋1,即a n －2＝12(a n －1－2)．所以{a n －2}是首项为a 1－2＝－1,公比为12的等比数列,所以a n －2＝(－1)·⎝⎛⎭⎫12n －1, 即a n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1.[由题悟法]已知S n 求a n 的 3个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式； (3)对n ＝1时的结果进行检验,看是否符合n ≥2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写；如果不符合,则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[即时应用]已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ,求a 5＋a 6及a n ； (2)若a n ＞0,S n ＞1,且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2),求a n . 解：(1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2, 当n ＝1时,a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1) ＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)] ＝(－1)n ＋1·(2n －1), 又a 1也适合此式,所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)当n ＝1时,a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2),即a 21－3a 1＋2＝0. 解得a 1＝1或a 1＝2.因为a 1＝S 1＞1,所以a 1＝2.当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝16(a n ＋1)(a n ＋2)－16(a n －1＋1)(a n －1＋2),所以(a n －a n －1－3)(a n ＋a n －1)＝0.因为a n ＞0,所以a n ＋a n －1＞0, 所以a n －a n －1－3＝0,所以数列{a n }是以2为首项,3为公差的等差数列． 所以a n ＝3n －1.考点三 由递推关系式求数列的通项公式(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法,它们都可以确定数列中的任意一项,只是由递推公式确定数列中的项时,不如通项公式直接．常见的命题角度有： (1)形如a n ＋1＝a n f (n ),求a n ； (2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n ),求a n ；(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1),求a n .[题点全练]角度一：形如a n ＋1＝a n f (n ),求a n1．在数列{a n }中,a 1＝1,a n ＝n －1n a n －1(n ≥2),求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2),∴a n －1＝n －2n －1a n －2,a n －2＝n －3n －2a n －3,…,a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时,a 1＝1,上式也成立． ∴a n ＝1n (n ∈N *)．角度二：形如a n ＋1＝a n ＋f (n ),求a n2．设数列{a n }满足a 1＝1,且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *),求数列{a n }的通项公式． 解：由题意有a 2－a 1＝2,a 3－a 2＝3,…,a n －a n －1＝n (n ≥2)． 以上各式相加,得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1,∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式, ∴a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *)．角度三：形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1),求a n3．已知数列{a n }满足a 1＝1,当n ≥2,n ∈N *时,有a n ＝2a n －1－2,求数列{a n }的通项公式． 解：因为a n ＝2a n －1－2, 所以a n －2＝2(a n －1－2)．所以数列{a n －2}是以a 1－2＝－1为首项,2为公比的等比数列． 所以a n －2＝(－1)×2n －1, 即a n ＝2－2n －1.[通法在握]典型的递推数列及处理方法[演练冲关]根据下列条件,求数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1,a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)； (2)a 1＝1,2na n ＋1＝(n ＋1)a n (n ∈N *)；(3)a 1＝1,a n ＝3a n －1＋4(n ≥2)． 解：(1)由题意知a n ＋1－a n ＝2n ,a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1.(2)由2na n ＋1＝(n ＋1)a n ,得a n ＋1a n ＝n ＋12n. 所以a n ＝a n a n －1.a n －1a n －2.a n －2a n －3.....a 2a 1.a 1＝n 2(n －1).n －12(n －2).n －22(n －3).. (2)2×1×1＝n 2n －1.(3)因为a n ＝3a n －1＋4(n ≥2), 所以a n ＋2＝3(a n －1＋2)．因为a 1＋2＝3,所以{a n ＋2}是首项与公比都为3的等比数列． 所以a n ＋2＝3n ,即a n ＝3n －2.一抓基础,多练小题做到眼疾手快1．(嘉兴七校联考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋n ,则a 5＝( ) A ．25 B ．30 C ．10D ．12解析：选B 因为a n ＝n 2＋n ,所以a 5＝25＋5＝30.2．(浙江三地联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足log 2(S n ＋1)＝n (n ∈N *),则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A ．2nB ．2n －1C ．2n －1－1D.⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ，n ≥2 解析：选B 由log 2(S n ＋1)＝n 可得S n ＝2n －1.当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1；当n ＝1时,a 1＝S 1＝21－1＝1满足上式．所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.3．(衢州模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝1,a n ＋1＝2a na n ＋2,则数列{a n }的通项公式a n 为( ) A.1n ＋1 B.2n ＋1 C.1n D.2n解析：选B 由a n ＋1＝2a n a n ＋2可得1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝1a n ＋12. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项,公差为12的等差数列,所以1a n＝n ＋12,即a n ＝2n ＋1.4．(诸暨模拟)已知数列{a n }中,对任意的p ,q ∈N *都满足a p ＋q ＝a p a q ,若a 1＝－1,则a 9＝________.解析：由题可得,因为a 1＝－1,令p ＝q ＝1,则a 2＝a 21＝1；令p ＝q ＝2,则a 4＝a 22＝1；令p ＝q ＝4,则a 8＝a 24＝1,所以a 9＝a 8＋1＝a 1a 8＝－1.答案：－15．(杭州模拟)设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2,则a 8＝________,a 2＋a 3＋a 4＝________. 解析：因为S n ＝n 2,所以a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15,a 2＋a 3＋a 4＝S 4－S 1＝42－1＝15. 答案：15 15二保高考,全练题型做到高考达标1．数列0,1,0,－1,0,1,0,－1,…的一个通项公式是a n 等于( ) A.(－1)n ＋12B ．cos n π2C ．cos n ＋12πD ．cos n ＋22π解析：选D 令n ＝1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D 正确．2．(天台模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ,且满足S n ＝2a n －3(n ∈N *),则S 6＝( ) A ．192 B ．189 C ．96D ．93解析：选B 因为S n ＝2a n －3,当n ＝1时,S 1＝2a 1－3＝a 1,解得a 1＝3.当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2a n －3－2a n －1＋3＝2a n －2a n －1,解得a na n －1＝2.所以数列{a n }是首项为3,公比为2的等比数列,所以S 6＝3(1－26)1－2＝189.3．设数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *),则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列解析：选C 因为S n ＋S n ＋1＝a n ＋1,所以当n ≥2时,S n －1＋S n ＝a n ,两式相减,得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ,所以有a n ＝0.当n ＝1时,a 1＋a 1＋a 2＝a 2,所以a 1＝0.所以a n ＝0.即数列是常数列．4．(绍兴模拟)已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1,若该数列的前n 项和为10,则项数n 的值为( )A ．11B ．99C ．120D ．121解析：选C 因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ,所以该数列的前n 项和S n ＝n ＋1－1＝10,解得n ＝120.5．(丽水模拟)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ＜12，2a n－1，12≤a n＜1，若a 1＝35,则a 2 018＝( )A.15B.25C.35D.45解析：选A 由a 1＝35∈⎣⎡⎭⎫12，1,得a 2＝2a 1－1＝15∈⎣⎡⎭⎫0，12,所以a 3＝2a 2＝25∈⎣⎡⎭⎫0，12,所以a 4＝2a 3＝45∈⎣⎡⎭⎫12，1,所以a 5＝2a 4－1＝35＝a 1.由此可知,该数列是一个周期为4的周期数列,所以a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝15.6．(镇海模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2,a n ＋1＝a 2n (a n ＞0,n ∈N *),则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：对a n ＋1＝a 2n 两边取对数,得log 2a n ＋1＝log 2a 2n ＝2log 2a n .所以数列{log 2a n }是以log 2a 1＝1为首项,2为公比的等比数列,所以log 2a n ＝2n －1,所以a n ＝22n －1.答案：22n －17．(海宁模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －1,则该数列的前8项和为________． 解析：S 8＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝1＋5＋9＋13＝28. 答案：288．在一个数列中,如果对任意的n ∈N *,都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数),那么这个数列叫做等积数列,k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列,且a 1＝1,a 2＝2,公积为8,则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列,且a 1＝1,a 2＝2,a 3＝4,因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：289．已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2,n ∈N *)． (1)求a 2,a 3的值； (2)证明：a n ＝3n －12.解：(1)因为a 1＝1,a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2,n ∈N *), 所以a 2＝32－1＋1＝4, a 3＝33－1＋a 2＝9＋4＝13.(2)证明：因为a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2,n ∈N *), 所以a n －a n －1＝3n －1,所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝3n －1＋3n －2＋…＋3＋1 ＝3n －12(n ≥2,n ∈N *)．当n ＝1时,a 1＝3－12＝1满足条件．所以当n ∈N *时,an ＝3n －12. 10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5,则数列中有多少项是负数？n 为何值时,a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *,都有a n ＋1＞a n ,求实数k 的取值范围． 解：(1)由n 2－5n ＋4＜0, 解得1＜n ＜4.因为n ∈N *,所以n ＝2,3,所以数列中有两项是负数,即为a 2,a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94, 由二次函数性质,得当n ＝2或n ＝3时,a n 有最小值,其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1＞a n ,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4,可以看作是关于n 的二次函数,考虑到n ∈N *,所以－k 2＜32,即得k ＞－3.所以实数k 的取值范围为(－3,＋∞)． 三上台阶,自主选做志在冲刺名校1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·2n ＋1,该数列的项排成一个数阵(如图),则该数阵中的第10行第3个数为________．a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ……解析：由题意可得该数阵中的第10行、第3个数为数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项,而a 48＝(－1)48×96＋1＝97,故该数阵第10行、第3个数为97.答案：972．(温州模拟)设函数f (x )＝log 2x －log x 4(0＜x ＜1),数列{a n }的通项公式a n 满足f (2a n )＝2n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)判定数列{a n }的单调性．解：(1)因为f (x )＝log 2x －log x 4(0＜x ＜1),f (2a n )＝2n (n ∈N *) , 所以f (2a n )＝log 22a n －log2a n 4＝a n －2a n ＝2n ,且0＜2a n ＜1, 解得a n ＜0.所以a n ＝n －n 2＋2.(2)因为a n ＋1a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋2n －n 2＋2＝n ＋n 2＋2n ＋1＋(n ＋1)2＋2＜1.因为a n ＜0,所以a n ＋1＞a n . 故数列{a n }是递增数列．第二节等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示．(2)等差中项：数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2,其中A 叫做a ,b 的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ,m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列,且k ＋l ＝m ＋n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d . (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k ＋m ,a k ＋2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列． [小题体验]1．在等差数列{a n }中,若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25,则a 2＋a 8＝________. 答案：102．(温州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3＝5,a 5＝3,则a n ＝________；S 7＝________. 答案：－n ＋8 283．(温州十校联考)在等差数列{a n }中,若a 3＋a 4＋a 5＝12,则S 7＝______. 答案：281．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时,需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件． [小题纠偏]1．首项为24的等差数列,从第10项开始为负数,则公差d 的取值范围是( ) A ．(－3,＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－83 C.⎝⎛⎭⎫－3，－83 D.⎣⎡⎭⎫－3，－83 答案：D2．(湖州模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3＝16,a 6＝10,则公差d ＝________；S n 取到最大时的n 的值为________．解析：因为数列{a n }是等差数列,且a 3＝16,a 6＝10,所以公差d＝a 6－a 36－3＝－2,所以a n ＝－2n ＋22,要使S n能够取到最大值,则需a n ＝－2n ＋22≥0,所以解得n ≤11.所以可知使得S n 取到最大时的n 的值为10或11.答案：－2 10或11考点一 等差数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(嘉兴二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 1S 4＝110,则S 3S 5＝( )A.25 B.35 C.37D.47解析：选A 设数列{a n }的公差为d ,因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和,且S 1S 4＝110,所以10a 1＝4a 1＋6d ,所以a 1＝d .