运输问题表上作业法

闭回路：在给出的调运方案的运输表上， 从一个空格（非基变量）出发，沿水平或 垂直方向前进，只有碰到代表基变量的数 字格才能向左或向右转90°继续前进，直 至最终回到初始空格而形成的一条回路。
从每一空格出发，一定可以找到一条且只 存在唯一一条闭回路 。
以xij空格为第一个奇数顶点，沿闭回路的顺 （或逆）时针方向前进，对闭回路上的每个 折点依次编号；
解的改进步骤续：
3．在闭回路的所有偶数折点中，找出运输量 最小的一个折点，以该格中的变量为换出变量； 4．将闭回路上所有奇数折点的运输量都增加 这一换出变量值，所有偶数折点处的运输量都 减去这一数值，最终得出一个新的运输方案。 对得出的新方案再进行最优性检验，如不是最 优解，就重复以上步骤继续进行调整，一直到 得出最优解为止。
１、闭回路法
思路：要判定运输问题的初始基可行解是否为 最优解，可仿照一般单纯形法，检验这个解的 各非基变量（对应于运输表中的空格）的检验 数。 检验数：运输问题中非基变量（对应于空格） 的检验数定义为给某空格增加单位运量导致总 费用的增加量。 如将X果ij有变某为空基格变（量Ａ将i使、运Bj）输的费检用减验少数，为故负当，前说这明 个解不是最优解。若所有空格的检验数全为非 负，则不管怎样变换，均不能使运输费用降低， 即目标函数值已无法改进，这个解就是最优解。
运距 城市 A
煤矿
日产量 B C （供应量）
甲
90 70 100
200
乙
80 65
75
250
日销量
（需求量） 100 150 200
450
例题 数学模型
minZ90x1170x12100x1380x2165x2275x23总运输量
x11x12x13200 x21x22x23250 日产量约束
s.t.xx1121xx2212110500
σ21=c21-（u2+v1）=80-（-25+90）=15
与前面用闭回路法求得的结果相同。
方程组的特点：
方程个数是m+n-1=2+3-1=4个，对偶变量共 有m+n=2+3=5。
初始方案的每一个基变量xij对应一个方程— —-—所在行和列对应的对偶变量之和等于该基 变量对应的运距（或运价）：ui+vj=cij；
闭回路上，奇数次顶点的调运量加上ε，偶数 次顶点的调运量减去ε；闭回路之外的变量调 运量不变。
得到新的调运方案：
调 销地 运 量
产地
A1
A2
销量
B1
100 90
X11
80
X21
100
B2
100 70
X12
50 65
X22
150
B3
产量
100 200
X13
200 75 250
X23
200 450 34250
因σ12=-20 ，画出以x12为起始变量的闭回路
调 销地 运 量
产地
A1
A2
销量
B1
B2
100 90
X11
80
X21
100
100 70 + X12 15500 65 - X22
150
B3
1000 100 X13 -
1200 75 X23 + 200
产量 200 250
450
计算调整量：ε=Min（100，150）=100。 按照下面的方法调整调运量：
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
450
非基变量X12的检验数： 12 =（c12+c23）-（c13+c22）
=70+75-（100+65）=-20，
非基变量X21的检验数：
21 =（c21+c13）-（c11+c23）
与前面用闭回路法求得的结果相同。
复习比较检验数计算的两种方法 闭回路法计算非基变量xij检验数的公式： ij =（闭回路上奇数次顶点运距或运价之和）
-（闭回路上偶数次顶点运距或运价之和）
位势法计算非基变量xij检验数的公式 σij=cij-（ui+vj）
思考：试解释位势变量的含义（提示：写出运输问 题的对偶问题）
u1 v1 c11 90
u u
1 2
v3 v2
c13 c 22
100 65
u 2 v 3 c 23 75
在 式 中 ， 令 u1=0 ， 则 可 解 得 v1=90 ， v3=100 ， u2=-25，v2=90，于是
σ12=c12-（u1+v2）=70-（0+90）=-20
需求约束
x13x23200 xij 0, i 1,2; j 1,2,3;
（1）最小元素法：从运价最小的格开始，在格 内的标上允许取得的最大数。然后按运价从小 到大顺序填数。若某行（列）的产量（销量） 已满足，则把该行（列）的其他格划去。如此 进行下去，直至得到一个基本可行解。
用最小元素法确定初始调运方案
方程组恰有一个自由变量，可以证明方程 组中任意一个变量均可取作自由变量。 这个时 候方程的解可以称为位势。
在 式 中 ， 令 u1=0 ， 则 可 解 得 v1=90 ， v3=100 ， u2=-25，v2=90，于是
σ12=c12-（u1+v2）=70-（0+90）=-20
σ21=c21-（u2+v1）=80-（-25+90）=15
确定初始方案 (初始
基本可行解)
判定是否 最 优？
否
是 结束
改进调整 （换基迭代）
最优方案
图 1运输问题求解思路图
二、初始基本可行解的确定
例2：甲、乙两个煤矿供应A、B、C 三个城市用煤，各煤矿产量及各城 市需煤量、各煤矿到各城市的运输 单价见表所示，求使总运输费用最 少的调运方案。
例题有关信息表
产量 200 100 250 200
450
得到初始调运方案为： x11=100，x12=100，x22=50，x23=200
总运价为： 9* 0 10 70* 0 10 50* 0 6 5 20 *100 3092
三、最优性检验
根据最小元素法或西北角法求得运输问 题的初始基可行解之后，按照表上作业 法的第二步，下面需对这个解进行最优 性判别，看它是否为本运输问题的最优 解.
