最新中考数学专题6线段最值问题模型解题含解析

等于 AP+EP最小值的是（
）
A． AB 【答案】 D
B． DE
C． BD
D． AF
故选： D． #
2
【点睛】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出
A 关于 BD 的对称点 C 是解答此题的关键．
3.如图， Rt△ ABC 中，∠ BAC=90°， AB=3， AC=6 ，点 D， E 分别是边 BC， AC 上的动点，则 DA+DE 的最小
图形
转化
8
P 是圆上一动点，求
来源 :ZXXK]
AP的最大值和最小值．
当 P 点运动到点 B 时， AP 取得最小值；当 P 点运动 到点 C时， AP 取得最大值 .
P 为圆内一定点，求过点 P 的弦的最小值与最大值 .
针对训练
AB 是过圆 O内定点 P 的弦 . 当 OP⊥AB 时，过点 P 的 弦的最小值为线段 AB；过点 P 的弦的最大值为圆的 直径 .
【答 案】 20
【点睛】此题考查平移的性质，关键是根据当
解题模型二
图形
AE⊥ BC 时，四边形 AEFD的周长最小进行分析． 来源:Z+xx+] 转化
1
A，B 为定点 ， l 为定直线 ，P 为直线 l 上的一个动点 ，
求 AP＋ BP 的最小值 .
作其中一个定点关于定直线
与另一定点 .
解题模型四
图形
转化
直线 m∥ n，在 m，n 上分别求点 M ，N，使 MN ⊥ m，
且 AM ＋ MN＋ BN 的值最小 .[来源:]
将点 A 向下平移 MN 的单位长度得 A′，连接 A′B，交
n 于点 N，过点 N 作 MN ⊥m 于 M ，点 M ， N 即为所 求.
在直线 l 上求两点 M ， N（ M 在左），使 MN ＝ a，并 使 AM＋ MN＋ NB 的值最小 .
B 处，则问题中葛
【答案】 25
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为 直角三角形按照勾股定理可求出解．
12
作定点 Q关于直线 l 1 的对称点 Q’， 作定点 P 关于直 线 l 2 的对称点 P’，连接 Q’ P’，分别交直线 l 1，l 2 于点 M， N
针对训练
4．如图，点 P 是∠ AOB 内任意一点， OP=5cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，△ PMN
周长的最小值是 5cm，则∠ AOB 的度数是（
针对训练
将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A′，作 A′关于 l 的对 称点 A″，连接 A″B，交直线 l 于点 N，将 N 点向左平 移 a 个单位长度得 M .
6.如图，已知直线 l1∥ l2，l1、l2 之间的距离为 8，点 P 到直线 l 1 的距离为 6 ，点 Q 到直线 l 2的距离为 4，PQ=4 ，
短路线 → 构造
9．如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一 只蚂蚁正好在杯外壁， 离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为
20 cm （杯壁厚度不计） ．
【答案】 20 【解析】将杯子 侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A′，根据两点之间线段最短可知 解：如图： #
解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．
解题模型三
图形
转化
P 为定点 ，M ，N 为定直线上的动点 ，求 △ PMN 周长 过定点 P 分别作关于两条定直线的对称点
的最小值 .
称点 .
，连接两对
求直线 l 1， l 2 上的点 M，N，使得四边形 PQMN的周长 最小 .