所以S 3S 5＝3a 1＋3d 5a 1＋10d ＝6d 15d ＝25.2．设等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 2＝－d ,若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项,则k ＝( ) A ．5 B ．6 C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项, 所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 2＝－d , 所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ], 所以(k －3)2＝3(k ＋3),解得k ＝9或k ＝0(舍去),故选C.3．公差不为零的等差数列{a n }中,a 7＝2a 5,则数列{a n }中第________项的值与4a 5的值相等．解析：设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 7＝2a 5,∴a 1＋6d ＝2(a 1＋4d ),则a 1＝－2d ,∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －3)d ,而4a 5＝4(a 1＋4d )＝4(－2d ＋4d )＝8d ＝a 11,故数列{a n }中第11项的值与4a 5的值相等．答案：114．(绍兴模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,满足S 2＝S 6,S 55－S 44＝2,则a 1＝______,公差d ＝________.解析：由S 2＝S 6,得S 6－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝4a 1＋14d ＝0,即2a 1＋7d ＝0.由S 55－S 44＝2,得52(a 1＋a 5)5－42(a 1＋a 4)4＝12(a 5－a 4)＝12d ＝2,解得d ＝4,所以a 1＝－14. 答案：－14 4等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a1,d,n,a n,S n五个量,可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a1,d,利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解,体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题,一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n＝n(a1＋a n)2结合使用,体现整体代入的思想．考点二等差数列的判断与证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](温州模拟)已知数列{a n}中,a1＝12,a n＋1＝1＋a n a n＋12(n∈N*)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)证明：因为对于n∈N*,a n＋1＝1＋a n a n＋12,所以a n＋1＝12－a n,所以1a n＋1－1－1a n－1＝112－a n－1－1a n－1＝2－a n－1a n－1＝－1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是首项为1a1－1＝－2,公差为－1的等差数列．(2)由(1)知1a n－1＝－2＋(n－1)(－1)＝－(n＋1),所以a n－1＝－1n＋1,即a n＝nn＋1.[由题悟法]等差数列的判定与证明方法已知数列{a n}满足a1＝1,a n＝a n－12a n－1＋1(n∈N*,n≥2),数列{b n}满足关系式b n＝1a n(n∈N*)．(1)求证：数列{b n}为等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)证明：∵b n＝1a n,且a n＝a n－12a n－1＋1,∴b n＋1＝1a n＋1＝1a n2a n＋1＝2＋1a n,∴b n＋1－b n＝2＋1a n－1a n＝2.又b1＝1a1＝1,∴数列{b n}是首项为1,公差为2的等差数列．(2)由(1)知数列{b n}的通项公式为b n＝1＋(n－1)×2＝2n－1,又b n＝1a n,∴a n＝1b n＝12n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝12n－1.考点三等差数列的性质及最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(宁波模拟)在等差数列{a n}中,若a9a8＜－1,且其前n项和S n有最小值,则当S n＞0时,n的最小值为()A．14B．15C．16 D．17解析：选C∵数列{a n}是等差数列,它的前n项和S n有最小值,∴公差d＞0,首项a1＜0,{a n} 为递增数列,∵a9a8＜－1,∴a8·a9＜0,a8＋a9＞0,由等差数列的性质知2a8＝a1＋a15＜0,a8＋a9＝a1＋a16＞0.∵S n＝(a1＋a n)n2,∴当S n＞0时,n的最小值为16.2．(嘉兴一中模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S6＞S7＞S5,则满足a n＞0的最大n的值为______,满足S k S k＋1＜0的正整数k＝______.解析：由题可得a6＝S6－S5＞0,a7＝S7－S6＜0,所以使得a n＞0的最大n的值为6.又a6＋a7＝S7－S5＞0,则S11＝11(a1＋a11)2＝11a6＞0,S12＝12(a1＋a12)2＝6(a6＋a7)＞0,S13＝13(a1＋a13)2＝13a7＜0,因为{a n}是递减的等差数列,所以满足S k S k＋1＜0的正整数k＝12.答案：612[由题悟法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中,a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n ),其几何意义是点(n ,a n ),(m ,a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1＞0,d ＜0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1＜0,d ＞0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[即时应用]1．(浙江新高考联盟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4S 8＝13,则S 8S 16＝( )A.310B.37C.13D.12解析：选A 因为数列{a n }是等差数列,所以S 4,S 8－S 4,S 12－S 8,S 16－S 12成等差数列,因为S 4S 8＝13,所以不妨设S 4＝1,则S 8＝3,所以S 8－S 4＝2,所以S 16＝1＋2＋3＋4＝10,所以S 8S 16＝310. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知前6项和为36,最后6项的和为180,S n ＝324(n ＞6),则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36,① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180,②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216,∴a 1＋a n ＝36, 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324, ∴18n ＝324,∴n ＝18. 答案：18一抓基础,多练小题做到眼疾手快1．(杭州模拟)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1,a 3＝a 22－4.则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝－2n ＋3C ．a n ＝2n －1或－2n ＋3D ．a n ＝2n解析：选A 设数列{a n }的公差为d ,由a 3＝a 22－4可得1＋2d ＝(1＋d )2－4,解得d ＝±2.因为数列{a n }是递增数列,所以d ＞0,故d ＝2.所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.2．(舟山期末)在等差数列{a n }中,若a 2＝1,a 4＝5,则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20D ．25解析：选B 因为a 2＝1,a 4＝5,所以S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝15. 3．(缙云模拟)已知{a n }为等差数列,其公差d 为－2,且a 7是a 3与a 9的等比中项,S n 为{a n }的前n 项和,则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110解析：选D 设数列{a n }的首项为a 1,因为a 7是a 3与a 9的等比中项,所以(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16),解得a 1＝20.所以S 10＝10a 1＋45d ＝200－90＝110.4．(腾远调研)我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里；驽马初日行九十七里,日减半里；良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问：________日相逢？解析：由题意知,良马每日行的距离成等差数列,记为{a n },其中a 1＝103,d 1＝13；驽马每日行的距离成等差数列,记为{b n },其中b 1＝97,d 2＝－0.5.设第m 天相逢,则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋m (m －1)×132＋97m ＋m (m －1)×(－0.5)2＝2×1 125,解得m ＝9(负值舍去)．即二马需9日相逢．答案：95．等差数列{a n }中,已知a 5＞0,a 4＋a 7＜0,则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0，a 5＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0，a 6＜0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 5二保高考,全练题型做到高考达标1．(金丽衢十二校联考)已知正项数列{a n }中,a 1＝1,a 2＝2,当n ≥2,n ∈N *时,an ＝a 2n ＋1＋a 2n －12,则a 6＝( )A ．2 2B ．4C ．16D ．45解析：选B 因为a n ＝a 2n ＋1＋a 2n －12,所以2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1,即a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n －a 2n －1,所以数列{a 2n }是等差数列,公差d ＝a 22－a 21＝4－1＝3,所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2,所以a n ＝3n －2,所以a 6＝18－2＝4.2．(浙江五校联考)等差数列{a n }中,a 1＝0,等差d ≠0,若a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7,则实数k ＝( ) A ．22 B ．23 C ．24D ．25解析：选A 因为a 1＝0,且a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7, 即(k －1)d ＝21d ,又因为d ≠0,所以k ＝22.3．(河南六市一联)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,若{a n }和{S n }都是等差数列,且公差相等,则a 6＝( )A.114B.32C.72D ．1解析：选A 设{a n }的公差为d ,由题意得,S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ,又{a n }和{S n }都是等差数列,且公差相同,∴⎩⎨⎧d ＝ d 2，a 1－d2＝0，解得⎩⎨⎧d ＝12，a 1＝14，a 6＝a 1＋5d ＝14＋52＝114.4．(东阳模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n ＝7n ＋45n ＋3,则使得a nb n为整数的正整数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D 由A n B n ＝7n ＋45n ＋3,可得a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1,所以要使a n b n 为整数,则需12n ＋1为整数,所以n ＝1,2,3,5,11,共5个．5．设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S nS 2n为常数,则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1,公差不为0,若数列{b n }为“吉祥数列”,则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0),S n S 2n ＝k ,因为b 1＝1,则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ,即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d , 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立, 所以(4k －1)d ＝0,(2k －1)(2－d )＝0,解得d ＝2,k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.6．(台州中学期中)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2＝18,S 18＝54,则a 17＝________,S n ＝__________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,因为a 2＝18,S 18＝54,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝18，18a 1＋18×172d ＝54，解得a 1＝20,d ＝－2.所以a 17＝a 1＋16d ＝20－32＝－12,S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋21n . 答案：－12 －n 2＋21n7．在等差数列{a n }中,a 1＝7,公差为d ,前 n 项和为S n ,当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值,则d 的取值范围为________．解析：由题意,当且仅当n ＝8时S n 有最大值,可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，a 8＞0，a 9＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，解得－1＜d ＜－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．(金华浦江适考)设数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,其中a n ＝－3n ＋20,b n ＝|a n |,则使T n ＝S n 成立的最大正整数n 为________,T 2 018＋S 2 018＝________.解析：根据题意,数列{a n }中,a n ＝－3n ＋20,则数列{a n }是首项为17,公差为－3的等差数列,且当n ≤6时,a n＞0,当n ≥7时,a n ＜0,又由b n ＝|a n |,当n ≤6时,b n ＝a n ,当n ≥7时,b n ＝－a n ,则使T n ＝S n 成立的最大正整数为6,T 2 018＋S 2 018＝(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a 2 018)＋(b 1＋b 2＋…＋b 6＋b 7＋b 8＋…＋b 2 018)＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)＝(17＋2)×6＝114.答案：6 1149．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ,前n 项和为S n ,且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn ,证明：数列{b n }是等差数列,并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n },则a 1＝a ,a 2＝4,a 3＝3a , 由已知有a ＋3a ＝8,得a 1＝a ＝2,公差d ＝4－2＝2, 所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k .由S k ＝110,得k 2＋k －110＝0,解得k ＝10或k ＝－11(舍去),故a ＝2,k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1),则b n ＝S nn ＝n ＋1,故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1,即数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列, 所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2.10．(南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2n ＋2a n －3,且a 1,a 2,a 3,a 4,a 5成等比数列,当n ≥5时,a n＞0.(1)求证：当n ≥5时,{a n }成等差数列； (2)求{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3, 得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ,即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0. 当n ≥5时,a n ＞0,所以a n ＋1－a n ＝2, 所以当n ≥5时,{a n }成等差数列． (2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3,得a 1＝3或a 1＝－1, 又a 1,a 2,a 3,a 4,a 5成等比数列,所以由(1)得a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5),q ＝－1, 而a 5＞0,所以a 1＞0,从而a 1＝3,所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(－1)n －1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－(－1)n ]，1≤n ≤4，n 2－6n ＋8，n ≥5.