圆的标准方程 PPT

(2)求y－x的最大值和最小值；
解 设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
|2－0＋b| 此时 2 ＝ 3.
即 b＝－2± 6.
故 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
(3)求x2＋y2的最大值和最小值. 解 x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2， 故(x2＋y2)max＝(2＋ 3)2＝7＋4 3， (x2＋y2)min＝(2－ 3)2＝7－4 3.
跟踪训练1 求下列圆的标准方程： (1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)； 解 设圆心(0，b)， 则 3－02＋－4－b2＝5， 得b＝0或－8， 所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(2)已知圆和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)；
位置关系 点M在圆上 点M在圆外 点M在圆内
利用距离判断 |CM|＝r |CM|>r |CM|<r
利用方程判断 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2
类型一 求圆的标准方程
例1 (1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( D )
A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
B.(x－1)2＋(y－2)2＝100
C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝25ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D.(x－1)2＋(y－2)2＝25
解析 ∵AB为直径，
∴AB的中点(1,2)为圆心， 半径为12|AB|＝21 5＋32＋5＋12＝5， ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为 _(x_＋__5_)_2_＋__(y_＋__3_)_2＝__2_5__. 解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切， ∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(3)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方 程是________________.
所以半径为 9－32＋6－52＝ 37，
故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
(3)圆过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上. 解 线段AB的垂直平分线为y－2＝2(x－3)， 令y＝0，则x＝2， ∴圆心坐标为(2,0)， 半径 r＝ 5－22＋1－02＝ 10， ∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
(2)x＋y的最值.
解 令y＋x＝z并将其变形为y＝－x＋z， 问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值.
当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值， 此时有|－1－2 z|＝21， 解得 z＝±22－1， 即最大值为 22－1，最小值为－ 22－1.
类型二 点与圆的位置关系 例2 (1)点P(m2 , 5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( B )
A.在圆内
B.在圆外
C.在圆上
D.不确定
解析 由(m2)2＋52＝m4＋25>24，∴点P在圆外.
(2)已知点M(5 a＋1， a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是[_0_,_1_) .
圆的标准方程
学习目标
1.掌握圆的定义及标准方程； 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标 准方程.
知识点一 圆的标准方程
思考1 确定一个圆的基本要素是什么？ 答案 圆心和半径. 思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径 的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？ 答案 能. 1.以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标 准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
解 因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，
所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－11＝－6.
其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23. 6
又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线 y－25＝－57(x－123)， 即5x＋7y－50＝0上， 所以由y5＝x＋－76y－x＋5203＝，0，解得圆心坐标为(3,5)，
类型三 与圆有关的最值问题
例3 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3. (1)求yx的最大值和最小值； 解 原方程表示以点(2,0)为圆心，以 3为半径的圆， 设yx＝k，即 y＝kx， 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
|2k－0| 此时 k2＋1＝ 3，解得 k＝± 3. 故yx的最大值为 3，最小值为－ 3.
知识点二 点与圆的位置关系
思考 点A(1,1)，B(4,0)，C( 2， 2) 同圆x2＋y2＝4的关系 如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？ 答案 |OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2. 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
解析 由题意知(5 a＋1－1)2＋( a)2<26，
即2a6≥a0<26， 解得0≤a<1.
跟踪训练2 已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围 是_(_－__∞__，__－__1_)∪__(_1_，__＋__∞__)___.
解析 由题意知， (1－a)2＋(1＋a)2>4， 2a2－2>0， 即a<－1或a>1，
跟踪训练 3 已知 x 和 y 满足(x＋1)2＋y2＝14，试求： (1)x2＋y2的最值； 解 由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上 的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大
值和最小值.
原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离为d＝1， 故圆上的点到坐标原点的最大距离为 1＋12＝32， 因最此小距x2＋离y为2 的1－最12大＝值12，和最小值分别为94和14.