运输问题表上作业法
运输问题 表上作业法
A B C 销量（ 销量（bj）
第一步：从表4 中找出最小运价“1”， 第一步：从表4-1中找出最小运价“1”， 最小运 价所确定的供应关系为（ ），在 价所确定的供应关系为（B，甲），在（B，甲） 的交叉格处填上“3”，形成表4 的交叉格处填上“3”，形成表4-2；将运价表的 甲列运价划去得表4 甲列运价划去得表4-3.
8.伏格尔法 8.伏格尔法
伏格尔法的基本步骤： 伏格尔法的基本步骤： 1.计算每行、列两个最小运价的差； 1.计算每行、列两个最小运价的差； 计算每行 2.找出最大差所在的行或列 找出最大差所在的行或列； 2.找出最大差所在的行或列； 3.找出该行或列的最小运价 确定供求关系， 找出该行或列的最小运价， 3.找出该行或列的最小运价，确定供求关系，最大量 的供应 ； 4.划掉已满足要求的行或 4.划掉已满足要求的行或 (和) 列，如果需要同时划 去行和列， 去行和列，必须要在该行或列的任意位置填个 0”； “0”； 5.在剩余的运价表中重复1~4步 在剩余的运价表中重复1~4 5.在剩余的运价表中重复1~4步，直到得到初始基可 行解。 行解。
2.表上作业法与单纯形法的关系 2.表上作业法与单纯形法的关系
表上作业法中的最小元素法和伏格尔法实质 上是在求单纯形表中的初始基可行解； 上是在求单纯形表中的初始基可行解； 表上作业法中的“位势法” 表上作业法中的“位势法”实质上是在求单 纯形表中的检验数； 纯形表中的检验数； 调运方案表中数字格的数实质上就是单纯形 法中基变量的值； 法中基变量的值； 调运方案表上的“闭回路法” 调运方案表上的“闭回路法”实质上是在做 单纯形表上的换基迭代。 单纯形表上的换基迭代。
甲 A B C 销量（ 销量（bj） 表4-14 A B C
两最小元素之差
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题是一种常见的工业应用问题,涉及到如何安排运输工具和货物,以最小化总成本或最大化利润。
表上作业法(Tableau Programming)是解决运输问题的一种有效方法,其解题思路和原理、具体步骤如下:1. 确定问题的状态在表上作业法中,我们需要先确定问题的状态。
状态是指某个特定时间段内,某个运输问题需要满足的条件。
例如,在一个例子中,我们可以将运输问题的状态定义为“需要从A城市运输货物到B城市,运输工具数量为3,运输距离为100公里”。
2. 定义状态转移方程接下来,我们需要定义状态转移方程,以描述在不同状态下可能采取的行动。
例如,在这个问题中,我们可以定义一个状态转移方程,表示当运输工具数量为2时,货物可以运输到B城市,而运输距离为80公里。
3. 确定最优解一旦我们定义了状态转移方程,我们就可以计算出在不同状态下的最优解。
例如,在这个问题中,当运输工具数量为2时,货物可以运输到B城市,运输距离为80公里,总成本为200元。
因此,该状态下的最优解是运输距离为80公里,运输工具数量为2,总成本为200元。
4. 确定边界条件最后,我们需要确定边界条件,以确保问题的状态不会无限制地变化。
例如,在这个问题中,当运输工具数量为3时,运输距离为120公里,超过了B城市的运输距离范围。
因此,我们需要设置一个限制条件,以确保运输工具数量不超过3,且运输距离不超过120公里。
表上作业法是一种简单有效的解决运输问题的方法,其原理和具体步骤如下。
通过定义状态转移方程、确定最优解、确定边界条件,我们可以计算出问题的最优解,从而实现最小化总成本和最大化利润的目标。
管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
最优解的判断与调整
最优解的判断
比较目标函数值，如果当前基础可行解 的目标函数值最优，则该解为最优解。
VS
最优解的调整
如果当前基础可行解不是最优解，需要对 其进行调整。通过比较不同运输路线的运 输费用，对运输量进行优化分配，以降低 总运输费用。
最优解的验证与
要点一
最优解的验证
对求得的最优解进行检验，确保其满足所有约束条件且目 标函数值最优。
01
将智能优化算法（如遗传算法、模拟退火算法等）与表上作业