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1．(浙江五校联考)已知等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 1,a 3,a 13成等比数列,若a 1＝1,S n 为数列{a n }的前n 项和,则2S n ＋16a n ＋3的最小值为________．解析：设公差为d .因为a 1,a 3,a 13成等比数列,所以(1＋2d )2＝1＋12d ,解得d ＝2.所以a n ＝2n －1,S n ＝n 2.所以2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1.令t ＝n ＋1,则原式＝t 2＋9－2t t ＝t ＋9t －2.因为t ≥2,t ∈N *,所以当t ＝3,即n ＝2时,⎝ ⎛⎭⎪⎫2S n ＋16a n ＋3min＝4. 答案：42．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列,求a 1的值； (2)当a 1＝2时,求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列, ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ,a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3,得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3, ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3, 即2d ＝4,2a 1－d ＝－3, 解得d ＝2,a 1＝－12.法二：在等差数列{a n }中,由a n ＋1＋a n ＝4n －3, 得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1, ∴2d ＝a n ＋2－a n ＝(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n ) ＝4n ＋1－(4n －3)＝4, ∴d ＝2.又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝4×1－3＝1, ∴a 1＝－12.(2)由题意,①当n 为奇数时, S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝2n 2－3n ＋52.②当n 为偶数时,S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7) ＝2n 2－3n 2.第三节等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示,定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ,G ,b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ,m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *), 则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n },{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n ＋k ,a n ＋2k ,a n ＋3k ,…为等比数列,公比为q k .[小题体验]1．(教材习题改编)将公比为q 的等比数列a 1,a 2,a 3,a 4,…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2,a 2a 3,a 3a 4,….此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列C ．公比为q 3的等比数列D ．不一定是等比数列答案：B2．(台州模拟)已知等比数列{a n }各项都是正数,且a 4－2a 2＝4,a 3＝4,则a n ＝________；S 10＝________. 解析：设公比为q ,因为a 4－2a 2＝4,a 3＝4, 所以有4q －8q ＝4,解得q ＝2或q ＝－1. 因为q ＞0,所以q ＝2.所以a 1＝a 3q 2＝1,a n ＝a 1q n －1＝2n －1.所以S 10＝1－2101－2＝210－1＝1 023.答案：2n －1 1 0233．在数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝3a n (n ∈N *),则a 3＝______；S 5＝_________. 答案：9 1211．特别注意q ＝1时,S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ,q ≠0,并不能立即断言{a n }为等比数列,还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论,防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时,S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时,S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 成等比数列),但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．[小题纠偏]1．在等比数列{a n }中,a 3＝2,a 7＝8,则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4D ．±4解析：选C a 25＝a 3a 7＝2×8＝16,∴a 5＝±4,又∵a 5＝a 3q 2＞0,∴a 5＝4. 2．设数列{a n }是等比数列,前n 项和为S n ,若S 3＝3a 3,则公比q ＝________. 答案：－12或1考点一 等比数列的基本运算(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(绍兴模拟)等比数列{a n }的公比为2,前n 项和为S n .若1＋2a 2＝S 3,则a 1＝( ) A .17 B.15 C.13D ．1解析：选C 由题可得,1＋4a 1＝a 1＋2a 1＋4a 1,解得a 1＝13.2．(杭二中仿真)各项都是正数的等比数列{a n }中,若a 2,12a 3,a 1成等差数列,则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.5＋12B.5－12C.1－52D.5＋12或1－52解析：选B 设数列{a n }的公比为q (q ＞0,q ≠1),由a 2,12a 3,a 1成等差数列可得a 3＝a 2＋a 1,所以有q 2－q －1＝0,解得q ＝5＋12(负值舍去)．所以a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. [由题悟法]解决等比数列有关问题的2种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)1．(浙北联考)设等比数列{a n }的公比q ＝2,前n 项和为S n ,则S 4a 2＝( )A ．2B ．4 C.152D.172解析：选C 因为q ＝2,所以S 4a 2＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4a 2＝1＋q ＋q 2＋q 3q ＝1＋2＋4＋82＝152.2．(宁波模拟)已知等比数列{a n }满足a 2＝14,a 2a 8＝4(a 5－1),则a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8的值为( )A ．20B ．31C ．62D ．63解析：选B 因为a 2a 8＝a 25＝4(a 5－1),解得a 5＝2.所以q ＝2.所以a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝1＋2＋4＋8＋16＝31.3．(杭州二检)设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4＝80,S 2＝8,则公比q ＝________,a 5＝________.解析：由题可得,设数列{a n }的公比为q (q ＞0,q ≠1),根据题意可得a 1(1－q 4)1－q ＝80,a 1(1－q 2)1－q ＝8,解得a 1＝2,q＝3,所以a 5＝a 1q 4＝2×34＝162.答案：3 162考点二 等比数列的判定与证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式； (2)若S 5＝3132,求λ.解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1, 故λ≠1,a 1＝11－λ,故a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ,S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n , 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0,所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ,公比为λλ－1的等比数列,于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n . 由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132,即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.[由题悟法]等比数列的4种常用判定方法[的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[即时应用](衢州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1,S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *),若数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－2a n ,求证：{b n }是等比数列．证明：因为S n ＋1＝4a n ＋2, 所以S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2,又a 1＝1,所以a 2＝5,b 1＝a 2－2a 1＝3, 当n ≥2时,S n ＝4a n －1＋2. 所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝4a n －4a n －1. 因为b n ＝a n ＋1－2a n , 所以当n ≥2时,b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝4a n －4a n －1－2a n a n －2a n －1＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1＝2. 所以{b n }是以3为首项,2为公比的等比数列．考点三 等比数列的性质(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(宁波模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0,数列{b n }是等比数列,且b 7＝a 7,则b 2b 8b 11＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D 由等差数列的性质,得a 6＋a 8＝2a 7. 由a 6－a 27＋a 8＝0,可得a 7＝2, 所以b 7＝a 7＝2.由等比数列的性质得b 2b 8b 11＝b 2b 7b 12＝b 37＝23＝8. 2．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4S 2＝5,则S 8S 4＝________.解析：由题可得,S 2,S 4－S 2,S 6－S 4,S 8－S 6成等比数列,因为S 4S 2＝5,不妨设S 2＝1,则S 4＝5,所以S 4－S 2＝4, 所以S 8＝1＋4＋16＋64＝85, 所以S 8S 4＝855＝17.答案：17[由题悟法]等比数列的性质可以分为3类通项公式的变形 根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口等比中项的变形 前n 项和公式的变形[即时应用]1．(诸暨模拟)已知等比数列{a n }中,a 1＋a 2＋a 3＝40,a 4＋a 5＋a 6＝20.则该数列的前9项和为( ) A ．50 B ．70 C ．80D ．90解析：选B 由等比数列的性质得S 3,S 6－S 3,S 9－S 6也成等比数列,由S 3＝40,S 6－S 3＝20,知公比为12,故S 9－S 6＝10,S 9＝70.2．(浙江联盟模拟)已知{a n }是等比数列,且a n ＞0,a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25,则a 3＋a 5＝________；a 4的最大值为________．解析：因为a n ＞0,a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25,所以a 3＋a 5＝5,所以a 3＋a 5＝5≥2a 3a 5＝2a 4,所以a 4≤52.即a 4的最大值为52.答案：552一抓基础,多练小题做到眼疾手快1．(舟山模拟)已知x ,y ,z ∈R ,若－1,x ,y ,z ,－3成等比数列,则xyz 的值为( )A ．－3B ．±3C ．－3 3D ．±3 3解析：选C 因为－1,x ,y ,z ,－3成等比数列,由等比数列的性质及等比中项可知,xz ＝3,y 2＝3,且y 与－1,－3符号相同,所以y ＝－3,所以xyz ＝－3 3.2．(湖州六校联考)已知等比数列的前n 项和为54,前2n 项和为60,则前3n 项和为( ) A ．66 B ．64C ．6623D ．6023解析：选D 因为等比数列中,S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 成等比数列,所以54(S 3n －60)＝36,解得S 3n ＝6023.3．(金华十校联考)在等比数列{a n }中,已知a 7a 12＝5,则a 8a 9a 10a 11的值为( ) A ．10 B ．25C ．50D ．75解析：选B 因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5,所以a 8a 9a 10a 11＝52＝25.4．(浙江名校协作体测试)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且对任意的正整数n ,均有S n ＋3＝8S n ＋3,则a 1＝_________,公比q ＝________.解析：因为S n ＋3＝8S n ＋3,所以当n ≥2时,S n ＋2＝8S n －1＋3,两式相减,可得a n ＋3＝8a n ,所以q 3＝8,解得q ＝2；当n ＝1时,S 4＝8S 1＋3,即15a 1＝8a 1＋3,解得a 1＝37.答案：3725．(永康适应性测试)数列{a n }的前n 项和为S n ,S n ＝2a n ＋n ,则a 1＝______,数列{a n }的通项公式a n ＝_______.解析：因为S n ＝2a n ＋n ,所以当n ＝1时,S 1＝a 1＝2a 1＋1,所以a 1＝－1.当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋n －2a n －1－n ＋1,即a n ＝2a n －1－1,即a n －1＝2(a n －1－1),所以数列{a n －1}是以－2为首项,2为公比的等比数列,所以a n －1＝－2n ,所以a n ＝1－2n .答案：－1 1－2n二保高考,全练题型做到高考达标1．(浙大附中模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n ＋1＝pS n ＋q (n ∈N *,p ≠－1),则“a 1＝q ”是“{a n }为等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为a n ＋1＝pS n ＋q ,所以当n ≥2时,a n ＝pS n －1＋q ,两式相减得a n ＋1－a n ＝pa n ,即当n ≥2时,a n ＋1a n ＝1＋p .当n ＝1时,a 2＝pa 1＋q .所以当a 1＝q 时,a 2a 1＝1＋p ,满足上式,故数列{a n }为等比数列,所以是充分条件；当{a n }为等比数列时,有a 2＝pa 1＋q ＝(1＋p )a 1,解得a 1＝q ,所以是必要条件,从而选C.2．(乐清模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1＝1,a n ＋1＝3S n (n ∈N *),则S 6＝( ) A ．44B ．45C.46－13D.45－13解析：选B 因为a 1＝1,a n ＋1＝3S n ＝S n ＋1－S n ,所以S n ＋1＝4S n ,所以数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝1,公比为4的等比数列,所以S 6＝45.3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *),且a 2＋a 4＋a 6＝9,则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D.15解析：选A ∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1,∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是以公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3(a 2＋a 4＋a 6),∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33)＝log 1335＝－5.4．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何？”意思是：“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件,若要使织布的总尺数不少于30,该女子所需的天数至少为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 设该女子第一天织布x 尺,则x (1－25)1－2＝5,得x ＝531,∴前n 天所织布的尺数为531(2n －1)．由531(2n－1)≥30,得2n ≥187,则n 的最小值为8. 5．(金华模拟)设A n ,B n 分别为等比数列{a n },{b n }的前n 项和．若A n B n ＝12n ＋1,则a 7b 3＝( ) A.19 B.12763 C.43D.1312解析：选C 由题意知,A n B n＝12n ＋1,令A n ＝k (2n －1),k ≠0,则B n ＝A n ·(2n ＋1)＝k (2n －1)(2n ＋1)＝k (4n －1)．所以a 7＝A 7－A 6＝k (27－1)－k (26－1)＝64k ,b 3＝B 3－B 2＝k (43－1)－k (42－1)＝48k ,所以a 7b 3＝64k 48k ＝43.6．(超级全能生模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝1,a 1,S 2,5成等差数列,则数列{a n }的公比q ＝________,S n ＝_________.解析：由题可得,2S 2＝2(1＋q )＝1＋5＝6,所以q ＝2,所以S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.答案：2 2n －17．(慈溪中学)在正项等比数列{a n }中,若a 1＝1,a 1＋a 3＋a 5＝21,则q ＝________；a 3＋a 5＋a 7的值为________．。
