§2.5复合泊松过程

i i 1
N (t )
求：E[X(t)],D[X(t)]与矩百度文库函数 X ( t ) ( u ) ？
例2：假设在时间(0,t]内保险公司接到索赔 的次数N(t)是以平均2次/月的速率的泊松 过程，每次索赔的金额是相互独立且服从 同一分布的随机变量序列，并且索赔的金
额与发生的时刻无关。若每次赔付金额是
Y
k 1
k
,t 0
则称{X(t),t0}为复合泊松过程。
条件：
（1）存在一个泊松过程和一个随机变量序列；
（2）随机变量序列是相互独立，且服从同一分布； （3）随机变量序列与泊松过程是相互独立。
例1：假设N(t)是在时间(0,t]内来到某商
店的顾客数，每个顾客购买商品的概率
为p,且与其它顾客是否购买商品无关。
均值为30000元的正态分布，求：一年中
保险公司的平均赔付金额为多少？
k k 1
Y
N (t )
Y
E [ X ( t )] tE [Y1 ], D [ X ( t )] tE [Y1 ]
2
全数学期望公式： E[X]=E[E(X/Y)]
例2：设 { X ( t ) Y , t 0 } 是复合泊松过程，已 知 5 , Y i 服从指数分布。
N (tk )
i i N ( t k 1 ) 1
Y
, k 1, 2 , , m
由题设条件易证{X(t),t≥0}具有独立增量性。
定理2：
设 X ( t ) Y , t 0 是复合泊松过程，则 t [ ( u ) 1 ] (1)X(t)的矩母函数 X ( t ) ( u ) e 其中，是事件的到达率， (u ) 是随机 变量 Y i 的矩母函数； 2 E (Y1 ) ，则 (2)若
第五节
复合泊松(Poisson)过程
本节学习的主要内容
一、复合泊松过程的定义 二、复合泊松过程的性质 三、复合泊松过程的应用
一、复合泊松过程的定义
定义：设{N(t),t0}是强度的泊松过程， {Y k ,k=1,2,}是一族独立同分布随机变量， 且与{N(t),t0}独立，令
N (t )
X (t )
问：在时间(0,t]内购买商品的顾客数是
否复合泊松过程？
二、复合泊松过程的性质
定理1：
设 X ( t ) Y , t 0 是复合泊松过程，则 {X(t),t0}是独立增量过程。
k k 1 N (t )
证明： 令 0 t 0 t1 t 2 t m，则
X ( t k ) X ( t k 1 )