值为
．
【答案】 ．
∵∠ A'FD=∠ DEC=9°0 ，∠ A'DF=∠CDE，
∴∠ A'=∠ C， ∵∠ AEA'=∠ BAC=90°，
∴△ AEA'∽△ BAC，
∴
，
∴
，
3
∴ A'E= ， 即 AD+DE的最小值是 ； 故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，
A′Ｂ的长度即为所求．
将杯 子侧面展开，作 A 关于 EF的对称点 A′，
连接 A′，Ｂ则 A′Ｂ即为最短距离， A′B=
=
=20（cm ）．
11
故答案为 20．
【 点睛】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算
是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
=2 ，
9
∴ DB′=2 ﹣ 2． 故选： A．
【点睛】 本题主要考查了折叠的性质、 全等三角形的判定与性质、 两点之间线段最短的综合运用， 确定点 B′ 在何位置时， B′Ｄ的值最小，是解决问题的关键．
8．如图，以 AB 为直径的⊙ O 的圆心 O 到直线 l 的距离 OE=3，⊙ O 的半径 r=2 ，直线 AB 不垂直于直线 l， 过点 A，B 分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点 D， C，则四边形 ABCD的面积的 最大值为 12 ．
解决几何最值问题的理论依据有：①两点之间线段最短；②垂线段最短；③三角形两边之和大于第三
边或三角形两边之差小于第三边 ( 重合时取到最值 ) ；④定圆中的所有弦中，直径最长；⑤圆外一点与圆心
的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长
. 根据不同特征转化从而减少变量是解决
最值问题的关键，直接套用基本模型是解决几何最值问题的高效手段
）
4
． 35°
D． 40°
∵△ PMN 周长的最小值是 5cm， ∴ PM+PN+MN=5， ∴ DM +CN+MN=5 ， 即 CD=5=OP， ∴ OC=OD=CD， 即△ OCD是等边三角形， ∴∠ COD=6°0 ， ∴∠ AOB=3°0 ； 故选： B．
.
解题模型一
图形
转化
直线 l 外有一定点 A，点 B 是直线 l 上的一个动点 ，
求 AB 的最小值 .
过定点 A 作 AB⊥ l 于点 B.
针对训练
1.如图，在 ?ABCD中， AD=7，AB=2 ，∠ B=60°． E 是边 BC 上任意一点，沿 AE 剪开，将△ ABE沿 BC方向
平移到△ DCF的位置，得到四边形 AEFD，则四边形 AEFD周长的最小值为 20 ．
10．我国古代有这样一道数学问题： “枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而 达其顶，问葛藤之长几何？ ”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高
为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 藤的最短长度是 25 尺．
【答案】最大值为 12 %
【点睛】本题考查了梯形中位线：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
解题模型六
图例 [来源 :]
10
圆柱
长 方 体
展开
――→
则 AB 2＝ B′Ａ2＋B′Ｂ2
阶梯 问题
基本 思路
针对训练
将立体图形展开成平面图形 → 利用两点之间线段最短确定最 直角三角形 → 利用勾股定理求解 .[来源:]
l 的对称点 ，连接对称点
点 A 是 l 1 上的动点， B， P 是定点，求 PA+AB的最小 值.
针对训练
作点 P 关于直线 l 1 的对称点 P’，则 P’ B 为 PA+AB 的最小值 .
2．如图，在正方形 ABCD中， E，F 分别为 AD，BC 的中点， P 为对角线 BD 上的一个动点，则下列线段的长
5
【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，
证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
5．如图，已知正方形 ABCD边长为 3，点 E 在 AB 边上且 BE=1，点 P， Q 分别是边 BC， CD 的动点（均不与
顶点重合），当四边形 AE PQ 的周长取最小值时，四边形 A EPQ的面 积是
．
【答案】 ． #
∵ AD=A′D=3， BE=BE′=，1 ∴ AA′=6，AE′=．4 ∵ DQ∥AE′，D 是 AA′的中点， ∴ DQ 是△ AA′E的′中位线，
6
【点睛】本题考查了轴对称，利用轴对称确定
A′、 E′，连接 A′E得′出 P、 Q 的位置是解题关键，又利用了相
似三角形的判定与性质，图形分割法是求面积的重要方法．
7．如图，在矩形 ABCD中， AB=4，AD=6， E 是 AB 边的中 点， F 是线段 BC上的动点，将△ EBF沿 EF所在直
线折叠得到△ EB′，Ｆ连接 B′Ｄ，则 B′Ｄ的最小值是（
）
A． 2 ﹣ 2 【答案】 A
B． 6
C． 2 ﹣ 2
D． 4
∴ AE=EB′=2， ∵ AD=6，
∴ DE=
在直线 l1 上有一动点 A，直线 l2 上有一动点 B，满足 AB⊥ l 2，且 PA+AB+BQ 最小，此时 PA+BQ=
．
7
【答案】 16
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、平行线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题
的关键是学会构建平行四边形解决问题，属于中考常考题型．
%
解题模型五