法相结合，以提高求解效率和精度。
发展混合算法
02
结合多种算法的优势，发展混合算法以处理更复杂的运输问题。
拓展应用范围
03
在保持简单易行的基础上，拓展表上作业法的应用范围，使其
能够处理更多类型的运筹问题。
THANKS FOR WATCHING
果达到最优解，则确定最优解；如果未达到最优解，则确定次优解。
表上作业法的应用范围
总结词
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。
详细描述
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。在这种情况下，可以通过在运输表 格上填入数字来求解最小运输成本。此外，表上作业法还可以用于解决其他类型的线性规划问题，如资源分配问 题、生产计划问题等。
03 表上作业法的求解过程
初始基础可行解的求解
确定初始基础可行解
根据已知的发货地和收货地的供需关系，以及运输能力限制，通 过试算和调整，求得初始的基础可行解。
初始解的检验
检查初始解是否满足非负约束条件，即所有出发地到收货地的运输 量不能为负数。
初始解的调整
如果初始解不满足非负约束条件，需要对运输量进行调整，直到满 足所有约束条件。
运输问题 表上作业法
相抵后，总的运费增加了1个单位。由检验数的经济
含义可以知道，（A，甲）处单位运量调整所引起的
运费增量就是（A，甲）的检验数，即σ 11=1。
仿照此步骤可以计算初始方案中所有空 格的检验数，表4-25～表4-30展示了各 检验数的计算过程，表4-30给出了最终 结果。可以证明，对初始方案中的每一 个空格来说“闭合回路存在且唯一”。
丁
3（+10） 24 = -1 3（-5）
6
产量（ai）
7 4 9
丁 3 24 = -1 3 6
产量（ai） 7 4 9
如果检验数表中所有数字均大于等于零， 这表明对调运方案做出任何改变都将导 致运费的增加，即给定的方案是最优方 案。在表4-30中， 24 = -1,说明方案 需要进一步改进。
表4-4 甲乙 丙
A
B
3
1
C
销量（bj） 3
6
5
表4-5
甲乙 丙
A
3 11
3
B
1
9
2
C
7
4
10
销量（bj） 3
6
5
丁 产量（ai） 7 4 9
6
丁 产量（ai）
10
7
8
4
5
9
6
表4-5
甲乙 丙
A
3 11
3
B
1
9
2
C
7
4
10
销量（bj） 3
6
5
丁 产量（ai）
10
7
8
4
5
9
6
第三步：在表4-5中再找出最小运价“3”， 这样一步步地进行下去，直到单位运价表上 的所有元素均被划去为止。
第二节运输问题求解表上作业法-精品文档
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
[例 3-2] 某食品公司下属的 A1、A2、 A3 ，3 个厂生产方便食品，要运输到 B1、 B2、B3、B4 ，4 个销售点，数据如下： 表1 B1 B2 A1 3 11 A2 1 9 A3 7 4 销量 bj 3 6 求最优运输方案。 B3 3 2 10 5 B4 产量 ai 10 7 8 4 5 9 6 20（产销平衡）
（1）西 北 角 法 B3 B4 10
产量 ai 7
8 2 5 3 6 6
4
9
销量 bj
3
6
5
20
14
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
B3 3 4 10
B4
产 量 ai 7 3
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3 5 6
9
销 量 bj
3
6
2015
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
(4)若运输平衡表中所有的行与列均被 划去，则得到了一个初始基本可行解。否 则在剩下的运输平衡表中选下一个变量， 转(4)。
4
上述计算过程可用流程图描述如下
取未划去的单元格xij ,令 xij = min { ai , bj }
ai’ = ai - xij bj’ = bj - xij
否
ai’ = 0?
第二节 运输问题求解 —表上作业法
如何检验运输问题表上作业法的初始解
如何检验运输问题表上作业法的初始解如何检验运输问题表上作业法的初始解1. 引言运输问题是线性规划中的一个重要问题，被广泛应用于物流、供应链管理等领域。
在解决运输问题时，常常利用表上作业法来寻找初始解，并通过检验该初始解的可行性和优化程度来验证其是否满足实际需求。
本文将探讨如何检验运输问题表上作业法的初始解，并分享个人对这个主题的个人观点和理解。
2. 运输问题的表上作业法运输问题的表上作业法是一种常用的启发式算法，旨在寻找运输问题的初始解。
它的基本思想是通过按照某一优化准则选取合适的供应地与需求地进行配对，直至满足需求量和供给量的平衡，并形成初始的运输方案。
在表上作业法中，首先需要构建一个供应地与需求地的供需矩阵，矩阵中的元素表示对应的供应地与需求地之间的运输成本或运输量。
然后按照一定规则选取某一供应地与需求地进行配对，同时更新供需矩阵中的元素值。
重复以上步骤，直至所有供应地与需求地的供求平衡。
3. 检验初始解的可行性在使用表上作业法得到初始解后，需要对其进行可行性检验。
可行性检验的目的是确定初始解是否满足运输问题中的资源约束条件。
需要检验初始解的供应量和需求量是否平衡。
即对于每个供应地和需求地，初始解中所分配的运输量之和是否等于其对应的供应量和需求量。
如果供求平衡，则初始解满足资源约束条件，进入下一步检验；如果不平衡，则初始解需要进行修正或重新生成。
需要检验初始解是否满足运输问题中的非负约束条件。
即初始解中的运输量是否均为非负数。
如果初始解中存在负数运输量，则需进行调整或重新生成初始解。
还可以根据具体的业务需求，对初始解进行其他的可行性检验。
检验初始解中是否存在未满足的需求或未使用的供应量，以及是否满足一定的时间限制等。
4. 检验初始解的优化程度除了检验初始解的可行性外，还需要评估其优化程度，即初始解所对应的运输方案是否能够在满足资源约束条件的前提下，以最小的总运输成本或最大的总运输收益来实现。
第二节运输问题求解表上作业法
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2) 从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
3
(3) 若 ai = 0 ，则划去对应的行（把 拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去 对应的列（把需要的量全部运来），且每 次只划去一行或一列（即每次要去掉且只 去掉一个约束）；
—表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
考虑 si > dj 的运输问题，得到的数学模 型为
i=1 j=1
39
m
n
2.运输问题求解
—表上作业法
Min f =
n m i=1 j=1
n
cij xij
s.t. xij si i = 1,2,…,m
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
表1
12
13
14
15
16
二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数 由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法 —— 表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2 、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题是指在给定的供应地和需求地之间，选择最佳的运输方案，使总运输成本最低的问题。
表上作业法是一种常用的解决运输问题的方法，它基于线性规划的思想，通过逐步逼近最优解的方式来求解运输问题。
表上作业法的原理是将运输问题转化为一个线性规划问题，通过构建一个供需平衡表来描述运输问题。
在该表中，将供应地和需求地分别作为行和列，并在表中填入运输量的变量。
同时，引入一个辅助表来记录每个供应地和需求地的运输量。
具体的求解步骤如下：1. 构建供需平衡表：将给定的供应地和需求地以及对应的运输量填入表格中，并计算每个供应地和需求地的供应总量和需求总量。
2. 确定初始基本可行解：根据运输量的限制条件，确定一个初始的基本可行解。
可以选择将某些运输量设置为0，使得每个供应地和需求地都满足其供应总量和需求总量。
3. 计算单位运输成本：根据给定的运输成本，计算每个供应地和需求地之间的单位运输成本，填入表格中。
4. 判断最优解条件：检查当前的基本可行解是否满足最优解的条件。
