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《空间两条直线所成的角》教学设计
罗央旦
一、教材分析
《异面直线所成角》是高等教育出版社数学基础模块下册9.3.1内容。

它是职高数学教学的重点和难点之一，并且与直线与平面所成的角，平面与平面所成的角都有很大的关联。

所以这块内容掌握的好坏直接影响后面的学习，非常关键。

学生在初中已经学习过平面两条直线所成角，如何把空间两条直线所成角转化成平面中两条直线所成角，这是本节课的关键。

对立体几何这块内容，新大纲要求采用直观教学的方法，遵循从具体到抽象，从特殊到一般的教学原则，利用计算机软件多媒体方式呈现空间几合体，这就需要适当引导学生通过实验，亲身做一做，观察等引出新知识，在理解的基础上，指导学生应用所学知识去解决实际问题，提高学生的学习兴趣。

三、学情分析
对学生而言，本节内容比较抽象，难学。

尤其是初中平面几何基础掌握不是很好的，听课似乎是云里雾里。

本节主要内容是两条异面直线所成角的概念，学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念。

突破这个难点的关键是采用多媒体课件进行辅助教学，通过直观的演示，使学生切实明白。

弄清楚了概念后，如何求出这个角也是关键。

涉及到计算问题，就要复习解三角形的相关概念，余弦定理等都要提及。

三、教学目标
知识目标：理解空间两异面直线所成角的定义、范围，并会作出、求出两异面直线所成角。

能力目标：培养学生的识图、作图能力，在习题讲解中，培养学生的空间想象能力以及解决问题和分析问题的能力。

情感目标：在对学生进行创造性思维培养的同时，激发学生对科学文化知识的探求热情和逻辑清晰的辩证主义观点。

四、教学重点难点
教学重点：对异面直线所成角的定义的理解和应用。

教学难点：如何在实际问题中求出异面直线所成的角。

五、设计思想
“授人以鱼，不如授人以渔”。

在教学过程中，我们要传授学生课本知识，但比课本知识更重要的是，通过学习培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，这才是教学的终极目标。

在教学中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发与点拨，在师生积极的双边活动中，学生找到了解决疑问的方法，找准解决问题的关键。

本着这个思想，本节课从学生专业出发，设计了观察素描画像，做实验、观看多媒体动画等环节，让学生参与到每一个环节，充分发挥学生在学习过程中的主动性、积极性和创造性。

六、教学策略与手段
1.“主导—主体—主线”三位一体的探究式教学模式
强调学生的主体性，要求充分发挥学生在学习过程中的主动性、积极性和创造性。

学生被看作知识建构过程的积极参与者，学习的许多目标和任务都要学生主动、有目的地获取材料来实现。

教师是教学过程的组织者、指导者、促进者和咨询者，教师的主导作用可以使教学过程更加优化，是教学活动中重要的一环，它自始至终是以学生自主探究为主线的。

2.多媒体，实验等教学手段
多媒体教学可以给学生带来声音、图片、视频，各个角度给学生以震撼。

现代信息传播理论已证明：视听等多媒感官刺激大脑，会唤起表象，激起强烈的求知欲和浓厚的学习兴趣，使教学目标得以顺利完成，并收到良好的学习效果。

实验在教学方面的运用还是相当欠缺的，但不可否认其中教育教学功能，实验中的可以发现学生“意外”的情况，在我们的教学和教育中起到“事半功倍”的作用。

七、教学流程：
八、教学过程
课前准备
（1）．学生准备好三角板，铅笔，预习好9.3.1内容 （2）．教师做好多媒体课件，准备好实验材料
（3）．多媒体教室中，演示电脑主机一台，电脑投影屏幕一个。

电动投影仪一台；黑板、粉笔、板
刷一个 1、复习引入
设问一：我们学过的空间两条直线有哪些位置关系？你能拿起手中的两支笔做演示吗？
引导学生回忆复习已学两条直线的三种位置关系，并请同学们动手实践，这样不仅加深概念理解，而且锻炼学生的操作能力。

追问1：在大家熟悉的素描画像中，发现有这么两条直线，你能说说他们的位置关系吗？
由多媒体展示出素描画像，让学生观察和思考。

素描画像是学生专业课中常接触的东西，从身边的问题着手，使学生觉得数学就在身边，增强了亲切感，也更容易让学生陷入思考，提高解决问题的积极性。

追问2：你们能再说出这两条直线所成的角度吗？
这个问题难倒了大家，但却水到渠成地揭开本课的课题。

带着这个问题，带着这个目标，大家齐心协力一起来解决这个问题。

图片展示
课堂练习
作业布置
课堂小结
例题1 例题2 实验体验 方法总结
归纳
变式
2、讲授新课
【实验】：一张纸上画有两条能相交的直线m 、n （但交点在纸外）．现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何能量出m 、n 所成的角的大小？
教师事先准备好纸张，请每位同学积极参与，动手操作，使得学生始终是课堂上真正主角。

