复变函数习题答案第4章习题详解

复变函数习题答案第4章习题详解
第四章习题详解
1． 下列数列{}n
a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：
1) mi ni
a n -+=11
；
2) n
n i a -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21；
3) ()11++-=n i
a n n ；
4) 2i
n n e a π-=；
5) 21i
n n e n a π-=。

2． 证明：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≠==>∞<=∞→1
11
111
0a a a a a a n n ,,,,lim 不存在，
3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：
1) ∑∞=1n n n
i ；
2)
∑∞=2n n n i ln ；
3) ()∑∞=+0856n n n i ；
4) ∑∞
=02n n in cos 。

4． 下列说法是否正确？为什么？
1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；
2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；
3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0
z 的邻域内展开成泰勒级数。

5． 幂级数()∑∞=-02n n n z c
能否在0=z 收敛而在3=z 发散？
6． 求下列幂级数的收敛半径：
1)
∑∞=1n p n n z （p 为正整数）；
2) ()∑∞=12n n n z n n !；
3) ()
∑∞=+01n n n z i ；
4) ∑∞=1n n n i z e
π；
5) ()∑∞=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛11n n
z n i ch ；
6)
∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛1n n in z ln 。

7． 如果∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n n
n
z c Re 的收敛半径R ≥。

[提示：()n n n n z c z c <Re ]
8． 证明：如果n n n c c
1
+∞
→lim 存在∞≠，下列三个幂级数有相同的收敛半径∑n n z c ；∑+++111n n z n c ；∑-1
n n
z nc 。

9． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而∑∞=0n n c 发散，证明∑∞
=0n n
n
z c 的收敛半径为1。

10． 如果级数∑∞
=0
n n
n z c 在它的收敛圆的圆周上一点0z 处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛。

11． 把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收
敛半径：
1) 311
z +；
2) ()2211
z +；
3) 2z cos ；
4) shz ；
5) chz ；
6) 22z e z sin ；
7) 1-z z
e ；
8) z -11
sin 。

12． 求下列各函数在指定点0
z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径：
1) 11+-z z ，10=z ；
2) ()()21++z z z ，20=z ；
3) 21z ，10-=z ；
4) z 341-，i z
+=10；
5) tgz ；40π=z
；
6) arctgz ；0
0=z。

13． 为什么在区域R z <内解析且在区间()R R ,-取实数值的
函数()z f 展开成z 的幂级数时，展开式的系数都是实数？
14． 证明在()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=z z z f 1cos 以z 的各幂表出的洛朗展开式中
的各系数为()⎰=π
ϑϑϑπ20221
d n c n cos cos cos ，()Λ,,,210±±=n 。

[提示：
在公式()844..中，取C 为1=z ，在此圆上设积分变量ϑζi e =。

然后证明n
c 的积分的虚部等于零。

]
15． 下列结论是否正确？
用长除法得
Λ++++=-4321z z z z z
z Λ++++=-3211111z z z z z
因为 011=-+-z z z z
所以 01111
43232=+++++++++ΛΛz z z z z
z z
16． 把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数： 1) ()()2112-+z z ，21<<z ；
2) ()211z z -，11<<z ，110<-<z ；
3) ()()
211--z z ，110<-<z ，+∞<-<21z ；
4) z
e -11，+∞<<z 1；
5) ()i z z
-21，在以i 为中心的圆环域内；
6) z -11sin ，在1=z 的去心邻域内；
7) ()()()()
4321----z z z z ，43<<z ，+∞<<z 4。

17． 函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛z tg 1能否在圆环域()+∞<<<<R R z 00展开成洛朗级数？为什么？
18． 如果k 为满足关系12<k
的实数，证明 ()∑∞=+-=
+0
2211n n k k n k ϑϑϑcos sin sin ()∑∞=+--=+02211n n k k k
n k ϑϑϑcos cos cos
[提示：对k z >展开()1--k z 成洛朗级数，并在展开式的
结果中置ϑ
i e z =，再令两边的实部与实部相等，虚部与虚部相等。

]
19． 如果C 为正向圆周3=z ，求积分()⎰C
dz z f 的值。

设()z f 为：
1) ()21+z z ；
2) ()z
z z 12++；
3) ()2
11+z z ；
4) ()()
21++z z z 。

20． 试求积分⎰∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-=C n n dz z 2的值，其中C 为单位圆1=z 内的任何
一条不经过原点的简单闭曲线。