垂直入射的反射波和透射波 波的叠加 波的干涉与驻波

介质的特性阻抗（波阻）
在边界处（x=0)：
（1）位移连续： 界面各点的位移值是唯一的。
( y1 + y′1 )x=0 = ( y2 )x=0
A1 cosωt + A′1 cos(ωt −ϕr ) = A2 cos(ωt −ϕt )
A1 + A1′ cosϕr = A2 cosϕt
A′1 sinϕr = A2 sinϕt
表达式为 y(t, xa) = Acosωt ， xb = 3λ 置波阻较大的反射面。
试求：若无能量损失①入射波函数；②反射波函数。
解①
y
x
以 a 为源 o a
b
y(t,
x)
=
Acos[ ω
t
−
2π λ
(x−
xa )]
=
Acos(ωt
−
2π λ
x+π)
②入射波在反射点的振动 y(t, xb ) = Acos(ωt − 5π )
2.驻波相位分布特点
x =λ/4
波节
x = 3 λ/4
波节
(+) (-) (-) (+)
x=0 波腹
x =λ/ 2
波腹
y( x, t) = 2Acos 2π x cosωt λ
A′ = 2 A cos x 2 π
λ
(+)
(-) (+)
(-) (+)
取两相邻波节间为一段，同一段振动相位相同；相 邻段振动相位相反。驻波是分段的振动。
相同时，叠加后就形成驻波
x
应用程序
两列波
y1( x, t) =
y2(x, t) =
A cos( ω t
A cos( ωt
−
+
2π
2π
x
xλ))
λ
合成波
y(x, t)
=
y1 +
y2
=
2A cos 2π
x
λ
cos ωt
驻波的表达式
= A' cosωt
y( x, t) = 2 Acos 2π x cosωt λ
T空气－水＝0.1％
T空气－钢＝0.004％ T水－钢＝12％
垂直入射的反射波和透射波
振幅关系
α = A1′ = z1 − z2
A1 z1 + z2
相位关系
β = A2 = 2z1
A1 z1 + z2
入射波 y1
反射波 y1′ 介质1 o z1 = ρ 1u1
透射波 y2
x
介质2
z2 = ρ 2u2
3. 叠加成立条件：波的强度较小,媒质形变与弹力呈线性关系。
二、波的干涉
1.波的干涉 频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的 两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一 些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.
¾ 波的相干条件 1）频率相同； 2）振动方向平行； 3）相位相同或相位差恒定.
z2 A2 z1 A1
)2
=
4 z2 z1 ( z1 + z2
)2
R+T =1
强度反射系数和强度透射系数在实际问 题中非常重要。 例如： 标准状态下空气的波阻: z=420 kg/(m2.s)
水的波阻: z=1.5x106 kg/(m2.s)
钢的波阻（按纵波计算）: z=4.6x107 kg/(m2.s)
dE = ρ A2ω2 sin2 ω⎜⎛t − x⎟⎞dV
⎝ u⎠
能量密度：波传播时，单位体积介质内波的能量
w
=
dE dV
=
ρ A2ω 2
sin
2
ω
⎛ ⎜⎝
t
−
x⎞ u ⎟⎠
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值
∫ w = 1
T
wdt
=
1
ρω 2 A2
适用于各种弹性波
T0
2
能流密度：单位时间内通过垂直传播方向的单位面积
∆ϕ
= ϕ2
− ϕ1 − 2π
r2 − r1
λ
常量
A 2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ
∆ϕ
= ϕ2
− ϕ1
− 2π
r2 − r1
λ
波的强度 I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos ∆ϕ
∆ ϕ = ± 2 k π k = 0 ,1, 2 ,L
