固体物理振动量子化

晶格振动的每一个格波，都可以看作是由数目为ni
能量为ħi的理想声子组成的，整个系统则是由众多声 子组成的声子气体。
i
(ni
1 2
)i
声子属于玻色子系统，当系统处于热平衡时， 频率为i的格波的平均声子数由玻色统计给出：
频率为i的格波所含的平均声子数：
ni
1 ei / kBT
1
格波的平均能量为：i
1 2
ωNqN
εN
ω3q3
ε3
ω2q2
ε2
ω1 q1
ε1
N-2 n-1 n n+1 n+2
xn xn (q) Aqeiqna
q
q
q
1 Nm
Nm Aq eiqna
Qq：简N正1m坐标q Q，q 正 e则iqn坐a 标，正行则波变坐换标，么位 到正置 状变空 态换间 空转 间变 。
经过运算后有T U
P 3an NL
2
H
jk
1K
x2
j 1
k
2M
jk
2
jk jk
其量子化能量形式
E
3an j 1
NL
k
j
(k
)(n
jk
1) 2
3.3.2 声子*
晶格振动是晶体中原子集体的振动，其结果表现为 晶格中的格波。一般格波不一定是简谐的，但可以展 开成简谐平面波的线性叠加。振动微弱时，格波可以 认为是简谐波，互相独立，分别对应于一个振动态 （q），晶格的周期性已给予了格波以一定的边界条件 （玻恩卡门条件），使独立的振动模式分立。因此， 可以用独立的简谐振子的振动来描述格波的独立模式， 这就是声子的由来。
物 质 波 ：PE
h
h
PE
q
理论发现了一种新的物 质状态——“碱金属原 子稀薄气体的玻色-爱 因斯坦凝聚(BEC)”。
2001年诺贝尔奖。
特点
➢声子是准粒子，晶体集体振动可以看作是由不同能 量的理想声子组成的声子气体。晶体振动的热能就是 声子的总能量。 ➢各种微观粒子与晶格振动系统的相互作用，可以看 成是这些粒子与声子相互作用或碰撞，这些碰撞服从 能量守恒和准动量定律。 ➢热传导可以看成是声子的扩散，热阻可以看成是声 子的散射。 ➢声子遵循能量守恒和动量守恒定理，但声子数不守 恒。 ➢声子数和温度有关。 ➢当其他粒子与晶格振动相互作用时，能量交换的最 小单元为ħω。
波函数反对称
自旋磁量子数为半整数(
1
,
3
,
5
)
222
玻色子：光子、声子、 氘核、 氢原子、 粒子等
不服从泡利不相容原理 遵循玻色－爱因斯坦统计分布 波函数对称 自旋磁量子数为0或正整数
2001年，美国科学 家埃里克·康奈尔、卡 尔·维曼和德国科学家 沃尔夫冈·克特勒。他
们根据玻色-爱因斯坦
根据量子力学，独立振子的能量是量子化的，因此 可以用独立简谐振子的坐标代替晶格原子的位置坐标， 即从个别原子的运动描述过渡到原子集体运动的描述， 系统晶体振动的总能量即可表述为独立简谐振子的能 量之和，系统的哈密顿量就变为平方和的形式。
这相当于一个坐标变换。为此，引进简正坐标Q q， 对xn进行坐标变换。
1m 2
1
n
2 n
xn 2
1 2
q
Q q 2
( xn1
xn )2
1 2
q
q2 Qq 2
H T U 1 2
q
Q q 2 q2 Qq 2
Hˆ：算符，哈密顿量 Hˆ E
若令广义动量Pq Qq， 则晶格振动的总哈密顿量为
H T U 1 2
q
Q q
2
q2
Qq
2
1 2q
q
xn (q)
q
Aqeiqna
每个格点的独立 状态总数是N。
一维单原子链的总哈密顿量(动能势能)：
E T U 1 m
2
n
xn2
1 2
n
( xn1 xn )2
简 谐 近 似 下 ， 只 考 虑 最近 邻 一 对 原 子 间 的 势 能：
u(r)
1 2
2
1 2
( xn 1
xn )2
在上式中，系统的总能量即总哈密顿量包含诸原子 的速度和坐标，和两个原子的交叉项。带来了理论计 算的困难，需要进行坐标变换。
Pq 2 q2 Qq 2 H q
q
每个单项1 2
Pq 2 q2 Qq 2 ， 也就是每个H q代表一个
简谐振子的能量。
由于q可取N个分立的值，所以H为N个独立简谐振子
的能量之和。
这样可将式子改写为
Hˆ
N i 1
Hi
1 2
N i 1
Pi 2 i 2 Qi 2
根据量子力学，频率为i的格波能量是量子化的
i
i
ei / kBT
1
当T
0时 ， i
1 2
i
当x 0时，ex 1 x
当kBT i时：
i
1 2
＋i
i i
忽略零 点 能i kBT
kBT
晶体中倒 易点阵的FBZ中任何一个波矢k对应的谐振频
率
j
(k
，) 就对应于第（j,k）种声子，标记为
n
jk
。
声子能量：
动量：
p
k
j(k ) (k
Kh
)
因此称为准动量
声子和光子一样都是玻色子（波函数对称的粒子，如 光子、氢原子），数量不守恒。（费米子：波函数反 对称的粒子，如电子、质子等）
光子静止质量为0，光速恒定。
声子质量无定义，对应振动模式有两个横波和一个纵 波。
费米子：电子、质子、中子等
服从泡利不相容原理
遵循费米－狄喇克统计分布
资料
The 2008 Nobel Prize for physics has been awarded to Yoichiro Nambu “for the discovery of the mechanism of spontaneous broken symmetry in subatomic physics(亚原子物理中对称性自发破缺的机 制)", and to Makoto Kobayashi and Toshihide Maskawa "for the discovery of the origin of the broken symmetry which predicts the existence of at least three families of quarks in nature(发现了对称性
百度文库
i
(ni
1 2
)i
h 2π
系统的总能量为
E
N
i
i 1
N
i 1
(ni
1 2
)i
也是量子化的。
ni 0,1,2,3...
三维晶格能量量子化
简正模式
u
jk
(
R0
(l,
m),
t
)
等效于独立的谐振子，振动频率为 j (k )
3naNL种简正模式数等效成3naNL个谐振子，原子振 动的总哈密顿量H为：
破缺的起源，并由此预言了自然界中至少三个夸克家族
的存在)".
3.3 晶格振动量子化和声子*
3.3.1 格波的量子理论
晶格每个原子的振动是一些独立振动模式的叠加。
一维单原子链中第n个原子在波矢q下的振动方程为：
xn (q) Aei(tqna) A eit eiqna Aqeiqna
全部q值下：xn