如果每个供应地和需求地都满足其供应总量和需求总量，并且没有其他更低成本的运输方案，则当前解为最优解。
5. 迭代改进解：如果当前解不满足最优解的条件，则需要进行迭代改进。
在每一次迭代中，选择一个非基本变量（即非0运输量）进行改变，并计算改变后的基本可行解。
6. 更新供需平衡表和辅助表：根据改变后的基本可行解，更新供需平衡表和辅助表的运输量，并重新计算单位运输成本。
7. 重复步骤4-6，直到找到最优解为止。
通过以上的步骤，表上作业法能够有效地求解运输问题，并得到最优的运输方案。
它在实践中广泛应用于物流管理、供应链优化等领域，为运输问题的决策提供了科学的依据。
管理运筹学第七章运输问题之表上作业法
5 3
9
销量
3
6
5
6
20
最小检验数原则，确定进基变量
最小偶点原则，确定出基变量和调整量
+1
-1
+1
-1
四、方案调整
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1
3
11
3 5
10 2
7
A2
1 3
9
2
8 1
01
最优值：
01
f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85
01
四、方案调整
闭回路调整法步骤：
01
入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽快减少）
02
出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个基变量出基，其它基变量都为正）
三、最优性检验
三、最优性检验
若让x11＝1，则总运费变化：3–3+2–1＝1 。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11
3 4
10 3
7
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
9
2
8 1
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
销量bj
3
6
5
6
20
如上例中的最优方案就不唯一：
（0）
如何检验运输问题表上作业法的初始解
文章标题：如何检验运输问题表上作业法的初始解一、引言在运输管理中，表上作业法是一种常见的解决运输问题的方法。
它通过建立运输问题的表格，将各种运输需求与供给进行对应，并根据一定的规则进行调度，以便达到最佳的运输方案。
然而，如何检验表上作业法得到的初步解决方案是否符合实际情况，是一个值得探讨的问题。
本文将从深度和广度的角度，探讨如何检验运输问题表上作业法的初始解。
二、表上作业法的基本原理表上作业法是一种基于表格匹配的运输调度方法。
其基本原理是通过建立需求方与供给方的表格，并填入相应的运输成本或需求量，然后根据一定的规则进行调度，最终得到一个初步的运输方案。
这种方法是比较直观和简单的，但其初步解决方案是否符合实际情况，需要进行合理的检验。
三、如何检验表上作业法的初步解决方案1. 数据准确性检验需要对表上作业法得到的初步解决方案中所使用的数据进行准确性检验。
包括需求量、供给量、运输成本等数据的来源、准确性和可信度。
只有数据的准确性得到保证，才能保证初步解决方案的有效性。
2. 实际调度效果检验需要对初步解决方案进行实际调度效果的检验。
即将初步解决方案中的调度方案在实际情况中进行调度，观察其具体效果。
如果初步解决方案在实际调度中得到符合预期的效果，说明表上作业法的初步解决方案是有效的。
3. 效率和成本检验需要对初步解决方案进行效率和成本的检验。
即通过比较初步解决方案的运输效率和成本与实际情况进行对比，来验证其是否是一个优化的运输方案。
如果初步解决方案的效率和成本较实际情况有较大偏差，就需要重新调整表上作业法中的参数或规则。
四、总结与展望通过对表上作业法的初步解决方案进行数据准确性检验、实际调度效果检验和效率成本检验，可以得出一个较为准确和符合实际情况的结论。
表上作业法作为一种简单直观的调度方法，在应用时需要慎重考虑其初步解决方案的有效性，以保证其可行性和有效性。
个人观点和理解：表上作业法作为一种常见的运输问题解决方法，其初步解决方案的准确性和有效性对于整个运输调度过程至关重要。
-运输问题的表上作业法课件 (二)
-运输问题的表上作业法课件 (二)
- 运输问题的表上作业法课件
1. 什么是运输问题？
- 运输问题是指在物流领域中，如何合理地安排运输路线，以达到最
优化的运输效果。
2. 运输问题的解决方法
- 运输问题的解决方法有很多种，其中比较常见的是表上作业法。
3. 表上作业法的基本思路
- 表上作业法是一种常见的运输问题解决方法，其基本思路是将运输
问题转化为一个矩阵，通过对矩阵进行一系列的计算和优化，得到最
优的运输方案。
4. 表上作业法的具体步骤
- 表上作业法的具体步骤包括：构建运输问题矩阵、求解初始基本可
行解、寻找最优解、检验最优解是否满足约束条件。
5. 表上作业法的优缺点
- 表上作业法的优点是简单易懂，计算量较小，适用于小规模的运输
问题。
缺点是无法处理复杂的运输问题，且结果可能不是全局最优解。
6. 表上作业法的应用领域
- 表上作业法在物流领域中得到了广泛的应用，特别是在小规模运输问题的解决中，如快递配送、货物运输等方面。
7. 表上作业法的发展趋势
- 随着物流技术的不断发展和运输问题的日益复杂化，表上作业法也在不断地发展和完善，如增加约束条件、引入随机因素等，以适应更加复杂的运输问题。
运输问题的表上作业法
表八
B1
B2
B3
B4
行差额
A1
3
1
3
10
0
A2
1
9
2
8
1
A3
7
4
10
5
1
列差额 2
5
1
3
（2）在行差额和列差额中选出最大者，并选择其所对应的行或列中的最小元素来 安排调运方案。本例中，差额最大为“5”，是列差，该列中最小运价为“4”，即 A3首先供应B2，观察产销平衡表，A3仓库储存9吨，零售店B2需求6吨，则运往6吨， B2的需求全部被满足，在单位运价表中划去B2列，如表十一所示。
产地 销地 A1 A2 A3 销量
产地 销地 A1 A2 A3
表三 产销平衡表
B1
B2
B3
B4
3
1
3
6
5
6
表四 单位运价表
B1
B2
B3
3
11
3
1
9
2
7
4
10
产量 7 4 9
B4 10 8 5
（3）在单位运价表中未划去的元素中找到最小运价“3”（A1到B3的运价），A1存储 量为7吨，B3还缺少4吨，故从A1配送给B34吨，B3的需求全部被满足，A1剩余7-4=3吨， 在单位运价表中划去B3所在列。结果如表五和表六所示。
表五 产销平衡表
产地
B1
销地
A1
A2
3
A3
销量
3
B2
B3
B4
4 1
6
5
6
表六 单位运价表
产量
7 4 9
产地
B1
B2
管理运筹学运输问题之表上作业法课件
扩展适用范围
进一步扩展表上作业法的适用范 围，使其能够处理更多类型的运 输问题，包括带有特殊约束条件 的运输问题。
引入现代信息技术
利用现代信息技术，如大数据和 云计算等，提高表上作业法的计 算效率和精度，以满足实际应用 的需求。
THANKS
感谢您的观看
的优化配置。
应用实例二：农产品运输问题
总结词
多约束优化问题
详细描述
农产品运输问题需要考虑时间、保鲜度、运 输量等多种约束条件，要求在满足需求的前 提下，实现运输成本和损耗的最小化。表上 作业法可以通过多目标优化算法，综合考虑 各种约束条件，制定最优的农产品运输方案
。
应用实例三：城市物流配送问题
要点一
在迭代过程中，需要有一个判断准则来确定何时停止迭代并输出最优解。常用的判断准则包括最大最 小准则和最小最大准则。
迭代求解
根据判断准则，通过不断调整运输方案，使目标函数（通常是总运输费用最小）逐渐逼近最优解。在 每次迭代中，需要检查运输方案的可行性，并更新基可行解。
终止阶段：确定最优解并输出结果
确定最优解
03
表上作业法原理
表上作业法的定义与步骤
在此添加您的文本17字
定义：表上作业法是一种求解运输问题的线性规划方法， 通过在运输表上逐行计算和调整，最终找到最优解。
在此添加您的文本16字
步骤
在此添加您的文本16字
1. 建立初始运输方案；
在此添加您的文本16字
2. 检查运输方案的可行性；
在此添加您的文本16字
确定单位运输成本
根据运输距离、运输方式等因素确定单位运输成本。
建立数学模型
根据供求关系、运输能力限制等因素建立线性规划模型。
经济管理决策分析方法第六章2-运输问题-表上作业法
A B C
销量（bj）
3
6
5
6
第三步：在表4-5中再找出最小运价“3”， 这样一步步地进行下去，直到单位运价表上 的所有元素均被划去为止。
表4-6 A B C 销量（bj） 表4-7 甲 乙 甲 3 1 7 3 乙 11 9 4 6 丙 3 2 10 5 丙 4 1 6 6 3 5 6 丁 10 8 5 6 丁 3 产量（ai） 7 4 9
表上作业法
第一步 确定初始基可行解
与一般的线性规划不同，产销平衡的运输问
题一定具有可行解（同时也一定存在最优 解）。 最小元素法(the least cost rule)。
最小元素法
最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位 运价表中最小的运价开始确定产销关系，依此 类推，一直到给出基本方案为止.
