复合材料力学 第三章 简单层板的微观力学

证明：表观弹性模量的上限
1 d 4 d 2 2 1 m 4 m 2 2 E Ed Vd Em Vm 2 2 1 d 2 d 1 m 2 m
泊松比是未知的，因此E的上限也是未知的，按最小势能 原理，应变能表达式U*必须对不确定的常数求极小值，以 确定E的界限，即：
m/2 f
刚度的材料力学分析方法
进一步工作

采用各种不同的模型，可以给出不同的弹性常数 欧克凡尔考虑了由于纤维约束引起在基体中的三向 应力状态而得到了如下的混合率表达式
E1 Ef Vf E'm Vm Ef E'm E2 2 Vm Ef (1 m ) Vf E'm E'm Em 2 1 2 m
2 2 2 E 2 2 E 2 Vf Vm Em Ef Ef Em E2 Vm Ef Vf Em E2 1 Em Vm Vf (Em / Ef )
W
基体模量正化
2 与试验值相比，较小，由于纤维随 机排列，兼有串联和并联的成分
刚度的材料力学分析方法
引言
用实验方法系统测定各种复合材料的宏观弹性 特性和微观力学性能的关系

涉及参数太多，费用巨大 复合材料性能不稳定和试验误差，使试验结果较为分 散
单用试验手段很难获得全面的、系统的和由良 好规律的结果，需要由理论配合 微观力学研究


改进复合材料宏观特性 减少试验工作量 反向推算复合材料中纤维和基体的平均特性
最小势能原理 （应变） 物体表面作用力为零外的表面有给定的位移，令 * * * * * * x , y , z , xy , yz , zx 是任一满足指定位移边界条件的相容应 变场，即容许应变场，U*是由应力应变关系式：
x xy G xy E xy 2(1 ) E E ( x y z ) x (1 )(1 2 ) (1 )
刚度的材料力学分析方法 2
m Gm f Gf

W 基体 纤维 基体
1
W m Vm W m f Vf W f Vm m Vf f G 12
Vm Vf G 12 Gm Gf G 12 G 12 Gm G mG f Vm G f Vf G m 1 Vm Vf G4 d 4 4 m 4 E V E V d d m m 2 2 2 1 d 2d 1 m 2m
1 2 E V 1 1 2 E V 1
m<1/4时，修正不明显
刚度的弹性力学分析方法
夏米斯和森德克把求刚度的微观力学方法 分成许多类：

网络分析法，材料力学法
纤维提供所有纵向刚度，基体提供横向剪切刚度
及泊松比 比较保守，但仍有人用，缠绕复合材料

独立模型法，用能量极值原理的变分法 精确解，统计法，离散单元法 半经验法和微观结构理论
刚度的弹性力学分析方法
弹性力学的极值法




Paul首次提出用弹性力学的极值法来讨论度多相材 料弹性模量的上、下限 分析合金（均匀分布和没有优先方向） 复合材料是各向同性的 基体的性能用m表示，弥散相的性能用d表示
Vm Vd 1
Vm 1 :
E Em
Vd 1 :
E Ed
满足上述条件最简单的关系是： E Ed Vd EmVm 假设复合材料组分对复合材料刚度起的作用正比于它们 的刚度和体积含量 m d 时，混合率得出复合材料模量的上限
12的确定：
12 2 1
2
W/2
W W 2 W 12 1 W mW fW mW W Vm m 1 fW W Vf f 1 12 Vm m Vf f
1
1
W
基体 纤维 基体 L
L
混合率表达式
第三章
简单层板的微观力学性能
引 言
考虑多组份材料的构成，组分之间的相互作用


用什么样的增强相、基体及复合工艺，获得的复合 材料的性能如何？ 材料性能如何随材料组份含量变化而变化？
微观力学:研究材料性能时,详细地研究组分材 料的相互作用,并作为确定不均匀复合材料性 能的一部分 宏观力学:假定材料是均匀的,组分材料的影响 仅作为复合材料的平均“表观”性能来考虑
2 1 d 4 d 2 2 1 m 4 m 2 2 U Ed Vd Em Vm V 2 2 2 1 d 2 d 1 m 2 m
由于
U U*
1 2 2 1 d 4 d 2 2 1 m 4 m 2 2 E V Ed Vd Em Vm V 2 2 2 2 1 d 2 d 1 m 2 m 1 d 4 d 2 2 1 m 4 m 2 2 E Ed Vd Em Vm 2 2 1 d 2 d 1 m 2 m
引 言
目的：用组分材料的弹性模量来确定复合材料的 弹性模量，用组份材料的强度研究复合材料的强 度 体积份数

