变质量问题研究

变质量问题研究

摘要:早在16世纪，着名的物理学家伽利略就对动力学进行了系统的研究。伽利略开创科学实验方法，以此来探究力和运动的一般规律，继而总结出可以描述质点的加速运动的数学理论。再后来，着名的物理学家牛顿分析、总结并推广了伽利略的动力学原理，他在前人研究的成果基础上建立了着名的牛顿运动定律,为后人的研究提供了简便的方法。后又于1687年，在他自己的着作《自然哲学的数学原理》中，总结并阐述了当时所了解到的力学规律，从而奠定了经典力学理论体系的基础。在牛顿之后，人们大约历经半个多世纪的探索与争论，又相继建立了三大守恒定律。 当今时代，由于火箭、航天技术的发展，变质量力学问题研究越来越显得重要。而变质量系统力学所应用的范围，不再局限用于研究火箭的运动，也应用在自然界和许多工程技术中，也可以举出许多变质量物体的例子。要研究与解决有关这些变质量物体的动力学问题，都需要运用变质量力学的基础理论。所以对于变质量问题的研究和解决显得尤为重要，本文将结合实例对变质量问题进行具体问题具体分析和解决，使其在人类的实际生产生活中具有更重要的意义。

关键词:变质量系统;物理模型;动量守恒定律;动能定理

1.变质量系统的概念

质量是经典物理学中最基本的物理概念，在理论力学的教学中，除了研究运动过程中质量保持不变的物体外，还需研究一些在运动过程中质量发持续不断变化的物体，即所说的变质量物体。这类物体在工程技术及自然生活中不乏实例，所以对他们的研究显得尤为重要。经典变质量这类问题是在理论力学中质点组力学方面的一个重要应用内容。关于变质量问题，一般的教材是这样进行描述的：“在经典力学的范围内，物体（质点）的质量m 通常被视为是常数，但是我们经常会遇到质量为变数的情况。”如火箭在飞行中质量不断减少 , 星体在太空运动中俘获物质使质量不断增加。又如 , 空间飞船问题、落链问题等等。这些问题的共同特点是物体( 质点 ) 在运动中持续的减少质量或有质量加入其中 , 而使物体质量持续变化。由于物体的质量遵从一定规律进行变化（增加或者是减少），所以这类物体称为变质量物体。

2.关于变质量问题中的两种物理模型

在以往的物理学习中，我们都知道对于变质量运动其方程为：

dt

v d dt d u ）（M M F =+ … （1） 对于公式中的F 的意思，在不同的书籍中有着不同的解释，在一些文献中认为力F 是变质量系统主体上所受的外力，而在有些书上认为力F 是作用在变质量主体和变化质量元这一系统的外力的矢量和。笔者认为，两种说法各有各的道理，不能简单的讨论孰对孰错，之所以造成这两种差异，主要还是因为这两种说法采用了不同的物理模型：开放系统模型和封闭系统模型。在不同的模型中，速度u 有着不同的意义，如果在处理问题中直接应用公式（1），就会造成混乱，使问题变得更加复杂，所以有必要对这两种简单的模型进行简单讨论。

变质量问题中的开放系统模型

对于第一种说法，F 作为变质量系统主体上所受的外力，而u 作为并入（分离）前的质量在并入（分离）之后的速度。很明显，研究对象是“变质量主体”，这里的研究对象“变质量主体”允

许质量发生并入(分离)的改变,这是一个开放型系统,如图:

对于开放系统，其速度和质量都随时间变化，所引起的动量变化率表示为：

dt dv dt d v dt d

M M P +=

等式右边的两项中，前一项表示质量m 变化时引起的动量变化率，后一项表示速度v 变化时所引起的动量变化率。

使系统动量产生变化的原因有两个:一是力F 的作用，二是质量M 的分解和并入。对于变质量问题第二个原因是必然存在的，质元dm 以速度u 相对于参考系并入（分离）系统时，系统的动量也随之增加（减少）了udm ，所以u dt

dm 表示单位时间内因为质量的并入（或分离）使系统所产生的动量增加（或减少）的动量。

若一速度为u 的质元dm 进入系统时，其速度和系统本身速度v 不同，则质元dm 将与主体发生碰撞，速度由u 变成v （忽略无穷小量），对主体产生力F 的作用，且质元dm 也会受到主体的反作用力。由动量定理可得，质元dm 所受到的力为：