450
非基变量X12的检验数：
12 =（c12+c23）-（c13+c22）
=70+75-（100+65）=-20， 非基变量X21的检验数：
21 =（c +c ）-（c +c ） 21 13 11 23
=80+100-（90+75）=15。 经济含义：在保持产销平衡的条件下，该非 基变量增加一个单位运量而成为基变量时目 标函数值的变化量。
表4-30 A B
甲 11 = 1 3
31 = 10 3 销量（bj） C
乙 12 = 2 22 = 1 6 6
丙 4 1 33 = 12 5
丁 3
24 = -1 3 6
产量（ai） 7 4 9
表4-33 乙 12 = 2 22 = 1 6 31 = 10 3 6 销量（bj） A B C 表4-34 甲 乙 丙 4 1 丁 3
5-2运输问题表上作业法
以负检验数绝对值最大的空格出发，寻找一 其他顶点均为数字格的闭回路（此闭回路存在 且唯一） 。在此闭回路上，已空格出发，沿 顺时针或逆时针方向给顶点编号，寻找偶数顶 点的最小运量θ （其对应的基变量为出基变 量）。在闭回路上，让奇数顶点的运量增加θ ， 偶数顶点的运量减少θ ，则得到另一调运方案 （另一基可行解）。 注：若偶数顶点由两个以上的最小运量θ ， 则调整后只有一个顶点不填数，其余顶点填0 （表示数字格）
X12
B3 c13
X13
产量
产地
A1 A2
销 量
X11
a1 a2
c21
X21 X22
c22
c23
X23
2
b1
b2
b3
a b
i 1 i j 1
3
j
其中xij是决策变量，表示待确定的从第i个产 地到第j个销地的调运量，cij为从第i个产地到 第j个销地的单位运价或运距。
2、确定初始方案的步骤：
假设已得到一个基可行解，其基变量为：
基变量检验数为0；
则有：
方程组有m+n-1个方程，有m+n个变量。
故解不唯一，其解称为位势。
若上述方程的某组解满足对偶问题的所有条件，即：
此时，原问题与对偶问题均可行，故达到最优。
位势法 的基本步骤
位势法（对偶变量法），利用对偶原理求空格 （非基变量的检验数） 对运输表的每行、每列赋予一个ui和vj，称 之为位势， ui和vj由基变量的检验数确定： σij=cij(ui+vj)=0 然后再求非基变量的检验数σij=cij-(ui+vj)
（1）选择一个xij，令xij= min{ai，bj}=
运输问题表上作业法
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
450
非基变量X12的检验数：
12 =（c12+c23）-（c13+c22）
=70+75-（100+65）=-20，
非基变量X21的检验数：
21 =（c21+c13）-（c11+c23）
=80+100-（90+75）=15。
得到初始调运方案为： x11=100,x13=100,x22=150,x23=100
总运价为： 9* 0 10 100 *100 60* 5 15 100 *100 3087
2西北角法
不是优先考虑具有最小单位运价的供销业 务,而是优先满足运输表中西北角左上角 上空格的供销要求
用西北角法确定初始调运方案
取
中ij最小0者对应的变量为换
入变量；
2、当迭代到运输问题的最优解时,如果 有某非基变量的检验数等于0,则说明该 运输问题有多重最优解；
3当运输问题某部分产地的产量和,与某部分销 地的销量和相等时,在迭代过程中间有可能有某 个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行 和一列,这时就出现了退化.为了使表上作业法 的迭代工作能顺利进行下去,退化时应在同时划 去的一行或一列中的某个格中填入0,表示这个 格中的变量是取值为0的基变量,使迭代过程中 基变量个数恰好为m+n-1个.
