函数类型及性质

函数类型及性质

1．常见的函数模型及性质 (1)几类函数模型

①一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)． ②二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ③指数函数型模型：y ＝ab x ＋c (b ＞0，b ≠1)． ④对数函数型模型：y ＝m log a x ＋n (a ＞0，a ≠1)． ⑤幂函数型模型：y ＝ax n ＋b .

2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)

3.二次函数的图象和性质 解析式

f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)

f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)

图象

定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域

⎣⎢⎡⎭

⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝

⎛

⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a

单调性

在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫

－b 2a ，＋∞上单调递增

在x ∈⎝ ⎛

⎦

⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增

在x ∈⎝ ⎛

⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减

在x ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

－b 2a ，＋∞上单调递减

奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数

顶点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－b 2a

，4ac －b 24a

对称性 图象关于直线x ＝－b

2a 成轴对称图形

4．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正整数指数幂：a n＝a·a·…·a

n 个(n∈N*)；

②零指数幂：a0＝1(a≠0)；

③负整数指数幂：a－p＝1

a p(a≠0，p∈N

*)；

④正分数指数幂：

m

n

a＝

n

a m(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)；

(2)有理数指数幂的性质

①a r a s＝a r＋s(a＞0，r、s∈Q)

②(a r)s＝a rs(a＞0，r、s∈Q)

③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．

(3)指数函数的图象与性质

y＝a x a＞10＜a＜1 图象

定义域R

值域(0，＋∞)

性质过定点(0,1)

当x＜0时，0＜y＜1

当x＜0时，y＞1.

在(－∞，＋∞)上是减函数当x＞0时，0＜y＜1；

当x＞0时，y＞1；

在(－∞，＋∞)上是增函数

5．对数的性质与运算法则

(1)对数的性质

①a log a N＝N；②N a log

a＝N(a＞0且a≠1)．(2)对数的重要公式

①换底公式：log b N＝log a N

log a b(a，b均大于零且不等于1)；

②log a b＝

1

log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.

(3)对数的运算法则

如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么

①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②N

a log M ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④n a M log m ＝n

m log a M . 6．对数函数的图象与性质

a ＞1

0＜a ＜1

图象

性质

定义域：(0，＋∞)

值域：R 过点(1,0)

当x ＞1时，y ＞0当0＜

x ＜1，y ＜0 当x ＞1时，y ＜0当0＜x

＜1时，y ＞0 是(0，＋∞)上的增函数

是(0，＋∞)上的减函数

7.反函数

指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．

8．幂函数的

（1）定义：一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． （2）图象

在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝2

1

x ，y ＝x －1的图象分别如右图．

9．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域R R {x|x∈R且x≠

π

2＋kπ，k∈Z}

值域[－1,1][－1,1]R

单调性[－

π

2＋2kπ，

π

2＋

2kπ](k∈Z)上递增；

[

π

2＋2kπ，

3π

2＋

2kπ](k∈Z)上递减

[－π＋2kπ，

2kπ](k∈Z)上递增；

[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)

上递减

(－

π

2＋kπ，

π

2＋

kπ)(k∈Z)上递增

最值x＝

π

2＋2kπ(k∈Z)时，

y max＝1；

x＝－

π

2＋2kπ(k∈Z)

时，y min＝－1

x＝2kπ(k∈Z)时，

y max＝1；

x＝π＋2kπ(k∈Z)

时，y min＝－1

奇偶性奇函数偶函数奇函数

对称中心(kπ，0)(k∈Z)(

π

2＋kπ，0)

(k∈Z)

(

kπ

2，0)(k∈Z)

对称轴方程x＝

π

2＋kπ

(k∈Z)

]x＝kπ(k∈Z)

周期2π2ππ10．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