A = A1 + A2 Imax = I1 + I2 + 2 I1I2
②透射相位：透射波的振动和入射波的振动恒同相。
③反射相位：被波疏反射同相，被波密反射则反相。
（半波损失
能量关系
强度反射系数：
R
=
I 1′ I1
=(
z2 − z1 z1 + z2
)2
R+T =1
强度透射系数：
T
=
I2 I1
=
4 z2 z1 ( z1 + z2
)2
例题：波长为 λ 的平面简谐波沿 x 轴传播， xa = λ / 2 处振动
α sinϕr = 0 ⇒ ϕr = 0或π
α
cosϕr
=
z1 z1
− z2 + z2
α sinϕr = 0 ⇒ ϕr = 0或π
α
cosϕr
=
z1 z1
− +
z2 z2
z1 > z2 (ρ1u1 > ρ2u2 )
ϕ
＝
r
0
反射波与入射波同相
α = A1′ = z1 − z2
A1 z1 + z2
z1 < z2 (ρ1u1 < ρ2u2 ) ϕr＝π
在驻波中没有了相位或振动状态的传播，所以称为驻波
t=T/8
2-14横 驻波.exe
3.驻波的能量
当y波节之间各质点的位移最大时：
A
B
势能曲线
X
当质点到达平衡位置 时：
y
vv ( x )
动能曲线
X
A
B
能量在波节附近的质点与波腹附近的质点间交换与转移
驻波特点：
1.存在波腹、波节点;
2.各质点振辐不同，但相邻两波节间的质点的 振动同相，波节两侧质点的振动反相；
上次课小结: 一维波动方程
∂2y = 1 ∂2y
∂x2 µ 2 ∂t 2
波速
棒中纵波波速
u=
Y
ρ
弦上横波波速 u = T
η
波的能量
动能
dE k
=
1 2
ρdVA 2ω 2 sin
2 ω ⎜⎛ t
⎝
−
x ⎟⎞ u⎠
势能
d Ep
=
1 2
ρ dVA2ω 2
sin2 ω
⎛ ⎜⎝
t
−
x u
⎞ ⎟⎠
波传播时质元的机械能
的能量。
S
=
uw
=
uρ
A2ω 2
sin2
ω
⎛ ⎜⎝
t
−
x u
⎞ ⎟⎠
平均能流密度：能流密度在一个周期内的平均值。
∫ I = 1 T wudt = uw = 1 uρω2 A2 ∝ A2
T0
2
I 也称为波的强度 单位：瓦/米2，W/m2
惠更斯原理
波传播时，任一波阵面上的每一点都可以看作发射 子波的点波源，以后任意时刻，这些子波的包迹面就 是该时刻的波阵面。
解释了波的衍射、反射射和折射现象
四、垂直入射的反射波和透射波
入射波：
y1
=
A1
cos( ω
t
−
x u1
)
入射波 y1
透射波 y2
反射波：y1′
=
A′1
cos( ω
t
+
x u1
− ϕr
)
反射波 y1′
x
透射波：
y2
=
A2
cos( ω
t
−
x u2
− ϕt
)
介质1 o 介质2
z1 = ρ 1u1
z2 = ρ 2u2
u= Y /ρ
A1 + A1′ cosϕr = A2 cosϕt
A′1 sinϕr = A2 sinϕt
α = A1′
A1
反射系数
β = A2
A1
透射系数
1−α
cos ϕr
=
β
z2 z1
cos ϕt
...( 1 )
α
sin ϕr
= −β
z2 z1
sin ϕt ...( 2 )
α sinϕr = β sinϕt ...( 3 )
(2) z1 ≈ z2 α ≈ 0, β ≈ 1 完全进入第二种介质
I = 1 uρω2 A2
2
强度反射系数：
R
=
I
′
1
I1
=
1 2
z1ω
2
A1′2
=(
A1′
)2
=(
z2
− z1
)2
1 2
z1ω
2
A12
A1
z1 + z2
强度透射系数：
T = I2 =
I1
1 2
z2ω
2
A22
1 2
z1ω
2
A12
=(
1+α cosϕr = β cosϕt ...( 4 )
(3)-(2):
β
sinϕt ( 1 +
z2 z1
)
=
0
sinϕt = 0 ⇒ ϕt = 0或π
(1)+(4):
β
2
=
= β cosϕt ( 1 + 2z1
z2 z1
)
cosϕt > 0
ϕ
＝
t
0
透射波与入射波同相
z1 + z2
将β和φt代入(3)和(4) α是正值
λ
