第三章：平面任意力系

第三章

平面任意力系

一、要求

1、掌握平面任意力系向一点简化的方法。会应用解析法求主矢和主矩。熟知平面任意力系简化的结果。

2、深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。

3、能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系的平衡问题。

4、理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法。

二、重点、难点

1、本章重点：平面任意力系向作用面内任一点的简化，力系的简化结果。平面任意力系平衡的解析条件，平衡方程的各种形式。物体及物体系平衡问题的解法。

2、本章难点：主矢与主矩的概念。物体系的平衡问题。

三、学习指导

1、力的平移定理，是力系向一点简化的理论基础。一个力平移后，它对物体的作用效果发生了改变，要想保持原来力的作用效果，必须附加一个力偶。

2、平面任意力系向一点简化的方法：平面任意力系向一点简化，是依据力的平移定理，将作用在物体上的各力向任一点（称为简化中心）平移，得到作用在简化中心的一个平面汇交力系和平面力偶系（附加力偶系）。两个力系合在一起与原力系等效。这样，一个复杂的力系就分解成了两个简单的力系。然后，分别求平

面汇交力系的合力和平面力偶系的合力偶，则原力系由作用在简化中心的一个力和一个力偶所代替，该力的大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩等于力系的主矩。于是，平面任意力系的简化就成了计算力系的主矢和主矩的问题。

3、主矢和主矩：平面任意力系中，各力的矢量和称为力系的主矢，即

平面任意力系中，各力对于简化中心的力矩的代数和称为力系的主矩，即

关于主矢和主矩，需要弄清楚以下几点：（1）主矢不是力，主矩不是力偶。主矢和主矩是描述平面任意力系对物体作用效果的量。（2）主矢是自由矢量，只有大小和方向，描述平面任意力系使物体平动的作用效果。平面任意力系的主矩是代数量，只有大小和正负，描述平面任意力系使物体绕

点转动的作用效果。（3）主矢与简化中心的选择无关。从这个意义上讲，主矢是力系的一个不变量。主矩与简化中心的选择有关。这说明附加力偶随简化中心而改变。因此，对于力系的主矩，必须指出它是力系对于哪一点的主矩。

4、平衡条件和平衡方程

（1）平衡条件：平面任意力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点

的主矩都等于零，即

，

。所谓平衡的必要条件是：如果物体平衡，则平面任意力系的

和

都等于零。用反证法证明，因为，假如

，平面任意力系必能简化为一合力，则物体不能平衡；又若

、

，平面任意力系简化为一合力偶，物体也不平衡。因此，

和

都等于零是平面任意力系平衡的必要条件。所谓平衡的充分条件是：如果平面任意力系的

和

都等于零，则物体平衡。因为平面任意力系向一点简化只有三种可能的结果：合力、合力偶、平衡。

，

说明力系既不能简化为一个合力，也不能简化为一个合力偶，故物体必定平衡。因此，

和

都等于零是平面任意力系平衡的必要和充分条件。

（2）平衡方程：三种形式的平衡方程是平面任意力系平衡条件的解析表达

式。见下表：

问题

形式

平衡方程平衡条件平衡方程限制条件基本形式

一般设

和

轴相互垂直，但在特殊情况下，为解题方便，可设

和

轴相互不垂直，但不能使两轴平行。

二矩形式

、

两点连线与

不垂直。

三矩形式

、

、

三点不共线。

解题指导：

1、平衡方程的应用

基本形式的平衡方程组的应用是本章的重点，必须反复练习，熟练掌握解题方法。在作业中，先练习用基本形式的平衡方程解题。熟练后，可根据具体问题的条件灵活选用其它两种形式的平衡方程组。这将有助于深入理解平衡条件和更熟练地应用投影方程及力矩方程。

以下说明力矩方程、投影方程的用法和举例。

（1）力矩方程：用力矩方程时，把矩心选在一个未知力的作用线或两个未知力的交点上。这样，在方程中不会出现这些未知力，可使方程所包含的未知数减少。

（2）投影方程：当选择投影轴和一个或几个未知力垂直时，则在方程中不会出现这些未知力，可使方程所包含的未知数减少。

力矩方程的运算比投影方程通常要繁些，特别在力矩计算的几何关系复杂时，运算更繁。但是，投影方程包含的未知力数目通常比力矩方程要多。

2、物体系的平衡问题

（1）物体系平衡和单个物体平衡问题的区别：

物体系的平衡问题要从物体系中选取若干个研究对象。

如果物体系由

个物体组成，对于每个受平面任意力系作用的物体，均可写出三个平衡方程，则物体系共有

个独立方程（在物体系中，有的物体受平面汇交力系或平面平行力系作用时，则物体系的平衡方程数目相应减少），可以解

个未知数。因此对于静定的物体系，只要把物体系拆开，列出所有的平衡方程，再解方程，就能够求出题目所要求的未知数。

实际上，有些问题并不需要解出全部的未知数，只需要求其中几个未知数，若为了求少数几个未知数，而列出拆开后的全部方程是麻烦的，因此，在解题时需要恰当地选择研究对象和列平衡方程，尽量避免去解题目所不要求的未知量。

（2）选择研究对象的一般方法

研究对象选择得恰当，解题就简捷，研究对象选择得不好，解题就繁难。下面介绍选择研究对象的一般方法，但学员切忌生搬硬套，要自己不断总结。

1）认真审题，明确题意。做题时，要写清楚已给条件与待求量。

2）所选的研究对象应该包含已知量和待求量，以使平衡方程建立起已知量和待求量的数学关系。

3）物体系尽量少拆。物体系拆开后，内力暴露出来，增加了未知力，所以应尽量少拆。一般先考虑以整体为研究对象，求出所能解的待求量，然后再拆开物体系，寻找新的研究对象，列出合适的方程，求解其余的待求量。

4）所选的研究对象包含的未知力越少越好，几何关系越简单越好，应该使平衡方程及其运算尽量简单。

5）有时为了求出待求量，必须先求出一些题目中不要求的未知量，这些未知量称为中间未知量，方程中的中间未知量愈少愈好。因此，要认真分析，把那些必不可少的中间未知量，也作为待求量，去选取研究对象。

四、典型例题解析

例题3. 1 下图所示三铰拱，在构件

上分别作用一力偶

，见图

所示或力

，见图

。当求铰链

、

、

的约束反力时，能否将力偶

或