非基变量 xij 的检验数：
ij =（闭回路上奇数次顶点运距或运价之和） -（闭回路上偶数次顶点运距或运价之和）
现在，在用最小元素法确定例2初始调运方 案的基础上，计算非基变量X12的检验数 ：
初始调运方案中以X12(X21)为起点的闭回路
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90
70 100 100 200
§7.4 表上作业法
一、表上作业法迭代步骤 1．按某种规则找出一个初始基可行解； 2．对现行解作最优性判断，即求各非基变量 的检验数，判别是否达到最优解，如已是最优 解，则停止计算，如不是最优解，则进行下一 步骤； 3．在表上对初始方案进行改进，找出新的基 可行解，再按第二步进行判别，直至找出最优 解。
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90
70 100 100 200 100
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250 100
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
100 450
得到初始调运方案为： x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
总运价为： 9* 0 10 100 * 100 60 * 5 15 100 * 100 3087
重复上面的步骤，直至求出最优调运方案：
调 销地 运 量
产地
A1
A2
销量
B1
B2
B3
产量
50 90
X11
50 80
X21
100
150 70
X12
65
X22
150
100
X13
200 75
X23
200
200 250 450
结果
最优调运方案是： x11=50，x12=150，x21=50，x23=200
=80+100-（90+75）=15。
经济含义：在保持产销平衡的条件下，该非 基变量增加一个单位运量而成为基变量时目 标函数值的变化量。
2、对偶变量法（位势法）
检验数公式：
ij cij ui v j
ui(i1,2,m )分别表示前m个约束等式对应的对偶变量； vj(j1,2,n) 分别表示后n个约束等式对应的对偶变量。
四、解的改进
如检验出初始解不是最优解，即某非基 变量检验数为负，说明将这个非基变量 变为基变量时运费会下降。根据表上作 业法的第三步，需对初始方案进行改进。
（一）解改进的步骤为：
1．（如存在多个非基变量的检验数为负 时，以最小负检验数所在空格对应的变 量）为换入变量，找出它在运输表中的 闭回路； 2．以这个空格为第一个奇数顶点，沿闭 回路的顺（或逆）时针方向前进，对闭 回路上的每个折点依次编号；
中。通常取 ij 0 中最小者对应的
变量为换入变量；
（2）、当迭代到运输问题的最优解时， 如果有某非基变量的检验数等于0，则说 明该运输问题有多重最优解；
（3）当运输问题某部分产地的产量和，与某 部分销地的销量和相等时，在迭代过程中间有 可能有某个格填入一个运量时需同时划去运输 表的一行和一列，这时就出现了退化。为了使 表上作业法的迭代工作能顺利进行下去，退化 时应在同时划去的一行或一列中的某个格中填 入0，表示这个格中的变量是取值为0的基变量， 使迭代过程中基变量个数恰好为（m+n-1)个。
相应的最小总运输费用为： Zmin=90×50+70×150+80×50+75×200
=34000
课堂练习：
销 B1 B2 B3 B4 产量 产
A2 4
12 4
11 16
A2 2
10 3
9
10
A3 8
5
11 6
22
销量 8
14 12 14 48
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五、几点说明
（1）、若运输问题的某一基可行解有多 个非基变量的检验数为负，在继续迭代
初始调运方案对偶变量对应表
调 销地
对偶
运 量
B1
产地
B2
B3
产 变量
量
ui
A1
A2
销量
100 90
X11
70 100 100 200
X12
X13
u1
80 150 65 100 75 250 u2
X21
X22
X23
100
150
200 450
对偶变量vj
v1
v2
v3
以初始调运方案为例，设置对偶变量 和 u i ， v j 然后构造下面的方程组：
（2）西北角法
不是优先考虑具有最小单位运价的供销业 务，而是优先满足运输表中西北角（左 上角）上空格的供销要求
用西北角法确定初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产地
100 90 100 70
100
A1
X11
X12
X13
80 50 65 200 75
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
50