y p = y1p + y2 p = A cos(ωt + ϕ )
A=
A
2 1
+
A
2 2
+
2 A1 A 2
cos
∆ϕ
tan ϕ
=
A1 sin(ϕ1 − A1 cos(ϕ1 −
2π r1 ) +
λ
2π r1 ) +
λ
A2
sin(ϕ 2
−
2π r2
λ
)
A2
cos(ϕ 2
−
2π
λ
r1 )
振幅或波强 随位置的分 布图样-----干涉图样
反射波与入射波反相
入射波在反射时有π的突变
这种入射波在反射时发生反向的现象叫半波损失。
α = A1′ = z2 − z1
A1 z1 + z2
ρ u 较小的称为波疏介质
ρ u 较大的称为波密介质
从波疏介质入射到波密介质 时，反射波有半波损失
反射系数 α = A1′ = z1 − z2
A1 z1 + z2
（2） 应力连续：
在界面处，从边界两边计算出来的应力是相等的。
Y1 [
∂y1 ∂x
+
∂y1′ ∂x
]x=0
= Y2 [
∂y2 ∂x
]x=0
Y1 [
A1 u1
sin ω t
−
A1′ u1
sin( ωt
− ϕr
)]
= Y2
A2 u2
sin( ω
t
− ϕt
)
A′1u1 ρ1 sin ϕ r = − A 2u2 ρ 2 sin ϕ t ρ1u1 ( A1 − A′1 cosϕr ) = A2ρ 2u2 cosϕt
满足相干条件的两列波称为相干波
s1
r1 *P
波源振动
y1 = A1 cos( ω t + ϕ1 )
s2
r2
P′
点P 的两个分振动
y2 = A2 cos( ωt + ϕ 2 )
y1 p
=
A1 cos( ω t + ϕ 1 − 2 π
r1 )
λ
y2 p
=
A2 cos( ω t + ϕ 2
− 2π
r2 )
设 A 的相位较 B 超
前，则 ϕA −ϕB =π .
∆ϕ
= ϕB
−ϕA
− 2π
BP −
λ
AP
= −π − 2π
25 −15 0.1
=
−201π
点P 合振幅
A = A1 − A2 = 0
三、驻波（波的干涉）
形成条件：在同一种介质中，在同一直线上沿相反方向传 播的两列波,当它们的频率、振动方向和振幅都
振动加强，干涉相长
∆ϕ = ± (2k + 1) π k = 0,1,2,L
A = A1 − A2
Im in = I1 + I2 − 2 I1I2
振动减弱，干涉相消
∆ ϕ = 其他 A1 − A2 < A < A1 + A2
若 ϕ1 = ϕ2 则
∆ϕ = −2 π r2 − r1 = −2π δ
λ
λ
2
4
t=0 t = T/ 8 t = T/4 t = 3T/8 t = T/2
振动范围
波腹
2-16纵驻波1.exe
y 2A
0
x
0
x
0
x
0
x
0 x
2A
0 -2A
-λ /4 λ /4 λ/2
x 波节
2-14横驻波.exe
y
Α'
波
波
波
波
腹
节
腹
节
x
相邻波节
λ
或波腹
2
λ
4 波节与波腹
测波节间距可得行波波长。
λ
波程差 δ = r2 − r1
A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ
δ = ± kλ k = 0,1,2,L
A = A1 + A2
振动加强
δ = ± ( k + 1 2 )λ k = 0,1,2,L
A = A1 − A2
振动减弱
δ = 其他 A1 − A2 < A < A1 + A2
A′ = 2 A cos(2π x ) λ
1.驻波振幅分布特点
cos 2π
x
λ
=1
振幅最大的各点称为波腹
2π
x
λ
=
kπ
x = k λ , k = 0,±1,±2,...
2
波腹的位置
cos 2π x = 0 振幅为零的各点称为 波节 λ
2π x = (k + 1)π x = (2k +1) λ , k = 0, ±1, ±2, ... 波节的位置
3.驻波是分段振动的，振动的动能与势能在腹点与 节点附近质点间相互转化。驻波无振动状态或相位 的传播，无能量的传播
反射波在反射点的振动 y(t, xb ) = Acos (ωt − 6π ) = Acosωt
以
b 为源