启东中学奥赛训练教程高中数学
启东中学奥赛训练教程高中数学为了帮助同学们更好地准备奥赛，提高数学竞赛的成绩，以下是一些高中数学奥赛训练的重点内容和方法。
一、数列和数列极限1.1 数列的定义和常见性质数列是按一定顺序排列的一组数，常用a1, a2, a3,...,an表示。
了解数列的定义和常见性质对解决数学竞赛题目至关重要。
1.2 数列的通项公式数列通项公式可以将数列中的每一项表示为n的函数，了解常见数列的通项公式有助于快速计算和判断数列的性质。
1.3 数列极限的概念与性质数列极限是指当数列的项趋于无穷大或无穷小时，数列的极限值，了解数列极限的概念和性质能够帮助我们更好地理解数列的发展趋势。
二、函数与方程2.1 函数的概念与性质函数是将一个自变量映射到一个因变量的规则，在数学竞赛中，掌握函数的概念和性质能够帮助我们解决各种与函数相关的题目。
2.2 一次函数与二次函数一次函数和二次函数是数学竞赛中经常出现的函数类型，了解它们的特点、性质和图像有助于我们在考试中迅速解题。
2.3 一元高次方程一元高次方程是一种常见的数学题型，它的解法需要掌握多项式的基本性质和求根方法。
对于数学竞赛来说，熟练解一元高次方程是考验数学能力的一项重要内容。
三、平面向量与解析几何3.1 平面向量的概念与运算平面向量是指具有大小和方向的量，在数学竞赛中，熟练掌握平面向量的加减、数量积和向量积等运算有助于解决与向量相关的问题。
3.2 点与直线的位置关系点与直线的位置关系是解析几何中的热门话题，了解点到直线的距离、点与直线的位置关系等概念和性质，可以帮助我们更好地理解几何问题。
3.3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系也是解析几何中的重要内容，掌握圆的性质、相交关系和切线等概念，能够帮助我们解决与圆相关的问题。
以上就是启东中学奥赛训练教程高中数学的主要内容。
希望同学们通过学习和练习这些知识点，能够在数学竞赛中取得更好的成绩。
努力学习，勇攀高峰！。
高中数学竞赛专题讲座之二：数列
高中数学竞赛专题讲座之二：数列一、选择题部分1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2245n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（B ）A ．1aB ．2aC ．3aD ．4a2．（2006安徽初赛）正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a =（ ）A ．98B ．99C ．100D ．101 3．（2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为 （A ） A ．2007 B ．2008 C ．2006 D ．10044．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。
则满足不等 式|S n -n-6|<1251的最小整数n 是 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．8解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为-31的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)=311])31(1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。
5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=nn x x -+313，则∑=20051n nx= （ ）A ．1B ．-1C ．2+3D ．-2+3解：x n+1=n n x x 33133-+，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1, x 5=-2+3,x 6=2-3, x 7=1，……，∴有∑===2005111n nx x。
高中数学竞赛辅导讲义 第五章 数列【讲义】
第五章 数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。
其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。
若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n =d n n na a a n n 2)1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn .定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a nn =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。
定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =qq a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。
(完整版)高中数学数列专题复习
高中数学数列专题目录高中数学数列专题 (2)第1讲数列的概念及其表示 (2)第2讲等差数列及前n项和 (17)第3讲等比数列及前n项和 (32)第4讲数列求和、数列的综合应用 (47)第四年末的住房面积为 (67)第五年末的住房面积为 (67)高中数学数列专题第1讲数列的概念及其表示考点一数列的概念及其表示方法知识点1数列的定义(1)按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第一项，也叫首项．(2)数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成：以正整数集N*或N*的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．2数列的表示方法列表法列表格表达n与a n的对应关系图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用公式表达的方法递推公式使用初始值a1和a n＋1＝f(a n)或a1，a2和a n＋1＝f(a n，a n－1)等表达数列的方法3数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1>a n其中n∈N*递减数列a n＋1<a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项注意点数列图象是一些孤立的点数列作为一种特殊的函数，由于它的定义域为正整数集N*或它的有限子集，所以它的图象是一系列孤立的点.入门测1．思维辨析(1)数列{a n}和集合{a1，a2，a3，…，a n}表达的意义相同．()(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．()(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()(4)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n＝1＋(－1)n＋12.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．数列13，18，115，124，…的一个通项公式为()A．a n＝12n＋1B．a n＝1n＋2C．a n＝1n(n＋2)D．a n＝12n－1答案 C解析观察知a n＝1(n＋1)2－1＝1n(n＋2).3．若数列{a n}中，a1＝3，a n＋a n－1＝4(n≥2)，则a2015的值为()A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析因为a1＝3，a n＋a n－1＝4(n≥2)，所以a1＝3，a2＝1，a3＝3，a4＝1，…，显然当n是奇数时，a n＝3，所以a2015＝3.解题法[考法综述]利用归纳法求数列的通项公式，或给出递推关系式求数列中的项，并研究数列的简单性质．命题法数列的概念和表示方法及单调性的判断典例(1)已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{a n}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)写出下面各数列的一个通项公式：①3,5,7,9，…；②1,3,6,10,15，…；③－1，32，－13，34，－15，36，…；④3,33,333,3333，….[解析](1)若数列{a n}为递增数列，则有a n＋1－a n>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是有3>2λ，λ<32.由λ<1可得λ<32，但反过来，由λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件，故选A.(2)①各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1. ②将数列改写为1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…因而有a n ＝n (n ＋1)2，也可逐差法a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式累加得a n ＝n (n ＋1)2.③奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1， 所以a n ＝(－1)n·2＋(－1)nn.④将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)．[答案] (1)A (2)见解析【解题法】 归纳法求通项公式及数列单调性的判断(1)求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n 项与序号n 之间的关系，常用技巧有：①借助于(－1)n 或(－1)n ＋1来解决项的符号问题．②项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系．③对较复杂的数列的通项公式的探求，可采用添项、还原、分割等方法，转化为熟知的数列，如等差数列、等比数列等来解决．④根据图形特征写出数列的通项公式，首先，要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化；其次，要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律；最后，归纳猜想出通项公式．(2)数列单调性的判断方法①作差比较法：a n ＋1－a n >0⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1－a n <0⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1－a n ＝0⇔数列{a n }是常数列．②作商比较法：当a n >0时，则a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1a n<1⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列． 当a n <0时，则a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1a n <1⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列．③结合相应函数的图象直观判断数列的单调性．对点练1．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0答案 C解析 ∵数列{2a 1a n }为递减数列，∴2 a 1a n >2 a 1a n ＋1，n ∈N *，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1(a n ＋1－a n )<0.∵{a n }为公差为d 的等差数列，∴a 1d <0.故选C.2．下列可以作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1B ．a n ＝(－1)n ＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝(－1)n －1＋32答案 C解析 A 项显然不成立；n ＝1时，a 1＝－1＋12＝0，故B 项不正确；n ＝2时，a 2＝(－1)2－1＋32＝1，故D 项不正确．由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…，故选C. 3.下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)2答案 C解析 解法一：令n ＝1,2,3,4，验证选项知选C.解法二：a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 3＋4，…，a n ＝a n －1＋n . ∴(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2. 因此a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.考点二 数列的通项公式知识点1 a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).2 已知递推关系式求通项一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．注意点 已知S n 求a n 时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论，特别注意a n ＝S n －S n －1中需n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则需统一“合写”． (3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).入门测1．思维辨析(1)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) (2)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( ) (3)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ 2．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1a n －1＋1，则a 4等于( )A.53B.43 C ．1 D.23答案 A解析 由a 1＝1，a n ＝1a n －1＋1得，a 2＝1a 1＋1＝2，a 3＝1a 2＋1＝12＋1＝32，a 4＝1a 3＋1＝23＋1＝53.故选A.3．在正项数列{a n }中，若a 1＝1，且对所有n ∈N *满足na n ＋1－(n ＋1)a n ＝0，则a 2015＝( ) A ．1011 B ．1012 C ．2014 D ．2015答案 D解析 由a 1＝1，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝0可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ，得到a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n ＋1a n＝n ＋1n ，上述式子两边分别相乘得a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n ＋1a n ＝a n ＋1＝21×32×43×…×n ＋1n ＝n ＋1，故a n ＝n ，所以a 2015＝2015，故选D.解题法[考法综述] 高考以考查a n 与S n 的关系为主要目标以求通项公式a n 为问题形式，特别是给出递推公式如何构造数列求通项公式作为一个重难点和命题热点．命题法 由S n 求a n 或由递推关系式求a n典例 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n ，则此数列的通项公式为a n ＝________. (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，求S n .[解析] (1)当n ＝1时， a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1.当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，∴a n ＝4n ＋1.(2)∵当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1， ∴S n －S n －1＋2S n S n －1＝0，即1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是公差为2的等差数列，又S 1＝a 1＝12，∴1S 1＝2，∴1S n ＝2＋(n －1)·2＝2n ， ∴S n ＝12n.[答案] (1)4n ＋1 (2)见解析 【解题法】 求通项公式的方法 (1)由S n 求a n 的步骤 ①先利用a 1＝S 1求出a 1.②用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n的表达式．③对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．(2)由递推公式求通项公式的常见类型与方法①形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，常用累加法．即利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n－1)求通项公式．②形如a n ＋1＝a n f (n )，常用累乘法，即利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1求通项公式．③形如a n ＋1＝ba n ＋d (其中b ，d 为常数，b ≠0,1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造a n ＋1＋x ＝b (a n ＋x )⎝⎛⎭⎫其中x ＝db －1，则{a n ＋x }是公比为b 的等比数列，利用它即可求出a n .④形如a n ＋1＝pa n qa n ＋r (p ，q ，r 是常数)的数列，将其变形为1a n ＋1＝r p ·1a n ＋qp .若p ＝r ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为q p ，可用公式求通项；若p ≠r ，则采用③的办法来求．⑤形如a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n (p ，q 是常数，且p ＋q ＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为a n ＋2－a n ＋1＝(－q )·(a n ＋1－a n )，则{a n －a n －1}(n ≥2，n ∈N *)是等比数列，且公比为－q ，可以求得a n－a n －1＝f (n )，然后用累加法求得通项．⑥形如a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f (n )的式子， 由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f (n )，①得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝f (n －1)，② 再由①－②可得a n .对点练1．