圆柱形梁弯曲和横向振动的精确分析

¶ 2w
+ xz
+ yz
zz = ρ
抖x
y 抖z
t2
其中 E 为杨氏弹性模量，G 为剪切模量，ρ 为质量密度。利用力和力矩的平衡，我们可以得到弯矩
M 和截面剪力的表达式：
（7）
EI 抖j
2w
ò M = σ zdA = (7 - 2 ),
xx A
9 抖x
x2
2GA ¶ w
ò Q = τ dA = xz
ε = =z -
( + ),
xx
抖x
x
3R 2 抖x2
x
（2）
抖u v 2zy w
γ = + = - ( + j ),
xy
抖y
x
3R2 x
抖u w 3R2 - z3 - zy 2 w
γ= + =
( + j ),
xz
抖z
x
3R2
x
（3）
抖u ¶ u γ = + r=
z
(R2 -
z2 -
y 2 )(
w +j)
7ρI
EI
+ ρ I (1 + )ω2
− ρ Aω2 (1 −
ω2 ) f = 0
。
dx 4
6G dx2
6GA
（21） 利用微分方程基本理论，我们可以将上述方程的一般解写为：
{ f (x) =
C 1
cos(λ1x) +
C 2
sin(λ1x) +
C 3
cosh(λ2 x) +
C 4
sinh(λ2 x),
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般包括三个空间变量，在计算时也会遇到较为复杂的偏微分方程；而且对于一些离散的问题，两端 的边界条件是不可能完全精确满足，例如一个有限长的弹性棒的反对称振动，在自由边界条件下， 只有三个边界条件是完全满足而另外三个是近似满足。相对于三维分析，在实际中更简单和可行的 方法是一维分析。到目前为止，已经构建了很多的一维梁理论，例如 Euler-Bernoull 梁理论，Rayleigh 梁理论，Timoshenko 梁等等[11] [12]。 对于 Euler-Bernoull 梁，由于它忽略了旋转惯量和剪切变形的影 响，利用其计算的自由振动的自然频率往往会偏大而绕度会偏小。 后来，Timoshenko[13-14]通过考虑 旋转惯量和剪切变形的影响，对梁的模型作了很大的改进，建立了新的梁模型。直到今天，Timoshenko 梁理论仍被广泛应用于弹性梁的横向弯曲，振动和动态稳定的分析和计算。然而，众所周知，在 Timoshenko 梁理论中，为了方便计算截面上的剪力，作出了截面上剪应力恒定的假设，并引入了一
C 1
cos(λ3 x)
+
C 2
sin(λ3 x) +
C 3
cos(λ4 x) +
C 4
sinh(λ4 x),
（22）
ω<ω , c
ω>ω , c
其中 ω = (6GA) /(7ρI ) 为临界频率， C ( j = 1, ...4) 为未知常数，并且：
c
j
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2 理论公式
考虑半径为 R 的圆截面柱形梁，我们建立两种坐标系（图 1）：笛卡尔直角坐标系（x, y, z）和
极柱坐标系(x, r, θ )；对应的，用（u,v,w）和（ u, ur , uθ ）来表示相关方向上的弹性位移。易知：
y = r cos θ, z = r sin θ, u = v cos θ + w sin θ 。 r 对于一个受横向弯曲的圆截面柱形梁，可以近似的认为： w = w(x, t), v = v( y, z, t) 。基于圆周上
Key words：Oil-gas field，Gathering and transportation pipeline，Corrosion risk control measure，Development trend
圆柱形梁弯曲和横向振动的精确分析1)
黄勇2)，李显方
（中南大学土木建筑学院力学与传感技术研究所，长沙，410083）
本研究提供了一种既简单又不失精确的方法来分析圆截面柱形梁的弯曲和横向振动问题。 对于 一个受横向弯曲的圆截面柱形梁，基于圆周上剪应力为零的假设，我们构造出了轴向和横向位移的 表达式。接着我们得到了关于绕度和转角的两个耦合方程，通过引入辅助函数将将它们简化为一个 控制方程。 最后，通过与 Timoshenko 梁和 Euler-Bernoull 梁的对比，讨论了圆形截面梁的静态弯曲 和自由振动问题。
7EI 抖2 F 7ρI 2 F
ρI 抖3F ΕI 3F F
w= F-
+
,ϕ =
-
-
6GA 抖x2 6GA t 2
3GA 抖x t 2 3GA 抖x3 x
(11) 将(11)式代入(7)，可得：
¶ 2F M = - EI ,
¶ x2
（12） 同样的，控制方程(8)和(9)可以简化为：
抖3 F
3F
Q = - EI + ρI
（SINOPEC Safeing Engineering Institute，Qingdao 266071）
Abstract：In this paper，the present situations about corrosion environment，domestic and foreign corrosion risk assessment method and control measure of gathering and transportation pipeline in oil-gas field are analyzed， then emphatically point out that the differences between the domestic corrosion risk assessment and control technology and the foreign advanced technology. Finally，forecast the trend of development about the domestic corrosion risk assessment and control technology of gathering and transportation pipeline in oil-gas field.
