人教版数学高二A版选修2-31.3.2“杨辉三角与二项式系数的性质

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质练习

一、选择题

1．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数和是( )．

A ．2n ＋1

B ．2n ＋1＋1

C ．2n ＋1－1

D ．2n ＋

1－2

2

．在2

n

x ⎛ ⎝的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )．

A ．－7

B ．7

C ．－28

D ．28

3．(2

)8展开式中不含x 4项的系数的和为( )． A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

4

．已知1n

x ⎫⎪⎭展开式中的第10项是常数，则展开式中系数最大的项是( )．

A ．第19项

B ．第17项

C ．第17项或第19项

D ．第18项或第19项

5．(2012云南昆明一中月考，理6)已知(1－2x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )．

A ．1

B ．－1

C ．36

D ．26 二、填空题

6．(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋a 3

＋…＋a 11的值为__________．

7．(2012安徽安庆模拟，理14)设

(1)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M,8，N 三数成等比数列，则展开式中第四项为__________．

8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶

3.

三、解答题

9．已知(a 2＋1)n

展开式中的各项系数之和等于5

2165

x ⎛ ⎝的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．

10．设m ，n ∈N ，f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋x )n .

(1)当m ＝n ＝2 013时，f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 013x 2 013，求a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2

013的值．

(2)若f (x )展开式中x 的系数为20，当m ，n 变化时，试求x 2系数的最小值．

11.求证：(1)1C n ＋22C n ＋…＋C n

n n ＝n ·2n －

1；

(2)0

C n ＋

1211C C 23n n +＋…＋11C 11

n n

n n =++ (2n ＋

1－1)． 12．在杨辉三角形中，每一数值是它左上角和右上角两个数值之和，三角形开头几行如

下：

(1)利用杨辉三角展开(1－x )6；

(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001；

(3)在杨辉三角形中的哪一行会出现相邻的数，它们的比是3∶4∶5?

参考答案

1答案：D 解析：令x ＝1，可知其各项系数和为2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2. 2答案：B 解析：由已知n 为偶数，则2

n

＋1＝5， ∴n ＝8.

∴822n x x ⎛⎛=- ⎝⎝的展开式通项公式为T r ＋1

＝88C 2r

r

r x -⎛⎛⎫⋅ ⎪ ⎝⎭⎝

＝(－

1)r ·8483

8

1C 2r

r r

x

--

⎛⎫

⋅ ⎪⎝⎭

，令8－43r ＝0，得r ＝6，∴常数项为T 7＝(－1)6·2

6

811C 24⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭

×28＝7.

3答案：B 解析：令x ＝1，得展开式中各项系数之和为(2

)8＝1，

由T r ＋1

＝88C 2r

r r -⋅，令r ＝8，得T 9＝8

8C ·

20x 4＝x 4，其系数为1， ∴展开式中不含x 4的项的系数和为1－1＝0.

4答案：A 解析：T 10＝9

C n

n －9

·9

993

91C n n x x --=，由T 10为常数，得93

n -－9＝0，所以n ＝36，故第19项系数最大．

5答案：C 解析：由已知展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，a 1，a 3，a 5小于零． 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，①

令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝36.②

∴①＋②得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝631

2+，

①－②得a 1＋a 3＋a 5＝6

132

-.

∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝66313122

+-+＝36

. 6答案：2 解析：令x ＝1，得a 0＝－2. 令x ＝2，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0.

∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝2.

7答案：－160x 解析：当x ＝1时，可得M ＝1，二项式系数之和N ＝2n ， 由已知M ·N ＝64， ∴2n ＝64，n ＝6.

∴第四项T 4＝3

6C ·

(3·(－1)3＝－160x .

8答案：34 解析：由题可设第n 行的第14个与第15个数的比为2∶3，

故二项展开式的第14项和第15项的系数比为2∶3，即1314

C :C n n ＝2∶3，

所以

!!

:(13)!13!(14)!14!

n n n n -⋅-⋅＝2∶3，

∴

142

133

n =-.∴n ＝34. 9解：

由5

2165

x ⎛+ ⎝，得T r ＋1

＝5520522

55

1616C C 55r r

r

r r r x x

---⎛⎫⎛⎫

=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，令T r

＋1

为常数项，则20－5r ＝0， 所以r ＝4，常数项T 5＝4

516

C 5

⨯

＝16. 又(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ，由此得到2n ＝16，n ＝4. 所以(a 2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T 3＝2

4C a 4＝54. 所以a

＝.

10解：(1)当m ＝n ＝2 013时，f (x )＝(1＋2x )2 013＋(1＋x )2 013，

x ＝－1，得f (－1)＝(－1)2 013＝－1，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 013＝－1. (2)由已知1

1

2C C m n +＝2m ＋n ＝20， ∴n ＝20－2m .

∴x 2的系数为2

2

2

(1)(1)2C C 422m n m m n n --+=⨯+＝2m 2－2m ＋1

2

(20－2m )(19－2m )＝4m 2－41m ＋190.

当m ＝5，n ＝10时，f (x )展开式中x 2的系数最小，最小值85.