第13讲-二次函数综合(一)-参考答案

【例1】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A -、(3,0)B 两点，且与y 轴交于点C ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图2，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直

线与抛物线相交于P 、Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一

动点D ，连接DP 、DQ ．

①若点P 的横坐标为1

2

-，求DPQ ∆面积的最大值，并求此时点D 的坐标；

②直尺在平移过程中，DPQ ∆面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明

理由．

图1

图2

备用图

【分析】（1）抛物线解析式为223y x x =-++；

（2）由题意可得点P 坐标为17,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，点Q 坐标为79,24⎛⎫- ⎪⎝⎭

，

则直线PQ 的解析式为5

4

y x =-+

， 设点D 坐标为()2,23m m m -++，过点D 作DH ⊥x 轴交直线PQ 于点H ，

则H 点坐标为5,4m m ⎛

⎫-+ ⎪⎝

⎭，可得：2734DH m m =-++，

∴221774323244DPQ

S

m m m m ⎛⎫⎛

⎫=

⋅⋅-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭， 当3

2

m =

时，可得△DPQ 面积取到最大值8， 此时点D 坐标为31524⎛⎫

⎪⎝⎭

，．

（3）设点P 坐标为()2,23p p p -++，则点Q 坐标为()()()

2

4,4243p p p +-++++，

化简得点Q ()

24,65p p p +---，则PQ 中点M 坐标为()

22,21p p p +---， 当点D 横坐标为p +2时，连接DM ，DM ⊥x 轴，且此时△DPQ 面积最大， 点D 坐标为()()()

2

2,2223p p p +-++++，化简得点D ()22,23p p p +--+，

∴此时()()2223214DH p p p p =--+----=，

∴△DPQ 的最大面积为1

44=82

⨯⨯，

∴在直尺平移的过程中，△DPQ 面积的最大值为8．

【例2】如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点(2,0)A -，(4,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点D ． （1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；

（2）动点PQ 以相同的速度从点O 同时出发，分别在线段OB ，OC 上向点B ，C 方向运动，过点P

作x 轴的垂线，交抛物线于点E

①当四边形OQEP 为矩形时，求点E 的坐标；

②过点E 作EM BC ⊥于点M ，连接BE ，PM ，QM ，设BPM ∆的面积为1S ，CQM ∆的面积为2S ，当PE 将BCE ∆的面积分成1:3两部分时，请直接写出1

2

S S 的值． ③连接CP ，DQ ，请直接写出CP DQ +的最小值．

图1

图2

图3

【分析】（1）抛物线解析式：2142y x x =

--，顶点D 的坐标为91,2⎛

⎫- ⎪⎝

⎭；

（2）①若四边形OQEP 为矩形，则OQ =PE ，设点P 坐标为(),0m ，则OQ =OP =m ，

此时点E 坐标为21,42m m m ⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

，∴2142PE m m =-++，

若OQ =PE ，则21

42

m m m =-++

，解得：1m =

，2m =-，

故点E

坐标为(-；

②112M S PB y =

⋅，11

2

M S CQ x =⋅， ∵PB =CQ ，∴12M M

y S

S x =，故求出点M 坐标即可．

记PE 与BC 交于点N ， 情况一：如图，若:1:3BNE

CNE

S

S

=，

即BN :CN =1:3，可得点P 坐标为()3,0，点E 坐标为53,2⎛

⎫- ⎪⎝

⎭，点N 坐标为()3,1-，

53

122

EN ⎛⎫=---= ⎪⎝⎭，故点M 到直线PE 的距离为11332224EN =⨯=，

即点M 的横坐标为94，代入直线BC 的解析式得点M 坐标为97,44⎛⎫

- ⎪⎝⎭

， ∴

127

9

S S =； 情况二：若:3:1BNE

CNE

S S

=，

则BN :CN =3:1，可得点P 坐标为()1,0，故点E 坐标为91,2⎛

⎫- ⎪⎝

⎭，点N 坐标为()1,3-，

点M 到PE 的距离等于1133

2224

NE =⨯=，

∴点M 的横坐标为14，代入BC 的直线解析式可得点M 的坐标为115,44⎛⎫- ⎪⎝⎭

, ∴

1215

151

S S ==， 综上，

12S S 的值为7

9

或15． ③法一：作点D 关于y 轴的对称点'D ，则'DQ D Q =，又CP =QB ，

∴'CP DQ D Q QB +=+，∴当'D 、Q 、B 共线时，

可得最小值为'D B =

法二：设点P 坐标为(),0m ，则点Q 坐标为()0,m -，

则CP =

DQ

CP DQ +=

，如下图构造，最小值即RQ ．

T S

1