通过实践，自己寻找，摸索方法，最终解决问题。

追问1：根据实验，能解决眉线与耳线所成角的问题吗？你用什么方法可以度量它们的角度？ 追问2：由此，大家是否可以得出异面直线所成角的定义？
教师不断创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发与点拨，在师生积极的双边活动中，学生找到了解决疑问的方法，找准解决问题的关键，也得出了异面直线所成角的定义。

给出定义：异面直线m 、n ，在空间中任取一点O ，过点O 分别作m m //'，n n //'，则'm 、'
n 所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角． 追问1：过点O 引m m //'和n n //'
的依据是什么？
追问2：由于点O 可以任意选取，那么按此方法做出的角能有多少个？它们的大小有什么关系呢？
在解决这两个抽象问题过程中，教师借助于多媒体，通过形象具体的动画，栩栩如生的展现这个问题，而问题的答案学生也能自然的找到。

【概括注意点】：
（1）异面直线所成的角只和两条异面直线的位置有关，而和点O 位置的选择无关； （2）注意把握异面直线所成角的范围，即
900≤<α；
（3）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。

今后再说两条直线互相垂直时，它们可能相交，也可能异面。

由实践上升为理论，通过具体的概括归纳，同学们加深了概念的理解。

3、例题讲解
例题1：如图：长方体中，
301=∠BAB 求下列异面直线所成角的度数
（1）DC AB 与1 （2） 11CC AB 与
例1是求异面直线所成角的巩固性题目。

长方体是学生熟悉的六面体，通过在长方体中求两异面直线所成角的练习，学生体验了如何找角、求角的过程，实现从简到难的知识接受过程。

说明：异面直线所成角是通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线.平移通常通过找
一条直线或两条直线的平行线，
A 1
A
B 1
B
D 1
C 1
D
C
A
B
C D B 1
A 1
C 1
D 1 C
B
A
D
M N
C
B
A D
M
N
H
例题2：空间四边形ABCD 中，6,8==CD AB ，N M BC AD ，中点分别为,，5=MN ，求
AB CD 与所成的角的大小？
空间四边形中本来就没有平行线，如何做出平行线，此例是例1的深化。

异面直线所成角是通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线.引导学生抓住题中中点的有利条件，结合初中平面几何中位线的性质，添加辅助线，从而找到角。

根据三角形中三边长恰恰符合勾股定理，得出垂直的结论。

变式提问：在例二中，若改成34=MN ，AB CD 与所成角的角还会是直角吗？如何求出这个角
的余弦值？
通过例二的解题，学生初步掌握了解题思路，但是发现此时这个三角形不特殊，又陷入了困境。

此时，教师引导学生利用余弦定理，已知三角形的三边长，三角形的任意内角都可以求得。

设计此变式，使求异面直线所成角更具一般性。

归纳求异面直线的步骤：
通过两个例题的讲解，学生初步已经有了求异面直线的方法步骤。

帮助学生一起归纳理清这些思绪，带领大家整理出一套解题步骤，可以更好的帮助学生掌握方法，解决问题，由实践上升为理论。

4.课堂练习
练习1.在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数? (1)BC DD 与1; (2) 11BC AA 与
练习 2.空间四边形ABC P -中，M ，N 分别是PB AC 的中点，4==BC PA ，3=MN ，求PA 与BC 所成的角？
作角
答角
A
5、作业布置
1.完成课课达标P14
2.思考题．如图，a、b为异面直线，直线a上的线段
AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm， E、F分别为AD、
BC的中点，且EF=7cm，求异面直线a与b所成的角的度
数
第一项作业目的是进一步巩固异面直线所成角概念及
解题方法；思考题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间。

【教学设计反思】
对于本课的教学设计充分考虑了以下几个疑问：
1、如何将新知识点让学生在课堂上有所理解，增进学生的理解力？本次设计充分体现了教学中学生是思维的主体，而教师以一个与学生共同探索知识的合作者身份出现，这样创造出一种与学生共同探索知识的课堂学习气愤，指导、调控学生的思维活动，帮助学生发现思维中的错误，总结规律、方法和技能。

2、如何让学生不用死记结论？由于受篇幅和结构体系的制约，教材中的有些定理、公式或例题往往省略了探索、猜测过程，学生只好死记结论。

如果我们教师能带领学生经历数学家的思维活动，这无疑将极大地激发学生的学习兴趣，培养他们的创新能力。

3、本节课还是会带给学生不少的疑问，除了借助于特殊几何体，中点能找异面直线所成角外，其余所有的题都能解决吗？还有什么信息能帮我们找到异面直线所成角呢？学生通过仅仅一堂课的学习，要真正掌握求异面直线所成角是有难度的，需要不断的练习，巩固。

本次设计中，教师根据数学知识结构，适当地让学生体验数学知识的产生和发展，这有利于对学生科学态度和科学方法的教育，诱发学习动机，激发学习兴趣，也有利于发展学生的能力和培养他们的创新精神。