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．答案2011解析 由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2， 则1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和S 10＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2⎝⎛⎭⎫1－111＝2011. 2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝2·3n －1－1解析 ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)． ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}是等比数列，公比q ＝3. 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1.3.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.4.S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3. 可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即 2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知 b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n3(2n ＋3).5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn ，k ∈N *，且S n 的最大值为8.试确定常数k ，并求数列{a n }的通项公式．解 因为S n ＝－12n 2＋kn ＝－12(n －k )2＋12k 2，其中k 是常数，且k ∈N *，所以当n ＝k 时，S n取最大值12k 2，故12k 2＝8，k 2＝16，因此k ＝4，从而S n ＝－12n 2＋4n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n 2＋4n －⎣⎡⎦⎤－12(n －1)2＋4(n －1)＝92－n . 当n ＝1时，92－1＝72＝a 1，所以a n ＝92－n .微型专题 数列中的创新题型创新考向以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点，考查频次较高．命题形式：常见的有新定义、新规则等．创新例题把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30答案 B解析由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.创新练习1．将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差，即a2014－5＝()A．2018×2012 B．2020×2013C．1009×2012 D．1010×2013答案 D解析观察图中的“梯形数”可得：a2－a1＝4，a3－a2＝5，a4－a3＝6…a2014－a2013＝2016，累加得：a2014－a1＝4＋5＋6＋…＋2016＝2013×20202＝2013×1010，即a2014－5＝2013×1010.2．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a n a n＋1a n＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.答案28解析依题意得数列{a n}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.3．对于E＝{a1，a2，...，a100}的子集X＝{a i1，a i2，...，a ik}，定义X的“特征数列”为x1，x2，...，x100，其中x i1＝x i2＝...＝x ik＝1，其余项均为0，例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0， 0(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________．(2)若E的子集P的“特征数列”为p1，p2，…，p100满足p1＝1，p i＋p i＋1＝1,1≤i≤99.E的子集Q的“特征数列”为q1，q2，…，q100满足q1＝1，q j＋q j＋1＋q j＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．答案(1)2(2)17解析(1)据“特征数列”定义知子集{a1，a3，a5}的特征数列为1,0,1,0,1,0，…，0，故其前三项和为2.(2)由定义知p1＝1，p2＝0，p3＝1，p4＝0…故集合P＝{a1，a3，a5，…，a99}＝{a i|i＝2k＋1，k∈N且k≤49}，又q1＝1，q2＝q3＝0，q4＝1，q5＝q6＝0，q7＝1，…，∴集合Q＝{a1，a4，a7，a10…}＝{a i|i＝3k＋1，k∈N且k≤33}．若a k∈P∩Q，则k＝2k1＋1＝3k2＋1，k1，k2∈N，k1≤49，k2≤33.即2k1＝3k2，不妨设6k3＝2k1＝3k2，所以k1＝3k3，k2＝2k3,0≤3k3≤49,0≤2k3≤33，k3∈N，得k3∈{0,1,2,3，…，16}，k ＝6k3＋1，共有17个，P∩Q中元素个数为17.创新指导1．准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．2．方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．已知数列{a n}中，a n＝n2－kn(n∈N*)，且{a n}单调递增，则k的取值范围是________．[错解][错因分析]在解答的过程中虽然注意了数列的定义域为正整数集，但是不能用二次函数对称轴法来判断数列的单调性．因为数列的图象不是连续的，而是离散的点．[正解]由题意得a n＋1－a n＝2n＋1－k，又{a n}单调递增，故2n＋1－k>0恒成立，即k<2n ＋1(n∈N*)恒成立，解得k<3.[答案]k<3[心得体会]课时练基础组1.数列{a n}的通项a n＝nn2＋90，则数列{a n}中的最大值是()A．310 B．19C.119 D.1060答案 C解析因为a n＝1n＋90n，运用基本不等式得，1n＋90n≤1290，由于n∈N*，不难发现当n＝9或10时，a n＝119最大，故选C.2．数列{a n}的前n项积为n2，那么当n≥2时，{a n}的通项公式为() A．a n＝2n－1 B．a n＝n2C．a n＝(n＋1)2n2D．a n＝n2(n－1)2答案 D解析设数列{a n}的前n项积为T n，则T n＝n2，当n≥2时，a n＝T nT n－1＝n2 (n－1)2.3．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＋S m＝S n＋m，且a1＝1，那么a10等于() A．1 B．9C．10 D．55答案 A解析∵S n＋S m＝S n＋m，a1＝1，∴S1＝1.可令m＝1，得S n＋1＝S n＋1，∴S n＋1－S n＝1.即当n≥1时，a n＋1＝1，∴a10＝1.4．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－1(n∈N*)，则a5等于()A．－16 B．16C．31 D．32答案 B解析当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，S n－1＝2a n－1－1，∴a n＝2a n－2a n－1，∴a n＝2a n－1.∴{a n}是等比数列且a1＝1，q＝2，故a5＝a1×q4＝24＝16.5．已知数列{a n}满足a0＝1，a n＝a0＋a1＋…＋a n－1(n≥1)，则当n≥1时，a n等于()A ．2n B.12n (n ＋1) C ．2n －1 D ．2n －1答案 C解析 由题设可知a 1＝a 0＝1，a 2＝a 0＋a 1＝2. 代入四个选项检验可知a n ＝2n －1.故选C.6. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．5或6 D ．7答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n≥a n ＋1，∴⎩⎨⎧(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n≥(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n －1，(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n≥(n ＋3)⎝⎛⎭⎫78n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6. 7．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n ＋1，则数列的通项a n ＝________. 答案 n 2解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n ＋1.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝n 2(n ≥2)．当n ＝1时，也适用a n ＝n 2.8．已知数列{a n }的首项a 1＝2，其前n 项和为S n .若S n ＋1＝2S n ＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3·2n －2，n ≥2解析 由S n ＋1＝2S n ＋1，则有S n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1＝2a n ，又S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋1，a 2＝3，所以数列{a n }从第二项开始成等比数列，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3·2n －2，n ≥2.9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n >1，n ∈N *，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝________.答案 91解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2，S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋2，两式相减得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1(n ≥2)，∴数列{a n }从第二项开始为等差数列，当n ＝2时，S 3＋S 1＝2S 2＋2，∴a 3＝a 2＋2＝4，∴S 10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋9(2＋18)2＝91. 10. 如图所示的图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是________．答案n (n ＋1)2解析 由已知，有a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10， ∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ， 各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ， 即a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，故第n 个图形中小正方形的个数是n (n ＋1)2. 11．已知数列{a n }满足：a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1(n ∈N *，n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及以后各项均小于11000？ 解 (1)n ≥2时，a n a n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1， 故a n ＝a n a n －1·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎝⎛⎭⎫12n －2·…·⎝⎛⎭⎫122·⎝⎛⎭⎫121 ＝⎝⎛⎭⎫121＋2＋…＋(n －1)＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2，当n ＝1时，a 1＝⎝⎛⎭⎫120＝1，即n ＝1时也成立． ∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2.(2)∵y ＝(n －1)n 在[1，＋∞)上单调递增， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2在[1，＋∞)上单调递减． 当n ≥5时，(n －1)n 2≥10，a n ＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2 ≤11024. ∴从第5项开始及以后各项均小于11000.12．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0<a n ≤12，2a n－1，12<a n<1，且a 1＝67，求a 2015.解 ∵a 1＝67∈⎝⎛⎭⎫12，1，∴a 2＝2a 1－1＝57. ∵a 2∈⎝⎛⎭⎫12，1，∴a 3＝2a 2－1＝37. ∵a 3∈⎝⎛⎭⎫0，12，∴a 4＝2a 3＝67＝a 1， ∴{a n }是周期数列，T ＝3，∴a 2015＝a 3×671＋2＝a 2＝57.能力组13.已知数列{a n }满足条件12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14(n ＝1)2n ＋1(n ≥2)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n ＋2答案 B解析 由题意可知，数列{a n }满足条件12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n －1a n －1 ＝2(n －1)＋5，n >1，两式相减可得：a n2n ＝2n ＋5－2(n －1)－5＝2，∴a n ＝2n ＋1，n >1，n ∈N *. 当n ＝1时，a 12＝7，∴a 1＝14，综上可知，数列{a n }的通项公式为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14(n ＝1)，2n ＋1(n ≥2).故选B.14．在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为________．答案 66解析 每行的第二个数构成一个数列{a n }，由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，则a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，各式两边同时相加，得 a n －a 2＝(2n －3＋3)×(n －2)2＝n 2－2n ，即a n ＝n 2－2n ＋a 2＝n 2－2n ＋3(n ≥2)，故a 9＝92－2×9＋3＝66. 15．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴b n＝⎩⎨⎧23(n ＝1)1n (n ≥2).(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1(2n ＋3)(2n ＋2)<0， ∴{c n }是递减数列．16．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3.(1)求a n ；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ·n (3－4a n )a n ＝1，求证：12≤S n <1.解 (1)由已知得a n ≠0则由a n ＋1＝3a n a n ＋3，得1a n ＋1＝a n ＋33a n ，即1a n ＋1－1a n ＝13，而1a 1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以2为首项，以13为公差的等差数列．∴1a n ＝2＋13(n －1)＝n ＋53，∴a n ＝3n ＋5. (2)证明：∵b n ·n (3－4a n )a n ＝1，由(1)知a n ＝3n ＋5，∴b n ＝a n n (3－4a n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又∵n ≥1，∴n ＋1≥2，∴0<1n ＋1≤12. ∴12≤S n <1. 第2讲 等差数列及前n 项和 考点一 等差数列的概念及运算知识点1 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义的表达式为a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数．2 等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2. 3 等差数列的通项公式及其变形通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，其中a 1是首项，d 是公差．通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *.4 等差数列的前n 项和 等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 5 等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列； 当d <0时，数列{a n }为递减数列； 当d ＝0时，数列{a n }为常数列．注意点 定义法证明等差数列时的注意事项(1)证明等差数列时，切忌只通过计算数列的a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3等有限的几个项的差后，发现它们都等于同一个常数，就断言数列{a n }为等差数列．(2)用定义法证明等差数列时，常采用a n ＋1－a n ＝d ，若采用a n －a n －1＝d ，则n ≥2，否则n ＝1时无意义.入门测1．思维辨析(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．2 D ．3答案 C 解析 因为S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4.所以a 1＝0，所以d ＝a 3－a 12＝2. 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14答案 C解析 ∵S 3＝3(a 1＋a 3)2＝3a 2＝12，∴a 2＝4.∵a 1＝2，∴d ＝a 2－a 1＝4－2＝2. ∴a 6＝a 1＋5d ＝12.故选C.[考法综述] 等差数列的定义，通项公式及前n 项和公式是高考中常考内容，用定义判断或证明等差数列，由n ，a n ，S n ，a 1，d 五个量之间的关系考查基本运算能力．命题法1 等差数列的基本运算典例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .[解] (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50.