第13讲-二次函数综合(一)-参考答案
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【例1】如图1,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A -、(3,0)B 两点,且与y 轴交于点C .
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图2,用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴,并沿x 轴左右平移,直尺的左右两边所在的直
线与抛物线相交于P 、Q 两点(点P 在点Q 的左侧),连接PQ ,在线段PQ 上方抛物线上有一
动点D ,连接DP 、DQ .
①若点P 的横坐标为1
2
-,求DPQ ∆面积的最大值,并求此时点D 的坐标;
②直尺在平移过程中,DPQ ∆面积是否有最大值?若有,求出面积的最大值;若没有,请说明
理由.
图1
图2
备用图
【分析】(1)抛物线解析式为223y x x =-++;
(2)由题意可得点P 坐标为17,24⎛⎫- ⎪⎝⎭,点Q 坐标为79,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
,
则直线PQ 的解析式为5
4
y x =-+
, 设点D 坐标为()2,23m m m -++,过点D 作DH ⊥x 轴交直线PQ 于点H ,
则H 点坐标为5,4m m ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭,可得:2734DH m m =-++,
∴221774323244DPQ
S
m m m m ⎛⎫⎛
⎫=
⋅⋅-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭, 当3
2
m =
时,可得△DPQ 面积取到最大值8, 此时点D 坐标为31524⎛⎫
⎪⎝⎭
,.
(3)设点P 坐标为()2,23p p p -++,则点Q 坐标为()()()
2
4,4243p p p +-++++,
化简得点Q ()
24,65p p p +---,则PQ 中点M 坐标为()
22,21p p p +---, 当点D 横坐标为p +2时,连接DM ,DM ⊥x 轴,且此时△DPQ 面积最大, 点D 坐标为()()()
2
2,2223p p p +-++++,化简得点D ()22,23p p p +--+,
∴此时()()2223214DH p p p p =--+----=,
∴△DPQ 的最大面积为1
44=82
⨯⨯,
∴在直尺平移的过程中,△DPQ 面积的最大值为8.
【例2】如图,抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点(2,0)A -,(4,0)B ,与y 轴交于点C ,顶点D . (1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标;
(2)动点PQ 以相同的速度从点O 同时出发,分别在线段OB ,OC 上向点B ,C 方向运动,过点P
作x 轴的垂线,交抛物线于点E
①当四边形OQEP 为矩形时,求点E 的坐标;
②过点E 作EM BC ⊥于点M ,连接BE ,PM ,QM ,设BPM ∆的面积为1S ,CQM ∆的面积为2S ,当PE 将BCE ∆的面积分成1:3两部分时,请直接写出1
2
S S 的值. ③连接CP ,DQ ,请直接写出CP DQ +的最小值.
图1
图2
图3
【分析】(1)抛物线解析式:2142y x x =
--,顶点D 的坐标为91,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭;
(2)①若四边形OQEP 为矩形,则OQ =PE ,设点P 坐标为(),0m ,则OQ =OP =m ,
此时点E 坐标为21,42m m m ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
,∴2142PE m m =-++,
若OQ =PE ,则21
42
m m m =-++
,解得:1m =
,2m =-,
故点E
坐标为(-;
②112M S PB y =
⋅,11
2
M S CQ x =⋅, ∵PB =CQ ,∴12M M
y S
S x =,故求出点M 坐标即可.
记PE 与BC 交于点N , 情况一:如图,若:1:3BNE
CNE
S
S
=,
即BN :CN =1:3,可得点P 坐标为()3,0,点E 坐标为53,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭,点N 坐标为()3,1-,
53
122
EN ⎛⎫=---= ⎪⎝⎭,故点M 到直线PE 的距离为11332224EN =⨯=,
即点M 的横坐标为94,代入直线BC 的解析式得点M 坐标为97,44⎛⎫
- ⎪⎝⎭
, ∴
127
9
S S =; 情况二:若:3:1BNE
CNE
S S
=,
则BN :CN =3:1,可得点P 坐标为()1,0,故点E 坐标为91,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭,点N 坐标为()1,3-,
点M 到PE 的距离等于1133
2224
NE =⨯=,
∴点M 的横坐标为14,代入BC 的直线解析式可得点M 的坐标为115,44⎛⎫- ⎪⎝⎭
, ∴
1215
151
S S ==, 综上,
12S S 的值为7
9
或15. ③法一:作点D 关于y 轴的对称点'D ,则'DQ D Q =,又CP =QB ,
∴'CP DQ D Q QB +=+,∴当'D 、Q 、B 共线时,
可得最小值为'D B =
法二:设点P 坐标为(),0m ,则点Q 坐标为()0,m -,
则CP =
DQ
CP DQ +=
,如下图构造,最小值即RQ .
T S
1