u 1 v1 c11 90
u u
1 2
v3 v2
c13 c 22
100 65
u 2 v 3 c 23 75
运输问题的模型及表上作业法
04
CATALOGUE
表上作业法的实际应用
货物调运问题
总结词
货物调运问题是指如何合理安排货物的运输 ，以最小化运输成本。
详细描述
在货物调运问题中，需要考虑货物的来源、 目的地、运输方式、运输距离和运输成本等 因素。通过表上作业法，可以找到最优的运
输方案，使得总运输成本最低。
车辆调度问题
总结词
车辆调度问题是指如何合理安排车辆的运行，以最小化车辆的空驶和等待时间。
资源限制
运输问题的资源限制包括供应量 、需求量、运输能力等，这些限 制条件要求在运输过程中不能超 过资源的最大供应或需求量。
距离限制
运输问题的距离限制通常以运输 距离或运输时间为标准，要求在 运输过程中尽量缩短距离或时间 。
质量限制
在某些情况下，运输问题的质量 限制包括货物的质量、运输工具 的质量等，要求在运输过程中保 证货物的质量和运输工具的安全 。
02
CATALOGUE
运输问题的数学模型
变量与参数
变量
表示各供应地应向各需求地运输的货物量。
参数
包括各供应地的供应量、各需求地的需求量、各供应地到各需求地的单位运输费用和各货物的单位运 价。
目标函数
• 最小化总费用：目标是找到一组 运输方案，使得总运输费用最小 。
约束条件
供需平衡约束
每个供应地的供应量等于其对应需求地的需求量。
运输问题的模型及 表上作业法
contents
目录
• 运输问题概述 • 运输问题的数学模型 • 表上作业法 • 表上作业法的实际应用 • 表上作业法的优化与改进
01
CATALOGUE运输问题概述Fra bibliotek定义与特性
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
经济含义：在保持产销平衡的条件下，该非 基变量增加一个单位运量而成为基变量时目 标函数值的变化量。
2、对偶变量法（位势法）
检验数公式：
ij cij ui v j
ui(i1,2,m )分别表示前m个约束等式对应的对偶变量； vj(j1,2,n) 分别表示后n个约束等式对应的对偶变量。
闭回路上，奇数次顶点的调运量加上ε，偶数 次顶点的调运量减去ε；闭回路之外的变量调 运量不变。
得到新的调运方案：
调 销地 运 量
产地
A1
A2
销量
B1
100 90
X11
80
X21
100
B2
100 70
X12
50 65
X22
150
B3
产量
100 200
X13
200 75 250
X23
200 450 34250
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90
70 100 100 200 100
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250 100
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
100 450
得到初始调运方案为： x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
总运价为： 9* 0 10 100 * 100 60 * 5 15 100 * 100 3087
中。通常取 ij 0 中最小者对应的
变量为换入变量；
（2）、当迭代到运输问题的最优解时， 如果有某非基变量的检验数等于0，则说 明该运输问题有多重最优解；
（3）当运输问题某部分产地的产量和，与某 部分销地的销量和相等时，在迭代过程中间有 可能有某个格填入一个运量时需同时划去运输 表的一行和一列，这时就出现了退化。为了使 表上作业法的迭代工作能顺利进行下去，退化 时应在同时划去的一行或一列中的某个格中填 入0，表示这个格中的变量是取值为0的基变量， 使迭代过程中基变量个数恰好为（m+n-1)个。
（2）西北角法
不是优先考虑具有最小单位运价的供销业 务，而是优先满足运输表中西北角（左 上角）上空格的供销要求
用西北角法确定初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产地
100 90 100 70
100
A1
X11
X12
X13
80 50 65 200 75
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
50
σ21=c21-（u2+v1）=80-（-25+90）=15
与前面用闭回路法求得的结果相同。
方程组的特点：
方程个数是m+n-1=2+3-1=4个，对偶变量共 有m+n=2+3=5。
初始方案的每一个基变量xij对应一个方程— —-—所在行和列对应的对偶变量之和等于该基 变量对应的运距（或运价）：ui+vj=cij；
重复上面的步骤，直至求出最优调运方案：
调 销地 运 量
产地
A1
A2
销量
B1
B2
B3
产量
50 90
X11
50 80
X21
100
150 70
X12
65
X22
150
100
X13
200 75
X23
200
200 250 450
结果
最优调运方案是： x11=50，x12=150，x21=50，x23=200
确定初始方案 (初始