解得a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝2n ＋10； (2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242， 得方程12n ＋n (n －1)2×2＝242， 解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．【解题法】 等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．命题法2 等差数列的判定与证明典例2 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， ∴b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＋1－(a n ＋1－a n ) ＝2a n ＋1－a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2.∴{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)，即a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5， …，a n －a n －1＝2n －3，累加法可得 a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)2， ∴a n ＝n 2－2n ＋2.【解题法】 等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数． (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立． (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q . (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6答案 B解析 设数列{a n }的公差为d ，由a 4＝a 2＋2d ，a 2＝4，a 4＝2，得2＝4＋2d ，d ＝－1，∴a 6＝a 4＋2d ＝0.故选B.2.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0 D ．a 1d <0，dS 4>0 答案 B解析 由a 24＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2，整理得d (5d ＋3a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝－53d ，则a 1d ＝－53d 2<0，又∵S 4＝4a 1＋6d ＝－23d ，∴dS 4＝－23d 2<0，故选B.3．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．答案 －12解析 由已知得S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，而S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，整理得2a 1＋1＝0，解得a 1＝－12.4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 解 (1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．考点二 等差数列的性质及应用知识点等差数列及其前n 项和的性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)．(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12.(6)在等差数列{a n }中，①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.(7)若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a mb m. (8)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.注意点 前n 项和性质的理解等差数列{a n }中，设前n 项和为S n ，则S n ，S 2n ，S 3n 的关系为2(S 2n －S n )＝S n ＋(S 3n －S 2n )不要理解为2S 2n ＝S n ＋S 3n .入门测1．思维辨析(1)等差数列{a n }中，有a 1＋a 7＝a 2＋a 6.( )(2)若已知四个数成等差数列，则这四个数可设为a －2d ，a －d ，a ＋d ，a ＋2d .( ) (3)若三个数成等差数列，则这三个数可设为：a －d ，a ，a ＋d .( )(4)求等差数列的前n 项和的最值时，只需将它的前n 项和进行配方，即得顶点为其最值处．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．44答案 C解析 由题可知S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 2＋a 10)2＝11×42＝22，故选C.3．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝90，则a 10－13a 14的值为( )A ．12B ．14C ．16D ．18答案 A解析 由题意知5a 8＝90，a 8＝18，a 10－13a 14＝a 1＋9d －13(a 1＋13d )＝23a 8＝12，选A 项．[考法综述] 等差数列的性质是高考中的常考内容，灵活应用由概念推导出的重要性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的．命题法1 等差数列性质的应用典例1 等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66[解析] 由a 1＋a 4＋a 7＝39，得3a 4＝39，a 4＝13. 由a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 6＝27，a 6＝9. 所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×(13＋9)2＝9×11＝99，故选C. [答案] C【解题法】 应用等差数列性质应注意(1)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a mn －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．(2)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ( m ，n ，p ，q ∈N *)．一般地，a m＋a n ≠a m ＋n ，必须是两项相加，当然也可以是a m －n ＋a m ＋n ＝2a m .因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件．命题法2 与等差数列前n 项和有关的最值问题典例2 等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n最大？[解] 解法一：由S 3＝S 11得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1.从而S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，又a 1>0，所以－a 113<0.故当n ＝7时，S n 最大．解法二：由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由解法一可知a ＝－a 113<0，故当n ＝7时，S n 最大．解法三：由解法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0， 即⎩⎨⎧a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝⎛⎭⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大． 解法四：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0， 所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大． 【解题法】 求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *. (2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1 ≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．1．设{a n }是等差数列．下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0 B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0 C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3 D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0 答案 C解析 若{a n }是递减的等差数列，则选项A 、B 都不一定正确．若{a n }为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a 2＝a 1＋a 32，由基本不等式得a 1＋a 32>a 1a 3，所以C 正确． 2．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，则使S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4025B ．4024C ．4023D ．4022答案 B解析 ∵等差数列{a n }的首项a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，假设a 2012<0<a 2013，则d >0，而a 1>0，可得a 2012＝a 1＋2011d >0，矛盾，故不可能． ∴a 2012>0，a 2013<0. 再根据S 4024＝4024(a 1＋a 4024)2＝2012(a 2012＋a 2013)>0，而S 4025＝4025a 2013<0，因此使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 为4024.3.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a nb n ＝( )A.23 B.2n －13n －1 C.2n ＋13n ＋1D.2n －13n ＋4答案 B解析 a n b n ＝2a n2b n ＝2n －12(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)＝S 2n －1T 2n －1＝2(2n －1)3(2n －1)＋1＝2n －13n －1.故选B.4．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 答案 10解析 由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，得5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.5．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________． 答案 5解析 设等差数列的首项为a 1，根据等差数列的性质可得，a 1＋2015＝2×1010，解得a 1＝5.6．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，－78 解析 由题意知d <0且⎩⎪⎨⎪⎧ a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.7.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．8．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求通项a n ； (2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c . 解 (1)因为数列{a n }为等差数列， 所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d >0，所以a 3<a 4， 所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4. 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18. 所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1. (3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 因为数列{b n }是等差数列， 所以2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c， 所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＝9，S 5＝15，则使其前n 项和S n 取得最小值时的n ＝________.[错解][错因分析] 等差数列的前n 项和最值问题，可以通过找对称轴来确定，本题只关注到n ∈N *，并未关注到n ＝1与n ＝2时，S 1＝S 2，导致错误．[正解] ∵a 5＝9，S 5＝15，∴a 1＝－3，d ＝3. ∴a n ＝3n －6，S n ＝32n 2－92n .把S n 看作是关于n 的二次函数，其对称轴为n ＝32.∴当n ＝1或n ＝2时，S 1＝S 2且最小． [心得体会]课时练 基础组1.已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64答案 A解析 由题意可知2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝11a 6＝992，a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A. 2．已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2014＝( )A ．1006×2013B ．1006×2014C ．1007×2013D ．1007×2014答案 C解析 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2014＝2014×20132＝1007×2013.故选C.3．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A解析由已知式2a n＋1＝1a n＋1a n＋2可得1a n＋1－1a n＝1a n＋2－1a n＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n是首项为1a1＝1，公差为1a2－1a1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n，即a n＝1n.4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()A．63 B．45C．36 D．27答案 B解析S3＝9，S6－S3＝36－9＝27，根据S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，S9－S6＝45，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝45，故选B.5．已知等差数列{a n}中，前四项和为60，最后四项和为260，且S n＝520，则a7＝() A．20 B．40C．60 D．80答案 B解析前四项的和是60，后四项的和是260，若有偶数项，则中间两项的和是(60＋260)÷4＝80.S n＝520,520÷80不能整除，说明没有偶数项，有奇数项，则中间项是(60＋260)÷8＝40.所以共有520÷40＝13项，因此a7是中间项，所以a7＝40.6．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4S2＝4，则S6S4＝()A.94 B.32C.53D．4答案 A解析由S4S2＝4，可设S2＝x，S4＝4x.∵S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，∴2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)．则S6＝3S4－3S2＝12x－3x＝9x，因此，S6S4＝9x4x＝94.7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－3，a k＋1＝32，S k＝－12，则正整数k＝______.答案13解析由S k＋1＝S k＋a k＋1＝－12＋32＝－212，又S k＋1＝(k＋1)(a1＋a k＋1)2＝(k＋1)⎝⎛⎭⎫－3＋322＝－212，解得k＝13.8.设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 1＝________.答案14解析 设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，∴S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，数列{S n }是等差数列，则S n 是关于n 的一次函数(或者是常数)，则a 1－d2＝0，S n ＝d2n ，从而数列{S n }的公差是d2，那么有d 2＝d ，d ＝0(舍去)或d ＝12，故a 1＝14.9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝10，S 5＝55，则a 10＝________. 答案 39解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＝10，5a 1＋5×42d ＝55，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，a 1＋2d ＝11，解得a 1＝3，d ＝4，a 10＝a 1＋(10－1)d ＝39. 10设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若a 1<a 2，b 1<b 2，且b i ＝a 2i (i ＝1,2,3)，则数列{b n }的公比为________．答案 3＋2 2解析 设a 1，a 2，a 3分别为a －d ，a ，a ＋d ，因为a 1<a 2，所以d >0，又b 22＝b 1b 3，所以a 4＝(a －d )2(a ＋d )2＝(a 2－d 2)2，则a 2＝d 2－a 2或a 2＝a 2－d 2(舍)，则d ＝±2a .若d ＝－2a ，则q ＝b 2b 1＝⎝⎛⎭⎫a 2a 12＝(1－2)2＝3－22<1，舍去；若d ＝2a ，则q ＝⎝⎛⎭⎫a 2a 12＝3＋2 2. 11．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数，又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52. 因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1(13－3n )(10－3n )＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛ 110－3n －⎭⎫113－3n。
高中数学《数列》复习专题
1 n 1 练1.若an an 1 1 ( ) , a1 0, 求通项公式. 2 解：
专题2：求通项公式 1.累加型 an an1 f ( n) 2.累乘型 an an1 f ( n)
n 1个 an 1 q an 2 an q a
例3.数列 {an }满足an 3an1 1, a1 1, 求 {an }的通项公式 .