EI 抖2 F ρI
w= F-
+
2F ，
κGA 抖x2 κGA t 2
¶F ϕ= - ,
¶x
（14）
为了讨论圆截面柱形梁的振动问题，我们将辅助函数写成下面的形式： F = f (x)eiωt ，其中 ω 为
自由振动的自然频率。将 F 代入控制方程(13)式并令 q = 0 ，得到：
d4 f
7E d2 f
抖2j 2 3w 6GA 抖w
2j 2 3w
EI ( -
)-
( + j ) = ρI ( -
),
抖x2 7 x3
7 抖x
t 2 7 抖x t 2
（8） 同理，对方程(6)后式两边在截面上直接积分：
2GA 抖2w j
2w
( + ) = ρA - q,
3 抖x2
x
t2
(9)
其中 q 为 z 方向上的横向荷载。这样，对于圆截面柱形梁的弯曲问题，我们得到了两个耦合控制方
引言
弹性圆截面柱型梁是一种常见的结构，被广泛地应用于军事，机械，航空和土木工程等领域[1]， 例如在桥梁和飞机起落架上的钢绳；另一方面，在微观领域，弹性梁也越来越多被研究者用于理解 碳纳米管[2]和微管[3]的力学行为。因此，无论从微观还是从宏观，研究圆柱体都用很重要的实际和理 论意义。
人们对圆截面柱形梁的研究已经有很悠久的历史。近年来，有很多学者利用三维空间弹性理论 致力于圆柱体的自由振动和波传播的研究[4-10]，得到了不少的研究成果。一般说来，三维空间分析一
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THE DEVELOPMENT TREND FOR CORROSION RISK CONTROL MEASURE OF GATHERING AND TRANSPORTATION PIPELINE IN OIL-GAS FIELD
XU Shujian，Huang Xianbin，Liu Xiaohui，Ye Chenglong
。
抖x 3
x 源自文库2
∂4F
∂2F
7E ∂4F 7ρ2I ∂4F
EI + ρ A − ρ I (1 + )
+
=q
。
∂x 4
∂2t
6G ∂x2∂t 2 6GA ∂t 4
（13） 这样, 挠度，转角，弯矩和剪力均可由 F 来表示，从而边界条件都可由 F 的关系式来表示。而对于
Timoshenko 梁，如果令：
摘要 本研究提供了一种既简单又不失精确的方法来分析圆截面柱形梁的弯曲和横向振动问题。与 Timoshenko 梁的 方程一样，我们考虑了剪切变形和转动惯量，但与之不同的地方，我们不需要引入剪切系数。这种新模型将 Levinson 梁理论中关于矩形截面梁扩展到了圆形截面。对于一个受横向弯曲的圆截面柱形梁，基于圆周上剪应力为零的假设, 我们得到了关于绕度和转角的耦合方程。我们给出了圆形截面梁自由振动的自然频率的计算公式，并和利用 Eular-Bernoulli 梁、Timoshenko 梁模型计算的数值结果进行了对比。这些结果对于更好的分析圆形截面梁的力学 行为和工程设计有较重要意义。 关键词 圆截面柱形梁，弯曲，自由振动，自然频率，Timoshenko 梁
，
xr
抖r
x rR2
x
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其中从(3)后式可以看出，圆周边界上的无应力条件自动满足。利用 Saint-Venant 原则，我们有
σ = σ = σ =0, 这样，三维的本构方程为：
yy
zz
yz
σ xx
=
Eε xx
=
E 轾 犏 犏 臌z ?抖jx
-
z 3 zy 2 抖2 w
剪应力为零的假设，我们构造出了轴向位移的表达式：
u(x,
y, z, t)
=
zϕ (x, t) −
z 3 + zy 2 3R2
⎡ ∂w(x, t) ⎢⎣ ∂x
+ ϕ(x, t)⎤⎥⎦ ,
（1）
其中ϕ(x, t) 和 w(x, t) 分别中性轴的转角和梁的挠度。于是，有下面的应变表达式：
抖u
j z3 + zy 2 抖2 w j
(+
3R2
x2
j ),
x
（4）
运动方程为：
2Gzy ¶ w
τ = Gγ = -
( + j ),
xy
xy
3R2 ¶ x
3R2 - z 3 - zy 2 w
τ = Gγ = G
( + j ),
xz
xz
3R2
¶x
（5）
抖σ ¶ τ
τ
¶ 2u
+ xx
+ xy
xz = ρ
，
抖x
y 抖z
t2
（6）
¶τ ¶τ ¶σ
λ =ω 1,2
1 2
轾犏犏臌(
ρ E
+
7ρ )2
6G
+
4ρΑ 1 (-
EI ω2
1 )?
ω2 c
ρ (
E
7ρ )
6G
，
（23）
λ =ω 3, 4
1 2
轾犏犏臌 ?
ρ (
E
7ρ 4ρΑ 1 1
ρ 7ρ
)2 +
( - )+ ( + ).
6G
EI ω2 ω 2
E 6G
c
（24）
结合边界条件，我们容易确定自然频率。如果 κ = 6 / 7 则本理论中的控制方程和某些物理量(挠 度，弯矩和剪力)与 Timoshenko 梁中的完全一样，这样得到的自然频率也就是一致的, 如简支梁，自 由梁等。然而，对于带有转角的边界条件：如悬臂梁，固支梁，这两种方法给出不同的的自然频率。
( + j ),
A
3 ¶x
其中 I = p R4 / 4, A = p R2 为圆截面的惯性矩和面积。值得指出的是，在 Timoshenko 梁理论中， 为
了计算截面剪力，作出了剪力恒定的假设并引入了剪切系数的概念，而在本模型中，不需要做出这 些假设。
将(4)-(5)式代入(6)第一式, 在方程两边乘上 z ，然后对方程两边在截面 A 上积分，将得到：
个剪切系数 κ 的概念，但是这个剪切系数 Timoshenko 梁理论本身无法确定，有很多学者通过实验和
理论的方法讨论了各种几何形状的剪切系数[15-17]。八十年代初，Levinson[18]在不需要引入剪切系数 的条件下，研究了矩形截面梁，并且考虑了旋转惯量和剪切变形的影响，建立了更为精确的理论计 算公式。但是，关于圆截面柱形梁，类似的精确分析一直缺乏。
程(8)和(9)。为了比较，我们给出 Timoshenko 理论中相应的控制方程[1]：
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抖2j
w
2j 2GA 抖2 w j
2w
EI - κGA( + j ) = ρI ,
( + ) = ρA - q,
抖x 2
x
t2
3 抖x2
x
t2
（10）
其中 κ 为剪切系数。 为了化简控制方程(8)和(9)，我们引入一个辅助函数 F (x, t) ， 使得：