2784空间曲面和曲线85二次曲面

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解 M(x,y,z) x = acost y = asint z = vt
当 t 从 02/ ，
螺线从点PQ
z Q
PQ 2v/
称为螺距.
M
0
t
a
y
P
N
.
x
3. 空间曲线C在平面π上的投影
以空间曲线C为准线,母线垂直于π的柱 面与π的交线称为C在上的投影.
若取为坐标面,可求C在坐标面上的投影.
(1)用z = h 截曲面得截线为椭圆:
x2 a2
y2 b2
1
h2 c2
z h
(2)用y = h 截曲面得截线为
x2 a2
z2 c2
=1
-
h2 b2
z
y=h
|h |< b :双曲线-实轴∥x轴
|h |=b : 两相交直线
y
|h |>b : 双曲线-实轴∥z轴 x
(3)用x= h 截曲面 得类似的截线.
例4 求 曲 面 z2 x 2 y 2及 z x 2 y 2
的交线 L 在 xo y平 面 的 投 影 .
解
由
zz
2 x2 x2 y2
y2
得交线L：
x2 y2 1 z 1
z
zz
2 x2 x2 y2
y2
1
o
x
y
交线 L：
x2 y2 1
z 1
投影柱面 x2 y2 1
z L 所求投影曲线为
例2
方程组
C:
zx2
a2 x2 y2 ax
y2
表示怎样的曲线.
2.空间曲线的参数式方程
x= x( t ) y= y( t ) z= z( t )
t T
例3 螺旋线:圆柱面 x2 y2 a2
点P在圆柱面上以角速度绕z轴旋转；
同时,又在平行于z轴的方向以匀速v沿
母线上升. 其轨迹就是螺旋线,求螺旋线
的方程.
表示的曲面称为二次曲面.
前面讲过的球面,柱面,旋转曲面等,都 是特殊的二次曲面.本节讨论其它几种常 见的二次曲面.
本节主要内容
1.标准方程表示的二次曲面; 2.二次曲面的一般方程标准化.
要想了解曲面的形状一般采用平面截割 法.即用一系列平行于坐标面的平面去截 割曲面,根据截线的形状和变化规律,来推 断想象曲面的形状.
确定的曲面称为椭圆抛物面.
用平面截割法可以得到该曲面形状.
椭圆抛物面
8.5.5 双曲抛物面(马鞍面)
由方程 x2 y2 z (p,q同号) 2p 2q
确定的曲面称为双曲抛物面.
特点: 异号的平方项,另一个变量是一次 项, 无常数项.
用平面截割法可以得到该曲面形状.
• 用 z = h 截曲面
x 2 y 2 h 2 p 2q z h
旋转曲面名称—与母线名称对应.
y
(1)旋转椭球面:
椭圆
x2 a2
z
y2 b2
0
1
绕y轴
1 x2 z2
y2
a2
b2
绕x轴
Z
1 x2
y2 z2
a2
b2
ax
7
(2) 旋转双叶双曲面:
x
双曲线
x a
2 2
y2 b2
1
z 0
a
绕 x 轴旋转一周.
0
y
得旋转双叶双曲面
x2 y2 z2 1
x 2 y 2 1 h 2
a2 b2
c2
z
z h ( h c)
c
o a
x
by
8.5.2 单叶双曲面:
由方程 x2 y2 z2 1(a >0,b >0,c>0) a2 b2 c2
确定的曲面称为单叶双曲面. 特点: 平方项的系数一个取负号,
两个取正号. 用平面截割法可以得到该曲面形状.
a2
b2
x
a
z
0
y
(3)旋转单叶双曲面: y
双曲线
x a
2 2
y2 b2
1
z 0
绕 y 轴旋转一周.
0a
x
得旋转单叶双曲面
x2 z2 y2
1
a2
b2
z
y
o
a
x

(4)旋转抛物面: z
抛物线 xy202pz(p0)
绕 z 轴旋转一周.
o
x
y
12
z
.
o
y
x
得旋转抛物面
x2 y2 2pz
27
8.5.1 椭球面:
由方程
x2 y2 a2 b2
z2 c2
1
(a >0,b >0,c>0)
确定的曲面称为椭球面.
当a=b=c时, 是半径为a的球面.
当a,b,c中有两个相等时, 是一个旋转椭球面.
特点: 关于坐标面对称;
|x |≤a , |y |≤b , |z |≤c ;
分别用z = h, y= h, x = h去截曲面得截线为 椭圆:
-
z2 b2
=1
x2 a2
-
y2 b2
-
z2 b2
=1
x2 + y2 = 2pz
x2 + y2 = k2 z2
x2 a2
+
y2 b2
=1
y2 = 2px
x2 a2
-
y2 b2
=1
8.4.4 空间曲线
1.空间曲线的一般式方程(交面式)
C:
F(x,y,z)0 G(x,y,z)0
不唯一
例1 方程组C: xx2zy211表示怎样的曲线.
8.5.3 双叶双曲面:
由方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
(a
>0,b
>0,c>0)
确定的曲面称为双叶双曲面. 特点: 平方项的系数一个取正号,
两个取负号. 用平面截割法可以得到该曲面形状.
双叶双曲面
z
c y
x
8.5.4 椭圆抛物面:
由方程 x2 y2 z (p,q同号) 2p 2q
z 生活中见过这个曲面吗？
.
o
y
.
x
卫星接收装置
.
(5)圆锥面:
x
直线 y k x z=0
绕 x 轴旋转一周.
o
y
得旋转锥面
y2 z2 k2x2
x
z
o
y
球面、旋转曲面、柱面
A( x2+y2+z2) +B x +Cy +Dz +F =0
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 b2
=1
x2 a2
+
y2 a2
1
x2 y2 1
z0
.
.
x2 y2 1
.
o
1
1
. .
x
y
z =0
2
8.5 二次曲面 二次曲面: 由三元二次方程
a 1 1 x 2 a 2 2 y 2 a 3 3 z 2 2 a 1 2 x y 2 a 1 3 x z 2 a 2 3 y z a 1 4 x a 2 4 y a 3 4 z a 4 4 0
2784空间曲面和曲线85二次曲面
旋转曲面的特点:
母线
C:
f x
( y,z 0
)
0
S： f( x2y2,z)0
S: C中轴坐标(z)不变,用另2个变量的平方和 的正负算术平方根代替方程中的另1个变量.
反过来,方程中若有两个变量以平方和形式 出现,这个方程的图形一般是旋转曲面.
几种常用的旋转曲面:
(1) 求
F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0
在xOy面上的投影.
C:
F(x,y,z)=0 (消去z) G(x,y,z)=0
f (x,y)=0 (柱面)
f (x,y)=0 z= 0
(2)
x= x( t ) y= y( t )
在xOy面上的投影为
z= z( t )
x= x( t ) y= y( t ) z= 0