《拓扑学导论》第2 章拓扑空间及其基本概念

《拓扑学导论》第2章 拓扑空间及其基本概念

（作业题）

1、分别定义1ρ,2ρ:n R ×n R →R 为),(1y x ρ|}{|max 1i i n

i y x −=≤≤和),(2y x ρ = 1

||n i i i x y =−∑. 证明: 1ρ,2ρ都是集合n R 上的度量.

2、设),(ρX 为度量空间,分别定义1ρ,2ρ:→×X X R 为),(1y x ρ),(1),(y x y x ρρ+=, 并且. 试证明: X y x ∈,⎩⎨⎧>≤=1

),(11),()

,(),(2y x y x y x y x ρρρρ当当1ρ,2ρ都是X 上的度量. 3、设:f n R →R 是一映射,我们称在是连续的,如果f n R ∈∀0x n R , 0>∀ε, 0>∃δ,使得),(δx B x ∈∀时, 恒有

ε<−|)()(|0x f x f

试证明: 当是连续映射时, f ∈x {n R }0)(|>x f 开于n R .

4、设X 是一个度量空间，A X ⊂，试证: (1) 是IntA A 所包含的所有开集的并集; (2) A 是所有含A 的闭集的交.

5、若A 是度量空间X 的稠密子集,O 为X 中开集, 证明:O A O I ⊂

6、证明: 度量空间中任何子集的导集都是闭集.

7、 证明:集合上的任意两个拓扑的交也是上的一个拓扑. 集合上两个拓扑的并一定是上一个拓扑吗? 为什么?

X X X X 8、设(,是拓扑空间,G , 则)X T ∈T x G ∀∈, 有()G x ∈U . 反之, 若U 为其中任意点的邻域,则U 必为中开集.

X 9、设是拓扑空间, F 为中的闭集的全体,则F 满足条件: (F1) (,)X T X φ, ；(F2) 若, , 则X ∈F 1F 2F ∈F 12F F ∈U F ；(F3) 若{}, 则.

F λλ∈Λ⊂F F λλ∈Λ∈U F 10、设(,是一个拓扑空间,)X T A X ⊂, 则

(i) A ∈T 当且仅当0A A =；(ii) A 等于包含A 的一切闭集的交.

11、设(,是有限余拓扑空间,)X T A X ⊂,求证:,A A A X A ⎧=⎨⎩

当为有限集，当为无限集. 12、 设是拓扑空间, 对于(,)X T A X ∀⊂,对应着一个o A , 称为内核算子. 求证内核算子满足条件:

o i A A =（）(I1) ； (I2) o X X =o A A ⊂； (I3) o o o A A =（）； (I4)

o o o A B A B =I I （）, (∀A ,).

B X ⊂13、设为实数集, 赋予右序拓扑,R [01]A =，,求o A ,'A 和A .

14、设是拓扑空间, (,)X T A 为的子空间,若{X }x δ为A 中的网, 则{}x δ在A 收敛于x A ∈当且仅当{}x δ在收敛于X x A ∈.

15、设是拓扑空间, 则为中开集当且仅当(,)X T G X x G ∀∈及∀网{}x δ收敛于x , 有{}x G δφ≠I .

16、 设是拓扑空间, {}(,)X T A λλ∈ΛX ⊂. 集族{}A λλ∈Λ称为在中是局部有限(离散)的, 如果X x X ∀∈,使得{|()U x ∃∈U }U A λλφ∈Λ≠I 是一个有限集(至多单点集).试证明:

(1) 离散集族是局部有限集族;

(2) 若{}局部有限,则, A λλ∈Λ'∀Λ⊂Λ'{}A λλ∈Λ也局部有限;

(3) 若{}局部有限并且A λλ∈Λλ∀∈Λ,B A λλ⊂, 则{}B λλ∈Λ也局部有限;

(4) 若{}局部有限, 则A λλ∈ΛA A λλλ∈Λ∈Λ=U U λ.

17、设为欧氏空间,下列子集族是否构成的一个拓扑基?

2R 2R (1) 中所有开等边三角形; (2) 所有其边平行于坐标轴的开长方形.

2R 18、 设:f X Y →,A X ⊂, 证明:f 在A 上的限制A f :A Y →是A 上的连续映射.

19、 求解下列两个问题

(1) 设为拓扑空间, Y 为平凡拓扑空间, 则从到Y 的任何映射都是连续映射;

X X (2) 设为离散空间, Y 为任意拓扑空间, 则从到Y 的任何映射都是连续映射.

X X 20、设X 是一个拓扑空间，A Y X ⊂⊂，试证明：

（1）如果Y 是X 的开子集，则A 开于Y 当且仅当A 开于X ；

（2）如果Y 是X 的闭子集，则A 闭于Y 当且仅当A 闭于X .

21、设X 是一个拓扑空间，A Y X ⊂⊂，证明：=int .

int ()X A ()int ()Y X A Y I 22、（邻域基与邻域子基）设X 是一个拓扑空间，x X ∈，()x U 为点的邻域系，x ()x B ⊂()x U ，()x ϕ⊂()x U . (i) ()x B 称为点的邻域基, 如果x U ∀∈()x U ,B ∃∈()x B 使得B ⊂U ; (ii)()x ϕ称为是点的邻域子基,如果x U ∀∈()x U ,12,,,()n S S S x ϕ∃∈L 使得.

1n

i i S U =⊂I 设X 与都是拓扑空间, ,Y :f X Y →x X ∈,试证明下列各条等价

(1) 在点处连续;

f x (2) 点有一个邻域基()f x ()f x V 使得V ∀∈()f x V ,有1()f V −∈()x U ;

(3) 点有一个邻域子基()f x ()f x W 使得W ∀∈()f x W ,有1()f

W −∈()x U . 23、 举例说明从拓扑空间到另一个拓扑空间Y 的1-1连续映射未必是同胚映射.

X 24、证明:邻域、内点、闭包都是拓扑不变性质. 25、一个拓扑空间称为是可分的，如果存在一个至多可数集合X A X ⊂使得A X =. 试证明: 可分空间的连续象也是一个可分空间.