dt d u -v dt dm u -v f M ）（）（== ，（Θdt

dm dt d =M ）…（2） 若一速度为u 的质元dm 分离出系统时，其速度由v 变成u （称为逆向碰撞),质元dm 受到的主体对其的作用力为：

dt d u -v dt dm u -v f M ）（）（== (Θdt

d -dt dm M =）…（3） 必须注意的是，以上所说的作用力均指变质量主体所施加，并不是说质元dm 受到“外力”。在开放系统模型中，没有考虑质元dm 所受外力，所以质元dm 与主体碰撞前的一段时间或者是质元dm 分离主体后的一段时间，其速度的变化不需要考虑。速度u 是质元dm 刚碰撞主体或刚从主体分离后的其他时刻内的任意速度。

变质量问题中的封闭系统模型

对于式（1）也可通过求质点组动量定理的极限得到，据我们所知，质点组动量定理适用于常质量系统问题，所以在划定系统范围的时候，也要将质元dm 包括在内，系统所受的力除了主体所受的外力之外，还包括质元dm 所受的外力。为了保证在观察时间dt 内系统的质量保持不变，在变化

质量dm 的系统边界应该随着dm 的变化外延或内缩，所以这样的系统边界是动态变化的（如图2），如果有质量进入主体，则虚线表示时刻t （开始观察的时间）的边界，实线表示时刻dt t +（观察结束的时刻）的边界。如果是质量从主体中流出的情况，则虚线和实线的意义就是相反的，但无论哪种情况，实线都表示变质量主体的边界。

假定主体M 受外力M F ,质元dm 所受外力dm F ，则体系所受的外力的矢量和为：

dm F F F M +=

为了搞清楚在式（1）中速度u 表示的意义，我们将研究质元dm 速度变化的情况，假如有质量流入主体，在时刻t 时，质元dm 的速度为u 。在时刻dt t +时，质元dm 流入主体，速度变为v （忽略无穷小量），由动量定理可知，

dt

dm u -v dt d u -v f dm ）（）（==+M F ， （Θdt dm dt d =M ）…（4） 式中f 为M 对dm 的反作用力；反之，如果有质量流出主体的情况，则有：

dt

dm v -u dt d v -u f dm ）（）（==+M F ， (Θdt d -dt dm M =）…（5） 比较（2）、（3）、（4）、（5）四式发现此时质元dm 的速度变化已经不仅取决于主体M 对dm 的作用力，而且受质元dm 所受外力dm F 的影响，所以质元dm 的速度变化值u -v 与只受到力f 的作用时不同，u 的值也不同，只有当质元dm 所受外力0dm =F 时或者说可以忽略不计（例如只受到重力作用）时，（2）、（3）两式与（4）、（5）两式的区别才会不存在，否则，u 应该看做是外力dm F 与f 一起作用时dm 所具有的初速度或者末速度。

3. 变质量物体的运动方程及其物理意义

在非相对论)v c <<（的情况下，物体质量随着时间持续的变化而变化，仍然属于经典物理学的范畴。对经典变质量物体来讲，其质量）（t Ψm =，其中的）（t Ψ是t 的连续函数（可以为t 的连续显式函数，也可以利用速度或者坐标为t 的隐式函数）。

经典变质量问题是理论力学中一个十分重要的内容。对于此类经典变质量问题，我们一般也可以对主体和微元所组成的变质量系统采用质点组动量守恒定律、动能定理等的变质量系统的动力学方程多种方法、多种角度去解决。下面我将从三个方向来探究变质量物体运动方程及其所具有的物理意义。

利用动量定理推导变质量物体的运动方程及其物理意义

我们先假定一个物体的质量在t 时刻是m(t)，对于一个给定的惯性参考系S ,它的速度是)(C V V <<,同时一个微小质元dm 以速度u 运动，并在dt t t +~间隔内与m （t ）合并,合并后共同的速度为V V d +,假设作用在m(t)和质元dm 上的外力矢量和为e F ,那么由质点组的动量定理得: