《中等数学》数学奥林匹克高中训练题_17_
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3. 12 221 . 49
由于两圆连心线过原点 , 则可设两圆圆 ( b , kb) . 于是 , 心为 ( a , ka) 、 2 ( a - 9) + ( ka - 6) 2 = ( ka) 2 ] a2 - 6 ( 2 k + 3) a + 117 = 0. 2 同理 , b - 6 ( 2 k + 3) b + 117 = 0. 又 a ≠b ,故 a 、 b 是二次方程 2 x - 6 ( 2 k + 3) x + 117 = 0 的两根 ,则 ab = 117. 因为 ka・ kb = 68 ,所以 , k =
10
中 等 数 学
数学奥林匹克高中训练题 ( 17)
第一试
一、 填空题 ( 每小题 7 分 ,共 56 分) 1. 已知函数 f ( x ) = x | 1 - x | ( x ∈R) . 则 不等式 f ( x ) >
1 的解集为 . 4 .
2. 从等差数列 2 ,5 ,8 ,11 , …中取 k 项 ,
如图 4 ,可知在区 ( 间 1 , + ∞) 上 存 在 1 x0 ,有 f ( x0 ) = . 4 1 2 令 x - x= . 4
1 ±2 . 2 ) , 又 x ∈( 1 , + ∞
解得 x =
图4
则 x0 =
1+ 2 . 2
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© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
的图像上的任意两点 ( 可以重合) ,点 M 在直 线x =
1 上 , 且 AM = MB . 则 y1 + y2 的值为 2
以下用梯形两底的刻度对表示相应的梯 形图 . 据 ( 1) 知 ,每个等腰梯形中都存在两对全 等三角形 . 再考虑第五个红点 . 若该红点为两底中垂线上的点 M , 据 ( 2) 知 ,存在另一对全等三角形 △MAB △MDC . 若该红点异于点 M , 据图形的对称性 , 只需考虑红点为 P 或 Q 的情况 . 再证明 : 无 论增加红点 P 或 Q ,图形中都将新增一个等 腰梯形 . i) 若增加红点 P ,则在图 ( 1 ,2) 中增加了 梯形 PBAD ,在图 ( 1 ,3) 中增加了梯形 PDCB , 在图 ( 1 ,4 ) 中增加了梯形 PCBD , 在图 ( 2 ,3 )
V1 =
ABC
图5
1 3 2 × 4 × ( 3 3 ) = 9 3. 3 4 设侧面的顶角 ∠A PB = θ.
由余弦定理得
2 2 2 5 + 5 - (3 3 ) 23 = . 2× 5× 5 50 截去 AD = 1 后所得三棱锥 P - DBC 的
cos θ=
又另一条外公切线的倾斜角是连心线倾
68 2 = 117 3 17 . 13
故 x1 + x2 = 1. 1 1 ( 1) 当 x1 = 时 , x2 = ,则 2 2 y1 + y 2 = f ( x 1 ) + f ( x 2 ) = - 1 - 1 = - 2 ; 1 1 ( 2) 当 x1 ≠ 时 , x2 ≠ ,则 2 2 2 x1 2 x2 y1 + y 2 = + 1 - 2 x1 1 - 2 x 2 2 x 1 ( 1 - 2 x 2 ) + 2 x2 ( 1 - 2 x1 ) = ( 1 - 2 x1 ) ( 1 - 2 x2 ) ( 2 x 1 + x2 ) - 8 x 1 x 2 = = - 2. 1 - 2 ( x1 + x 2 ) + 4 x 1 x2 综上得 y1 + y2 = - 2. 144 5. . 1 585 如图 5 , 原三脚架 立起时是个正三棱锥 P - ABC , 侧棱长为 5 , 高 PO = 4. 则底面正三 角形的外接圆半径为 1 2 2 AB = 5 - 4 3 = 3. 故 AB = 3 3. 正三 棱 椎 V P 的体积为
2k 12 221 斜角的两倍 ,故斜率为 . 2 = 49 1- k 4. - 2. 1 1 由点 M 在直线 x = 上 ,设 M ,y . 2 2 M 又 AM = MB ,即 1 AM = - x 1 , yM - y 1 , 2 1 MB = x2 , y - yM . 2 2
体积为 V 2 =
行中的其余 各数分别等于其 “肩膀” 上的两个数之和 . 设 第 n ( n ∈N+ ) 行中各数之和为 bn . 试问 : 数 列{ bn }中是否存在不同的三项 bp 、 bq 、 br ( p 、
q、 r ∈N+ ) 恰好成等差数列 ? 若存在 , 求出 p、 q、 r 的关系 ; 若不存在 ,请说明理由 .
中有 201 个不同的元素 . 求集合 {| ai - aj | | 1 ≤i 、 j≤ 20} 中不同元素个数的最小可能值 .
参考答案
第一试
一、 1. 1 + 2 , + ∞ . 2 注意到
f ( x) = x| 1 - x| =
2 - x + x ,x ≤ 1; 2 x - x , x > 1.
使其倒数和为 1. 则 k 的最小值是
. 5. 三脚架的三只脚各长 5 , 两两的夹角 彼此相等且固定 . 将它立在地面上时 ,顶端距 地面的高度为 4. 后来一只脚损坏 , 底部截去 长度 1. 再立在地面上时 , 顶端距地面的高度 变为 . 6. 已知 S n 为数列{ an } 的前 n 项和 , n +1 a = ( S n ,1) , b = ( - 1 ,2 an + 2 ) , a ⊥b . 若 bn =
= aii = i . 每
图2
第二试
( 50 分 ) 如图 3 , 一、 AD 为 △ABC 的 角 平 分 线 , I1 、 I2 分别为 △ABD 、 △ACD 的内心 , 以 I1 I2 为底作等腰 △I1 I2 E , 使 1 ∠I1 EI2 = ∠BAC . 求 2 图3 证 : DE ⊥BC . ( 50 分 ) 设 p 为任意给定的质数 . 证 二、 明 :一定存在质数 q , 使得对任意的整数 n , p 数 n - p 都不能被 q 整除 . ( 50 分) 设自然数 k 满足 1 < k < 100. 三、 对 1 , 2 , …, 100 的 任 一 个 排 列 a1 , a2 , …, a100 ,取最小的 m > k ,使 am 至少小于 a1 , a2 , …, ak 中 k - 1 个数 . 已知满足 am = 1 的数列 100 ! 的个数为 . 求 k 的值 . 4 ( 50 分) 设 al , a2 , …, a20 是 20 个两两 四、 不同的正整数 ,且集合{ ai + aj | l ≤i 、 j≤ 20}
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中 等 数 学
故不等式的解集是 1 + 2 , + ∞ . 2 2. 8. 首先 ,取 2 ,5 ,8 ,11 ,20 ,41 ,110 ,1 640 , 易 知其倒数和为 1 ,即 k = 8 满足要求 . 其次 ,设从数列中取出 x1 , x2 , …, x k ,使 1 1 1 + + …+ = 1.
11. ( 15 分 ) 设 f ( x ) 是定义在定义域 D 上的函数 . 若对任何实数 α ∈( 0 ,1 ) 以及 D
中的任意两数 x1 、 x2 ,恒有 α ) x2 ) ≤ α ) f ( x2 ) , f( x1 + (1 - α f ( x1 ) + (1 - α 则称 f ( x ) 为定义在 D 上的 C 函数 . ( 1) 已知 f ( x ) 是 R 上的 C 函数 , m 是给 定的正整数 . 设 an = f ( n ) ( n = 0 ,1 , …, m ) , 且 a0 = 0 , am = 2 m ,记 S f = a1 + a2 + …+ am . 对于满足条件的任意函数 f ( x ) , 试求 Sf 的 最大值 . (2) 若 f ( x ) 是定义域为 R 的函数 , 且最 小正周期为 T , 证明 : f ( x ) 不是 R 上的 C 函 数.
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2009 年第 6 期
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共有 种. 二、 解答题 ( 共 44 分) 2 9. ( 14 分 ) 如图 1 , 已知抛物线 x = 2 py ( p > 0) 与直线 y = b ( b < 0) , 点 P ( t , b) 在直线上移动 . 过 P 作抛 物 线 的 两 条 切 线 ,切 点 分 别 为 A 、 B , 线段 AB 的 中 点 为 M. 图1 (1) 求 点 M 的 轨迹 ; ( 2) 求| AB | 的最小值 . 10. (15 分) 用部分自然数构造如图 2 的 数 表 : 用 aij ( i ≥j ) 表 示 第 i 行第 j 个数 ( i 、 j ∈ N+ ) , 使 ai1
n - 2 011 a n , 且存在 n0 , 对于任 n +1
3. 平面直角坐标系中 , 两个圆有公共点 ( 9 ,6) 且都与 x 轴相切 , 它们的半径之积为 68. 如果它们的另一条外公切线也过原点 ,则
意的 k ( k ∈N+ ) , 不等式 bk ≤bn0 成立 . 则 n0 的值为 . 7. 若 a 、 b、 c 均是整数 ( 0 < c < 90) , 且使 a+ b 得 9 - 8sin 50° = a + b sin c° .则 的值是
c
它的斜率为 . 4. 已知 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 是函数
f ( x) =
2x 1 ,x ≠ ; 1 - 2x 2 - 1 , x = 1 2
. 8. 将 4 个相同的红球和 4 个相同的蓝球 排成一行 , 从左至右依次对应序号 1 ,2 , …, 8. 若同色球之间不加区分 , 则 4 个红球对应 序号之和小于 4 个蓝球对应序号之和的排列
ห้องสมุดไป่ตู้
4 36 3 V = . 5 1 5 23 2 2 5 +4 - 2 × 5× 4× = 50
2
底面腰长为
DB = DC =
113 , 5
底边 BC 上的高为
113 5 3 3 2 = 317 , 2 5
底面积 S △DBC =
1 317 3 951 × × 3 3= . 2 2 5 4 5
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x1 x2 xk x1 x2 …x k 令 yi = .则 xi y1 + y2 + …+ y k = x1 x2 …x k .
①
因为 x n ≡ 2 ( mod 3) ,所以 , 对式 ① 两边取 以 3 为模得 k- 1 k ≡ k・ 2 2 ( mod 3) ,即 k ≡ 2 ( mod 3) . 1 1 ≤1 1 当 k =2 时 , + + <1; x1 x2 2 5 当 k =5 时 , 1 1 1 1 1 1 1 1 + + …+ ≤ + + + + < 1. x1 x2 x5 2 5 8 11 14 故k≥ 8. 因此 , k 的最小值是 8.
中增加了梯形 PBAD , 在图 ( 2 ,4) 中增加了梯 形 PADC ,在图 ( 3 ,4) 中增加了梯形 PBAC . ii ) 若增加红点 Q ,则在图 ( 1 ,2) 中增加了 梯形 QDBC ,在图 ( 1 ,3) 中增加了梯形 QACD , 在图 ( 1 ,4 ) 中增加了梯形 QBCD , 在图 ( 2 ,3 ) 中增加了梯形 QABC , 在图 ( 2 ,4) 中增加了梯 形 QCAB ,在图 ( 3 ,4) 中增加了梯形 QABD . 而据 ( 1) ,新增红点必在新增梯形的一对 全等三角形中两次出现 , 也就是增加了一对 新的全等三角形 . 因此 ,给出的五个红点中 ,存在六个以红 点为顶点的三角形 ,它们可配成全等的三对 . 故本题得证 . ( 陶平生 江西科技师范学院数学与计 算机科学系 ,330013)
由于两圆连心线过原点 , 则可设两圆圆 ( b , kb) . 于是 , 心为 ( a , ka) 、 2 ( a - 9) + ( ka - 6) 2 = ( ka) 2 ] a2 - 6 ( 2 k + 3) a + 117 = 0. 2 同理 , b - 6 ( 2 k + 3) b + 117 = 0. 又 a ≠b ,故 a 、 b 是二次方程 2 x - 6 ( 2 k + 3) x + 117 = 0 的两根 ,则 ab = 117. 因为 ka・ kb = 68 ,所以 , k =
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数学奥林匹克高中训练题 ( 17)
第一试
一、 填空题 ( 每小题 7 分 ,共 56 分) 1. 已知函数 f ( x ) = x | 1 - x | ( x ∈R) . 则 不等式 f ( x ) >
1 的解集为 . 4 .
2. 从等差数列 2 ,5 ,8 ,11 , …中取 k 项 ,
如图 4 ,可知在区 ( 间 1 , + ∞) 上 存 在 1 x0 ,有 f ( x0 ) = . 4 1 2 令 x - x= . 4
1 ±2 . 2 ) , 又 x ∈( 1 , + ∞
解得 x =
图4
则 x0 =
1+ 2 . 2
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的图像上的任意两点 ( 可以重合) ,点 M 在直 线x =
1 上 , 且 AM = MB . 则 y1 + y2 的值为 2
以下用梯形两底的刻度对表示相应的梯 形图 . 据 ( 1) 知 ,每个等腰梯形中都存在两对全 等三角形 . 再考虑第五个红点 . 若该红点为两底中垂线上的点 M , 据 ( 2) 知 ,存在另一对全等三角形 △MAB △MDC . 若该红点异于点 M , 据图形的对称性 , 只需考虑红点为 P 或 Q 的情况 . 再证明 : 无 论增加红点 P 或 Q ,图形中都将新增一个等 腰梯形 . i) 若增加红点 P ,则在图 ( 1 ,2) 中增加了 梯形 PBAD ,在图 ( 1 ,3) 中增加了梯形 PDCB , 在图 ( 1 ,4 ) 中增加了梯形 PCBD , 在图 ( 2 ,3 )
V1 =
ABC
图5
1 3 2 × 4 × ( 3 3 ) = 9 3. 3 4 设侧面的顶角 ∠A PB = θ.
由余弦定理得
2 2 2 5 + 5 - (3 3 ) 23 = . 2× 5× 5 50 截去 AD = 1 后所得三棱锥 P - DBC 的
cos θ=
又另一条外公切线的倾斜角是连心线倾
68 2 = 117 3 17 . 13
故 x1 + x2 = 1. 1 1 ( 1) 当 x1 = 时 , x2 = ,则 2 2 y1 + y 2 = f ( x 1 ) + f ( x 2 ) = - 1 - 1 = - 2 ; 1 1 ( 2) 当 x1 ≠ 时 , x2 ≠ ,则 2 2 2 x1 2 x2 y1 + y 2 = + 1 - 2 x1 1 - 2 x 2 2 x 1 ( 1 - 2 x 2 ) + 2 x2 ( 1 - 2 x1 ) = ( 1 - 2 x1 ) ( 1 - 2 x2 ) ( 2 x 1 + x2 ) - 8 x 1 x 2 = = - 2. 1 - 2 ( x1 + x 2 ) + 4 x 1 x2 综上得 y1 + y2 = - 2. 144 5. . 1 585 如图 5 , 原三脚架 立起时是个正三棱锥 P - ABC , 侧棱长为 5 , 高 PO = 4. 则底面正三 角形的外接圆半径为 1 2 2 AB = 5 - 4 3 = 3. 故 AB = 3 3. 正三 棱 椎 V P 的体积为
2k 12 221 斜角的两倍 ,故斜率为 . 2 = 49 1- k 4. - 2. 1 1 由点 M 在直线 x = 上 ,设 M ,y . 2 2 M 又 AM = MB ,即 1 AM = - x 1 , yM - y 1 , 2 1 MB = x2 , y - yM . 2 2
体积为 V 2 =
行中的其余 各数分别等于其 “肩膀” 上的两个数之和 . 设 第 n ( n ∈N+ ) 行中各数之和为 bn . 试问 : 数 列{ bn }中是否存在不同的三项 bp 、 bq 、 br ( p 、
q、 r ∈N+ ) 恰好成等差数列 ? 若存在 , 求出 p、 q、 r 的关系 ; 若不存在 ,请说明理由 .
中有 201 个不同的元素 . 求集合 {| ai - aj | | 1 ≤i 、 j≤ 20} 中不同元素个数的最小可能值 .
参考答案
第一试
一、 1. 1 + 2 , + ∞ . 2 注意到
f ( x) = x| 1 - x| =
2 - x + x ,x ≤ 1; 2 x - x , x > 1.
使其倒数和为 1. 则 k 的最小值是
. 5. 三脚架的三只脚各长 5 , 两两的夹角 彼此相等且固定 . 将它立在地面上时 ,顶端距 地面的高度为 4. 后来一只脚损坏 , 底部截去 长度 1. 再立在地面上时 , 顶端距地面的高度 变为 . 6. 已知 S n 为数列{ an } 的前 n 项和 , n +1 a = ( S n ,1) , b = ( - 1 ,2 an + 2 ) , a ⊥b . 若 bn =
= aii = i . 每
图2
第二试
( 50 分 ) 如图 3 , 一、 AD 为 △ABC 的 角 平 分 线 , I1 、 I2 分别为 △ABD 、 △ACD 的内心 , 以 I1 I2 为底作等腰 △I1 I2 E , 使 1 ∠I1 EI2 = ∠BAC . 求 2 图3 证 : DE ⊥BC . ( 50 分 ) 设 p 为任意给定的质数 . 证 二、 明 :一定存在质数 q , 使得对任意的整数 n , p 数 n - p 都不能被 q 整除 . ( 50 分) 设自然数 k 满足 1 < k < 100. 三、 对 1 , 2 , …, 100 的 任 一 个 排 列 a1 , a2 , …, a100 ,取最小的 m > k ,使 am 至少小于 a1 , a2 , …, ak 中 k - 1 个数 . 已知满足 am = 1 的数列 100 ! 的个数为 . 求 k 的值 . 4 ( 50 分) 设 al , a2 , …, a20 是 20 个两两 四、 不同的正整数 ,且集合{ ai + aj | l ≤i 、 j≤ 20}
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中 等 数 学
故不等式的解集是 1 + 2 , + ∞ . 2 2. 8. 首先 ,取 2 ,5 ,8 ,11 ,20 ,41 ,110 ,1 640 , 易 知其倒数和为 1 ,即 k = 8 满足要求 . 其次 ,设从数列中取出 x1 , x2 , …, x k ,使 1 1 1 + + …+ = 1.
11. ( 15 分 ) 设 f ( x ) 是定义在定义域 D 上的函数 . 若对任何实数 α ∈( 0 ,1 ) 以及 D
中的任意两数 x1 、 x2 ,恒有 α ) x2 ) ≤ α ) f ( x2 ) , f( x1 + (1 - α f ( x1 ) + (1 - α 则称 f ( x ) 为定义在 D 上的 C 函数 . ( 1) 已知 f ( x ) 是 R 上的 C 函数 , m 是给 定的正整数 . 设 an = f ( n ) ( n = 0 ,1 , …, m ) , 且 a0 = 0 , am = 2 m ,记 S f = a1 + a2 + …+ am . 对于满足条件的任意函数 f ( x ) , 试求 Sf 的 最大值 . (2) 若 f ( x ) 是定义域为 R 的函数 , 且最 小正周期为 T , 证明 : f ( x ) 不是 R 上的 C 函 数.
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2009 年第 6 期
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共有 种. 二、 解答题 ( 共 44 分) 2 9. ( 14 分 ) 如图 1 , 已知抛物线 x = 2 py ( p > 0) 与直线 y = b ( b < 0) , 点 P ( t , b) 在直线上移动 . 过 P 作抛 物 线 的 两 条 切 线 ,切 点 分 别 为 A 、 B , 线段 AB 的 中 点 为 M. 图1 (1) 求 点 M 的 轨迹 ; ( 2) 求| AB | 的最小值 . 10. (15 分) 用部分自然数构造如图 2 的 数 表 : 用 aij ( i ≥j ) 表 示 第 i 行第 j 个数 ( i 、 j ∈ N+ ) , 使 ai1
n - 2 011 a n , 且存在 n0 , 对于任 n +1
3. 平面直角坐标系中 , 两个圆有公共点 ( 9 ,6) 且都与 x 轴相切 , 它们的半径之积为 68. 如果它们的另一条外公切线也过原点 ,则
意的 k ( k ∈N+ ) , 不等式 bk ≤bn0 成立 . 则 n0 的值为 . 7. 若 a 、 b、 c 均是整数 ( 0 < c < 90) , 且使 a+ b 得 9 - 8sin 50° = a + b sin c° .则 的值是
c
它的斜率为 . 4. 已知 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 是函数
f ( x) =
2x 1 ,x ≠ ; 1 - 2x 2 - 1 , x = 1 2
. 8. 将 4 个相同的红球和 4 个相同的蓝球 排成一行 , 从左至右依次对应序号 1 ,2 , …, 8. 若同色球之间不加区分 , 则 4 个红球对应 序号之和小于 4 个蓝球对应序号之和的排列
ห้องสมุดไป่ตู้
4 36 3 V = . 5 1 5 23 2 2 5 +4 - 2 × 5× 4× = 50
2
底面腰长为
DB = DC =
113 , 5
底边 BC 上的高为
113 5 3 3 2 = 317 , 2 5
底面积 S △DBC =
1 317 3 951 × × 3 3= . 2 2 5 4 5
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x1 x2 xk x1 x2 …x k 令 yi = .则 xi y1 + y2 + …+ y k = x1 x2 …x k .
①
因为 x n ≡ 2 ( mod 3) ,所以 , 对式 ① 两边取 以 3 为模得 k- 1 k ≡ k・ 2 2 ( mod 3) ,即 k ≡ 2 ( mod 3) . 1 1 ≤1 1 当 k =2 时 , + + <1; x1 x2 2 5 当 k =5 时 , 1 1 1 1 1 1 1 1 + + …+ ≤ + + + + < 1. x1 x2 x5 2 5 8 11 14 故k≥ 8. 因此 , k 的最小值是 8.
中增加了梯形 PBAD , 在图 ( 2 ,4) 中增加了梯 形 PADC ,在图 ( 3 ,4) 中增加了梯形 PBAC . ii ) 若增加红点 Q ,则在图 ( 1 ,2) 中增加了 梯形 QDBC ,在图 ( 1 ,3) 中增加了梯形 QACD , 在图 ( 1 ,4 ) 中增加了梯形 QBCD , 在图 ( 2 ,3 ) 中增加了梯形 QABC , 在图 ( 2 ,4) 中增加了梯 形 QCAB ,在图 ( 3 ,4) 中增加了梯形 QABD . 而据 ( 1) ,新增红点必在新增梯形的一对 全等三角形中两次出现 , 也就是增加了一对 新的全等三角形 . 因此 ,给出的五个红点中 ,存在六个以红 点为顶点的三角形 ,它们可配成全等的三对 . 故本题得证 . ( 陶平生 江西科技师范学院数学与计 算机科学系 ,330013)