§3 解三角形的实际应用举例

解斜三角形理论应用于实际问题应注意：
1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素.
2、要明确题目中一些名词、术语的意义.如视角，仰角， 俯角，方位角等等. 3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未 知集中到一个三角形中解决.
正弦定理
a b c 2R sinA sinB sinC
(1) 已知两角和一边, 求其他元素;
（2）当 l 340mm ， r 85mm ， 80 时，利用计算器得：
A0 A 340 85 85cos80 3402 852 sin2 80 81(mm)
答：此时活塞移动的距离约为81mm .
例 4：a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点 A 处有一 个水声监测点，另两个监测点 B,C 分别在 A 的正东方 20km 和 54km 处，某时刻，监测点 B 收到发自静止目标 P 的一个声波，8s 后监 测点 A，20s 后监测点 C 相继收到这一信号，在当时气象条件下， 声波在水中的传播速度是 1.5km/s.
§3 解三角形的实际应用举例
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一 些有关的实际问题. 2.了解常用的相关测量术语.
正弦定理
abc sinA sinB sinC
余弦定理 a 2b 2 c2 2 b cco sA
b2 a2 c2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC
s i n A :s i n B :s i n C a :b :c
A0 A A0C AC AB BC AC
= (l r r cos l2 r2 sin2 )(mm)
若180 360 则根据对称性，将上式中的 改为360 即可， 有 A0 A (l r r cos l2 r2 sin2 )(mm) 总之，当 0 360 时， A0 A (l r r cos l2 r2 sin2 )(mm)
（1）设 A 到 P 的距离为 xkm，用 x 表示 B,C 到 P 的距离，并 求 x 的值
B
测量高度问题
C1
D1
A1
A
C
D
C 1 D1
1.52m
C
D
B 求 A1B
A1
A
h
分析：如图所示，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m, 所以只要求出A1B即可.
解：在 BC1D1 中，
BD1C1 180 60 120 ， C1BD1 60 45 15 ， 由正弦定理得： C1D1 BC1 ，
A
B
C
(2) 已知两边和一边对角,
求其他元素.
A
B
C
余弦定理 c2a2b22 a bco sC
(1) 已知三边 , 求三个角;
A
B
C
(2) 已知两边和它们的夹角, 求其他元素.
A
B
C
例1 自动卸货汽车采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杠 BC的长度（如图所示）.已知车厢的最大仰角为60（指车 厢AC与水平线夹角），油泵顶点B与车厢支点A之间的距离 为1.95m,AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m,计 算BC的长度（结果精确到0.01ｍ）.
的距离（即连杆的端点 A 移动的距离 A0 A ）；
（2）当 l 340mm ， r 85mm， 800 时，求 A0 A 的长（结果精确到1mm）.
B
分析：如图所示，不难得到，活塞移动的距离为
A0 A A0C AC
A0
A
800
B0
C
易知 A0C AB BC l r
所以，只要求出 AC 的长即可，在 ABC 中，已知两边和其中一边的对角，可 以通过正弦定理或余弦定理求出 AC 的长.
C
60
D A
620
B
问 题 转 化 为 ： 已 知 ABC 的 两 边 AB=1.95m,AC=1.40m, 夹 角 BAC 6620 ，求 BC 的长.
D
解：由余弦定理，得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA
1 . 9 5 2 1 . 4 0 2 2 1 . 9 5 1 . 4 0 c o s 6 6 2 0
例 3 如图是曲柄连杆机构的示意图 当曲柄 CB 绕点 C 旋转时，通过连杆 AB 的传递，活塞作直线往复运动。当曲
柄在 CB0 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点 A 在 A0 处。设连杆 AB 长为 lmm ，曲柄 CB 长为 rmm ， l r
（1）当曲柄自 CB0 按顺时针方向旋转角为 时，其中 00 3600 ，求活塞移动
≈3.571，
C
∴BC≈1.89(m)．
1.40m
答：顶杆BC约长1.89m．
60
A
620
1.95m B
例2 如图，两点Ｃ，Ｄ与烟囱底部在同一水平直线上，在
点Ｃ1 ，Ｄ1，利用高为1.5ｍ的测角仪器，测得烟囱的仰 角分别是 ＝45°和 ＝60°, Ｃ、Ｄ间的距离是12m.
计算烟囱的高AB(结果精确到0.01m).
解：（1）设 AC x ，若 0 ，则 A0 A 0 ，若 1800 ，则 A0 A 2rmm 若 0 180 ，在 ABC 中，由余弦定理，得：
AB2 AC2 BC2 2AC BC cosC 即 x2 2(r cos )x (l2 r2 ) 0
解得： x1 r cos (r cos )2 l2 r2 (r cos l2 r2 sin2 )(mm) x2 r cos (r cos )2 l2 r2 0 （不合题意，舍去）
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B c2 a2 b2 2ca
cos C a2 b2 c2 2ab
解 三 角 形 （ 六 个 元 素 ） —知三求三
公 式 运 用 — — 知 三 求 一
C
b
a
B Ac
正弦定理、余弦定理是两个重要的定理.在解决与三 角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用.下面举例说 明.
sin C1BD1 sin BD1C1
BC1
Leabharlann Baidu
C1D1 sin BD1C1 sin C1BD1
12 sin 120 sin15
(18
2 6
6)m
从而：
A1B
2 2
BC1
18
6
3 28.392m
因此： AB A1B AA1 28.392 1.5 29.892 29.89m 答：烟囱的高约为 29.89m .