基本可行解)
判定是否 最 优？
否
是 结束
改进调整 （换基迭代）
最优方案
图 1运输问题求解思路图
二、初始基本可行解的确定
例2：甲、乙两个煤矿供应A、B、C 三个城市用煤，各煤矿产量及各城 市需煤量、各煤矿到各城市的运输 单价见表所示，求使总运输费用最 少的调运方案。
例题有关信息表
与前面用闭回路法求得的结果相同。
复习比较检验数计算的两种方法 闭回路法计算非基变量xij检验数的公式： ij =（闭回路上奇数次顶点运距或运价之和）
-（闭回路上偶数次顶点运距或运价之和）
位势法计算非基变量xij检验数的公式 σij=cij-（ui+vj）
思考：试解释位势变量的含义（提示：写出运输问 题的对偶问题）
解的改进步骤续：
3．在闭回路的所有偶数折点中，找出运输量 最小的一个折点，以该格中的变量为换出变量； 4．将闭回路上所有奇数折点的运输量都增加 这一换出变量值，所有偶数折点处的运输量都 减去这一数值，最终得出一个新的运输方案。 对得出的新方案再进行最优性检验，如不是最 优解，就重复以上步骤继续进行调整，一直到 得出最优解为止。
因σ12=-20 ，画出以x12为起始变量的闭回路
调 销地 运 量
产地
A1
A2
销量
B1
B2
100 90
X11
80
X21
100
100 70 + X12 15500 65 - X22
150
B3
1000 100 X13 -
1200 75 X23 + 200
产量 200 250
450
计算调整量：ε=Min（100，150）=100。 按照下面的方法调整调运量：
§7.4 表上作业法
一、表上作业法迭代步骤 1．按某种规则找出一个初始基可行解； 2．对现行解作最优性判断，即求各非基变量 的检验数，判别是否达到最优解，如已是最优 解，则停止计算，如不是最优解，则进行下一 步骤； 3．在表上对初始方案进行改进，找出新的基 可行解，再按第二步进行判别，直至找出最优 解。
相应的最小总运输费用为： Zmin=90×50+70×150+80×50+75×200
=34000
课堂练习：
销 B1 B2 B3 B4 产量 产
A2 4
12 4
11 16
A2 2
10 3
9
10
A2 14 48
五、几点说明
（1）、若运输问题的某一基可行解有多 个非基变量的检验数为负，在继续迭代
u1 v1 c11 90
u u
1 2
v3 v2
c13 c 22
100 65
u 2 v 3 c 23 75
在 式 中 ， 令 u1=0 ， 则 可 解 得 v1=90 ， v3=100 ， u2=-25，v2=90，于是
σ12=c12-（u1+v2）=70-（0+90）=-20
闭回路：在给出的调运方案的运输表上， 从一个空格（非基变量）出发，沿水平或 垂直方向前进，只有碰到代表基变量的数 字格才能向左或向右转90°继续前进，直 至最终回到初始空格而形成的一条回路。
从每一空格出发，一定可以找到一条且只 存在唯一一条闭回路 。
以xij空格为第一个奇数顶点，沿闭回路的顺 （或逆）时针方向前进，对闭回路上的每个 折点依次编号；
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
450
非基变量X12的检验数： 12 =（c12+c23）-（c13+c22）
=70+75-（100+65）=-20，
非基变量X21的检验数：
21 =（c21+c13）-（c11+c23）
方程组恰有一个自由变量，可以证明方程 组中任意一个变量均可取作自由变量。 这个时 候方程的解可以称为位势。
在 式 中 ， 令 u1=0 ， 则 可 解 得 v1=90 ， v3=100 ， u2=-25，v2=90，于是
σ12=c12-（u1+v2）=70-（0+90）=-20
σ21=c21-（u2+v1）=80-（-25+90）=15
非基变量 xij 的检验数：
ij =（闭回路上奇数次顶点运距或运价之和） -（闭回路上偶数次顶点运距或运价之和）
现在，在用最小元素法确定例2初始调运方 案的基础上，计算非基变量X12的检验数 ：
初始调运方案中以X12(X21)为起点的闭回路
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90
70 100 100 200
初始调运方案对偶变量对应表
调 销地
对偶
运 量
B1
产地
B2
B3
产 变量
量
ui
A1
A2
销量
100 90
X11
70 100 100 200
X12
X13
u1
80 150 65 100 75 250 u2
X21
X22
X23
100
150
200 450
对偶变量vj
v1
v2
v3
以初始调运方案为例，设置对偶变量 和 u i ， v j 然后构造下面的方程组：
１、闭回路法
思路：要判定运输问题的初始基可行解是否为 最优解，可仿照一般单纯形法，检验这个解的 各非基变量（对应于运输表中的空格）的检验 数。 检验数：运输问题中非基变量（对应于空格） 的检验数定义为给某空格增加单位运量导致总 费用的增加量。 如将X果ij有变某为空基格变（量Ａ将i使、运Bj）输的费检用减验少数，为故负当，前说这明 个解不是最优解。若所有空格的检验数全为非 负，则不管怎样变换，均不能使运输费用降低， 即目标函数值已无法改进，这个解就是最优解。