解： 设 为待定系数， an 3an 1 1
1 1 n 1 那么an =(a1 )3 2 2 an 3an1 1 1 1 n 1 即an = 3 1 2 2 an 3(an 1 ) n 1 3 3 +1 也即an = 1 1 2 则 令 ， 2 3 1 1 即an 3(an 1 ) 2 2 1 1 {an }是以a1 为首项， 2 2 3为公差的等比数列.
练1.an
1 4n 1
2
, 求S n .
1 1 练 2.an 2 , 证明Sn . 4n 4n 3 3
1 1 1 例2.求和： 2+ 3 3+ 4 4+ 5
1 99+ 100
1 1 1 练3.求和： + 1+ 3 2+ 4 3+ 5
1 n + n+2
2 an an1 an1
专题2：求通项公式 1.累加型 an an1 f ( n) 回顾：求等差数列的通 项公式：— —累加法
由递推公式 an an1 d (n 2)可知， a2 a1 d 当n 2时， a3 a2 d a4 a3 d n 1个 a n 1 a n 2 d a n a n 1 d
(完整版)高中数学数列求和专题复习_知识点,习题
数列求和例题精讲1． 公式法求和（1）等差数列前n 项和公式 d n n na a a n a a n S k n k n n 2)1(2)(2)(111-+=+=+=-+ （2）等比数列前n 项和公式 1=q 时 1na S n =1≠q 时 qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11（3）前n 个正整数的和 2)1(321+=++++n n n Λ 前n 个正整数的平方和 6)12)(1(3212222++=++++n n n n Λ前n 个正整数的立方和 23333]2)1([321+=++++n n n Λ公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n 的值；（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。
例1．求数列13741+n ，，，，Λ的所有项的和例2．求和221-++++n x x x Λ(0,2≠≥x n )2．分组法求和例3．求数列1，21+，321++，…，n ++++Λ321的所有项的和。
例4．已知数列{}n a 中，⎪⎩⎪⎨⎧+=)()2()(15为偶数为奇数n n n a nn ，求m S 2。
3．并项法求和例5．数列{}n a 中， 21)1(n a n n +-=，求100S 。
例6．数列{}n a 中，，n a n n 4)1(-=，求20S 及35S 。
4．错位相减法求和{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n{}和，可由求，其中为的公比。
S qS S q b n n n n -例7．求和12321-++++n nx x x Λ（0≠x ）。
5．裂项法求和:把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
例8．求和)12)(12(1751531311+-++⨯+⨯+⨯n n Λ。
例9．求和nn +++++++++11321231121Λ。
［练习］ 求和：…………111211231123+++++++++++n （…………，）a S n n n ===-+2116 . 倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题数列是高中数学竞赛中常见的重要题型，掌握数列的性质及解题方法对于参加数学竞赛至关重要。
本文将围绕高中数学竞赛数列专题展开讨论，包括数列的定义与性质、常见数列的特征、递推公式的应用、数列的求和与极限等方面的内容。
一、数列的定义与性质数列是按照一定规律排列的一系列数，常用字母表示，如$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$。
数列的第一项记作$a_1$，第二项记作$a_2$，第$n$项记作$a_n$。
数列中的数字称为项，项之间的关系由递推关系式表示。
数列的性质包括有界性、单调性以及极限。
有界性是指数列的所有项都满足某个范围，可以是有上界、下界或者同时有上下界。
单调性是指数列的项按照一定的规律递增或递减。
而极限是指数列的项随着$n$的增大逐渐趋于某一个值。
二、常见数列的特征常见数列包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
等差数列是指数列的相邻项之间的差值相等，记作$a_n=a_1+(n-1)d$。
其中，$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示第一项，$d$表示公差。
等差数列的性质包括：通项公式、前$n$项和公式、末项公式等。
等比数列是指数列的相邻项之间的比值相等，记作$a_n=a_1 \cdotq^{(n-1)}$。
其中，$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示第一项，$q$表示公比。
等比数列的性质包括：通项公式、前$n$项和公式、末项公式以及无穷项和公式等。
斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列，记作$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
其中，$a_n$表示第$n$项，$a_{n-1}$表示前一项，$a_{n-2}$表示前两项。
斐波那契数列的性质包括：递推关系式、通项公式、性质应用等。
三、递推公式的应用递推公式是描述数列中项之间的关系的方程式。
通过解递推公式，可以确定数列中任意一项的值。
在数学竞赛中，递推公式的应用非常重要。
解递推公式可以使用递推法、代入法和特殊求和法等不同的方法。
高中数学竞赛数列
竞赛辅导数列(等差数列与等比数列)数列是高中数学中一个重要课题，也是数学竞赛中常常出现问题。
数列最根本是等差数列与等比数列。
所谓数列，就是按肯定次序排列一列数。
假如数列{a n}第n项a n 与项数(下标)n之间函数关系可以用一个公式a n=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列通项公式。
从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它有限子集{1，2，…n})函数当自变量从小到大依次取值时对应一列函数值，而数列通项公式也就是相应函数解析式。
为理解数列竞赛题，首先要深入理解并娴熟驾驭两类根本数列定义、性质有关公式，把握它们之间(同构)关系。
一、等差数列假如一个数列从第二项起，每一项与它前一项差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差常用字母d表示。
等差数列{a n}通项公式为：前n项和公式为：从(1)式可以看出，是一次数函()或常数函数()，()排在一条直线上，由(2)式知，是二次函数()或一次函数()，且常数项为0。
在等差数列{}中，等差中项：且随意两项关系为：它可以看作等差数列广义通项公式。
从等差数列定义、通项公式，前项和公式还可推出：假设二、等比数列假如一个数列从第2项起，每一项与它前一项比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列公比。
公比通常用字母表示。
等比数列{a n}通项公式是：前项和公式是：在等比数列中，等比中项：且随意两项关系为假如等比数列公比满意0＜＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它各项和(又叫全部项和)公式为：从等比数列定义、通项公式、前项和公式可以推出：另外，一个各项均为正数等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列各项做指数构造幂，那么{}是等比数列。
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构〞。
重要不仅是两类根本数列定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中数学思想方法和数学才智，也是极其宝贵，诸如“倒排相加〞(等差数列)，“错位相减〞(等比数列)。
2011全国高中数学竞赛讲义-数列、组合
§16排列，组合1．排列组合题的求解策略（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略．（2）分类与分步有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理．（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数．（4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列．（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为311C ，这也就是方程12=+++d c b a 的正整数解的个数．2．圆排列（1）由},,,,{321n a a a a A =的n 个元素中，每次取出r 个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列（或叫环状排列）．（2）圆排列有三个特点：（i ）无头无尾；（ii ）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii ）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列．（3）定理：在},,,,{321n a a a a A =的n 个元素中，每次取出r 个不同的元素进行圆排列，圆排列数为rP r n ． 3．可重排列允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列．在m 个不同的元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么第一、第二、…、第n 位是的选取元素的方法都是m 种，所以从m 个不同的元素中，每次取出n 个元素的可重复的排列数为n m ．4．不尽相异元素的全排列如果n 个元素中，有1p 个元素相同，又有2p 个元素相同，…，又有s p 个元素相同（n p p p s ≤+++ 21），这n 个元素全部取的排列叫做不尽相异的n 个元素的全排列，它的排列数是!!!!21s p p p n ⋅⋅⋅ 5．可重组合（1）从n 个元素，每次取出p 个元素，允许所取的元素重复出现p ,,2,1 次的组合叫从n 个元素取出p 个有重复的组合．（2）定理：从n 个元素每次取出p 个元素有重复的组合数为：r p n p n C H )1(-+=．例题讲解1．数1447,1005,1231有某些共同点，即每个数都是首位为1的四位数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？2．有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数？3．有n 2个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？4．将1+n 个不同的小球放入n 个不同的盒子中，要使每个盒子都不空，共有多少种放法？5．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少个？6．用8个数字1,1，7,7，8,8，9,9可以组成不同的四位数有多少个？7．用E D C B A ,,,,五种颜色给正方体的各个面涂色，并使相邻面必须涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方式？8．某种产品有4只次品和6只正品（每只产品可区分），每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止．求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？9．在平面上给出5个点，连结这些点的直线互不平行，互不重合，也互不垂直，过每点向其余四点的连线作垂线，求这此垂线的交点最多能有多少个？10．位政治家举行圆桌会议，两位互为政敌的政治家不愿相邻，其入坐方法有多少种？11．某城市有6条南北走向的街道，5条东西走向的街道．如果有人从城南北角（图A 点）走到东南角中B 点最短的走法有多少种？12．用4个1号球，3个2号球，2个3号球摇出一个9位的奖号，共有多少种可能的号码？13．将r 个相同的小球，放入n 个不同的盒子（n r ）．（1）有多少种不同的放法？（2）如果不允许空盒应有多少种不同的放法？14．8个女孩和25个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站着两个男孩．（只要把圆旋转一下就重合的排列认为是相同的）课后练习1．8次射击，命中3次，其中愉有2次连续命中的情形共有（ ）种（A ）15 （B ）30 （C ）48 （D ）602．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。
高中数学竞赛专题精讲11数列(含答案)
11数列一、数列的基础知识1．数列{a n }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系它包括两个方面的问题：一是已知S n 求a n ，二是已知a n 求S n ；2．递推数列，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。
常见类型：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归） 其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归） 解题方法:利用特征方程x 2=px+q ,求其根α、β,构造a n =Aαn +Bβn ，代入初始值求得B A ,。
类型Ⅲ：a n+1=f (a n )其中函数f (x )为基本初等函数复合而成。
解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。
二、等差数列与等比数列1．定义：2．通项公式与前n 项和公式：函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。
可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。
三．等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现？数列问题的综合性主要表现在1．数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽．2．同一问题中出现有若干个相关数列，既有等差或等比数列，也有非等差，非等比的数列，需相互联系，相互转换．数列问题的灵活性表现在：1．需灵活应用递推公式，通项公式，求和公式，寻求已知与所求的关系，减少中间量计算．2．需灵活选用辅助数列，处理相关数列的关系．例题讲解1．已知(b －c )log m x +(c －a )log m y +(a －b )log m z ＝0 ①(1) 若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差不为0，求证x 、y 、z 成等比数列；(2) 若x 、y 、z 依次成等比数列，且公比不为1，求证a 、b 、c 成等差数列．2. 数列｛a n ｝的 前 n 项 和S n ＝a · 2n + b （n ∈N ），则｛a n ｝为等比数列的充要条件是________．3.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若S7＝56，S n＝420，a n－3＝34，则n＝________．4. 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S135. 各项均为实数的等比数列{an}的前n项之和为S n，若S10=10，S30=70，求S40。
高中数学竞赛辅导-数列(二)由数列的递推公式求通项公式
转化法:这里需要恰当的变形……
思考
1.已知数列{an}中，a1=
3 5
，an+1=
an 2an
1
，
求{an}的通项公式．
解：(倒数变形) 1 2an 1 1 2
an1
an
an
∴
1 an
是以
5 3
为首项，公差为
2
的等差数列，
即1 an
5 3
+2（n－1）=
一般地， 可仿第122 页例5的处 理方法试 试看.