纤维：Vf=纤维体积/复合材料总体积 基体：Vm =基体体积/复合材料总体积
Vf Vm 1
Cij Cij (Ef , f , Vf , Em , m , Vm )
Xi Xi ( Xif , Vf , Xim , Vm )



吸附和浸润 相互扩散 静电吸引 化学键结合 机械粘着
界面对宏观弹性常数的影响远不如对强度的影 响，对E1和12的影响，也不如对E2和G12的影响 大
微观力学方法的基础——体积单元
体积单元：材料的最小范围或小块，分布于其 上的应力和应变是宏观上均匀的，能够完全表 征材料的所有特征 尺度是很重要的
简单层板假设

基体假设 均匀性 线弹性 各向同性 界面假设 理想粘结，穿过界面 无应变间断 粘结不理想，其性能 低于由微观分析得到 的结果
宏观均匀 线弹性 宏观地正交各向异性 无初应力 均匀性 线弹性 各向同性 规则地排列 完全成一直线
纤维假设



粘结理论
界面的粘结由纤维和基体之间粘着力引起的
m 2 m d d d m 2 m d d
* xd
* yd
1 d 2 d Ed 2 1 d 2 d
* zd
* * ym zm

* * * xym yzm zxm 0
d Ed 2 1 d 2 d
* * * xyd yzd zxd 0
弥散材料的应力为：
证明：表观弹性模量的上限
代入应变能方程得到应变能表达式：
2 U 2
* *
1 d 4 d 2 2 2 Ed dV 2 Vd 1 d 2 d 2
1 m 4 m 2 2 Em dV 2 Vm 1 m 2 m

U Uo
证明：表观弹性模量的上限
使单轴向试件承受一个伸长L， 是平均应变，L是试件 长度，相应于试件边界上的平均应变的内应力场为：
* * * * * * x y z xy yz zx 0
给定应变场下，基体的应力为：
* xm 1 m 2 m Em 2 1 m 2 m m Em 2 1 m 2 m
2 Vm Vd o U V 2 Em Ed
1 2 2 Vm Vd V V 2 E 2 Em Ed 1 Vm Vd E Em Ed E Em Ed Vm Ed Vd Em
U Uo
证明：表观弹性模量的上限

U Uo
证明：表观弹性模量的下限
对于单向载荷试件，满足该载荷和应力平衡方程的内应 力场为：
o o o o o o x y z xy yz zx 0
2 1 Uo dV V 2 E 2
应变能可写为：

0 2 x
dV V E
dV dV dV V E Vm Em Vd Ed dV Vm V Vd V V E Em Ed
P 1A f Af m Am
L
混合率表达式 与试验的吻合程度80~90%
刚度的材料力学分析方法
Ef E1
Em 0 VfX100 100
刚度的材料力学分析方法
E2的确定：
f 2 Ef m 2 Em
串联模型
2 2 基体 纤维 基体
1
2 W Vf W f Vm W m 2 Vf 2 Vm 2 Ef Em
刚度的材料力学分析方法
E1的确定：
L 1 L f Ef 1 1 E1 1 Af Am E1 E f Em A A Af Am Vf Vm A A E1 Ef Vf EmVm
并联模型 2
m Em 1
1
1 基体 纤维 基体 L 1
引言
简单层板的性能

实验确定 由组分材料的性能用数学方法求得
微观力学方法来预测

材料力学方法
对力学系统的假设性能进行大量简化

弹性力学方法
极值原理 精确解 近似解

从设计的观点来看微观力学是宏观力学的助手 局限性 纤维和基体之间理想的粘接假设 需要详细的实验验证
引言
证明：表观弹性模量的下限
最小余能原理： （应力） o o o o o o , , , , , x y z xy yz zx 满 物体表面作用着力（力矩），令 足应力平衡方程和指定的边界条件的应力场，即容许应力 场，令Uo是由应力应变关系式：