∴an=tan
(n
1)
4
atc tan 2 ．
思考 5.设 a0 1 , an
1
a2 n1
1
an1
n N*
,求通项公式 an .
7
思考5
练习4
思考 5.设 a0 1 , an 1
山重水尽疑无路……
4
110…an…( n
3
N
*
),求通项公式
an
.
思考
3. 已 知 函 数
f (x)
( x 1)4 ( x 1)4
( x 1)4 ( x 1)4
( x 0 ),在数列
{an } 中, a1 2 , an1 f (an )( n N )，求数列 {an } 的通项公式．
求通项公式 an . 法一:取对数变形
102
1 2n1
法二:作商用迭加法也很好!
练习 3.(教程 P127 9 )各项为正数的数列an 中,
a1 1, a2 10 , an2an13an2 1 ( n≥ 3 , n N * ),
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题主要涉及以下知识点：
1. 等差数列和等比数列的定义、性质和通项公式。
2. 数列的求和：包括等差数列和等比数列的求和公式和方法，以及一些特殊的数列求和技巧，如裂项相消法、错位相减法等。
3. 数列的递推关系：包括数列的递推公式的推导和应用，以及递推关系的转化和求解。
4. 数列的极限：包括数列极限的定义、性质和计算方法，以及极限在数列中的应用。
5. 数列的函数性质：包括函数的单调性、周期性和对称性等，以及这些性质在数列中的应用。
6. 数列的应用题：包括数列在实际生活中的应用，如增长率、复利等，以及一些与数列相关的数学问题。
在竞赛中，数列常常与其他知识点结合出现，如函数、不等式、组合数学等。
因此，考生需要具备扎实的数学基础和灵活的思维，才能更好地应对竞赛中的挑战。
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高中数学奥赛辅导专题——数列一 准备知识所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作{a n }，an n n n n －1有些数列不是用通项公式给出，而是用a n 与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：a n ＋1=2a n +3，这样的公式称为数列的递推公式．由数列的递推公式我们可以求出其通项公式．数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题． 二 例题精讲例1．（裂项求和）求S n =222222)12()12(853283118+⨯-⨯++⨯⨯+⨯⨯n n nK ． 解：因为a n =22)12()12(8+⨯-⨯n n n =22)12(1)12(1+--n n 所以S n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-222222)12(1)12(151313111n n Λ=1－2)12(1+n 例2．（倒数法）已知数列{a n }中，a 1=53，a n +1=12+n n a a ，求{a n }的通项公式．解：211211+=+=+nn n n a a a a ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以35为首项，公差为2的等差数列，即351=na +2（n －1）=316-n∴a n =163-n练习1．已知数列{a n }中，a 1=1，S n =1211+--n n S S ，求{a n }的通项公式．解：21121111+=+=---n n n n S S S S ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧nS 1是以1为首项，公差为2的等差数列． ∴n S 1=1+2（n －1）=2n －1，即S n =121-n ． ∴a n =S n －S n －1=321121---n n =)32)(12(2---n n ∴a n =⎪⎩⎪⎨⎧---3211211n n )2()1(≥=n n例3．（求和法，利用公式a n =S n －S n －1，n ≥2）已知正数数列{a n }的前n 项和S n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n a a 121，求{a n }的通项公式． 解：S 1=a 1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+11121a a ，所以a 1=1． ∵a n =S n －S n －1 ∴2S n =S n －S n －1+11--n n S S∴S n +S n －1=11--n n S S ，即S n 2－S n －12=1∴{}2nS 是以1为首项，公差为1的等差数列．∴S n 2=n ，即S n =n∴a n =S n －S n －1=n －1-n （n ≥2） ∴a n =n －1-n ．例4．（叠加法）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3×（－21）n －1（n ≥3），且S 1=1，S 2=－23，求{a n }的通项公式． 解：先考虑偶数项有：S 2n －S 2n －2=－3·1221-⎪⎭⎫⎝⎛nS 2n －2－S 2n －4=－3·3221-⎪⎭⎫⎝⎛n……S 4－S 2=－3·321⎪⎭⎫⎝⎛将以上各式叠加得S 2n －S 2=－3×4114112113-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ， 所以S 2n =－2+)1(2112≥⎪⎭⎫⎝⎛-n n ．再考虑奇数项有：S 2n ＋1－S 2n －1=3·n221⎪⎭⎫⎝⎛S 2n －1－S 2n －3=3·2221-⎪⎭⎫⎝⎛n……S 3－S 1=3·221⎪⎭⎫⎝⎛将以上各式叠加得S 2n ＋1=2－)1(212≥⎪⎭⎫⎝⎛n n．所以a 2n +1=S 2n +1－S 2n =4－3×n221⎪⎭⎫ ⎝⎛，a 2n =S 2n －S 2n －1=－4+3×1221-⎪⎭⎫⎝⎛n ．综上所述a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-⎪⎭⎫⎝⎛⨯---为偶数，为奇数n n n n 112134,2134，即a n =（－1）n －1·⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--12134n ． 例5．（a n +1=pa n +r 类型数列）在数列{a n }中，a n +1=2a n －3，a 1=5，求{a n }的通项公式．解：∵a n +1－3=2（a n －3）∴{a n －3}是以2为首项，公比为2的等比数列． ∴a n －3=2n ∴a n =2n +3．练习2．在数列{a n }中，a 1=2，且a n +1=212+n a ，求{a n }的通项公式．解：a n +12=21a n 2+21 ∴a n +12－1=21（a n 2－1）∴{a n +12－1}是以3为首项，公比为21的等差数列． ∴a n +12－1=3×121-⎪⎭⎫⎝⎛n ，即a n =1231-+n例6（a n +1=pa n +f （n ）类型）已知数列{a n }中，a 1=1，且a n =a n －1+3n －1，求{a n }的通项公式．解：（待定系数法）设a n +p ·3n =a n －1+p ·3n －1则a n =a n －1－2p ·3n －1，与a n =a n －1+3n－1比较可知p =－21． 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-23n n a 是常数列，且a 1－23=－21．所以23n n a -=－21，即a n =213-n ．练习3．已知数列{a n }满足S n +a n =2n +1，其中S n 是{a n }的前n 项和，求{a n }的通项公式． 解：∵a n =S n －S n －1 ∴S n +S n －S n －1=2n +1 ∴2S n =S n －1+2n +1（待定系数法）设2（S n +pn +q ）=S n －1+p （n －1）+q化简得：－pn －p －q =2n +1，所以⎩⎨⎧=+-=-12q p p ，即⎩⎨⎧=-=12q p∴2（S n －2n +1）=S n －2（n －1）+1，又∵S 1+a 1=2+1=3，∴S 1=23，S 1－2+1=21 ∴{S n －2n +1}是以21为公比，以21为首项的等比数列．∴S n －2n +1=n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21，即S n =n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21+2n －1，a n =2n +1－S n =2－n⎪⎭⎫⎝⎛21．例7．（a n +1=pa n r 型）（2005年江西高考题）已知数列{a n }各项为正数，且满足a 1=1，a n +1=)4(21n n a a -．（1）求证：a n <a n +1<2；（2）求{a n }的通项公式． 解：（1）略．（2）a n +1=－21（a n －2）2+2 ∴a n +1－2=－21（a n －2）2∴2－a n +1=21（2－a n ）2∴由（1）知2－a n >0，所以log 2（2－a n +1）=log 221（2－a n ）2=2·log 2（2－a n ）－1 ∴log 2（2－a n +1）－1=2［log 2（2－a n ）－1］即{log 2（2－a n ）－1}是以―1为首项，公比为2的等比数列∴log 2（2－a n ）－1=－1×2n －1 化简得a n =2－1212--n ．练习4．（2006年广州二模）已知函数4444(1)(1)()(1)(1)x x f x x x ++-=+--（0x ≠）．在数列{}n a 中，12a =，1()n n a f a +=（n *∈N ），求数列{}n a 的通项公式．解：4444114441(1)(1)1(1)1(1)(1)1(1)1n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++⎛⎫++-+++=⇒== ⎪+-----⎝⎭，从而有1111ln4ln 11n nn n a a a a ++++=--， 由此及111lnln301a a +=≠-知： 数列1ln 1n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为ln3，公比为4的等比数列，故有11141441131ln 4ln 331131n n n n n n n n n a a a a a ----+++=⇒=⇒=---（n *∈N ）。
例8．（三角代换类型）已知数列{a n }中，a 1=2，a n =1111---+n n a a ，求{a n }的通项公式．解：令a n －1=tan θ，则a n +1=θπθπtan 4tan 1tan 4tan⋅-+=tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ4∴a n =tan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2tan 4)1(atc n π．。