§2.5复合泊松过程
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第三章泊松(Poisson)过程.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
泊松过程
dPk 1 ( t ) 已得 Pk 1 ( t ) Pk ( t ) dt
t d [ e Pk 1 ( t )] t 两边同乘 e 得， e t Pk ( t ) dt
k d [ e t Pk 1 ( t )] [ ( t s )] 即 e s dt k!
对t s, n m：
4. P{N t n | N s m} e ( t s ) [ (t s )]n m ( n m)!
n s m 5. P{N s m | N t n} ( ) (1 s ) n m t m t
例 : 顾客依泊松过程到达某商店,速率为 4人/小时。已知商店上午9:00开门. (1)求到9:30时仅到一位顾客,而到11:30时 已到5位顾客的概率? (2)求第2位顾客在10点前到达的概率? (3)求第一位顾客在9:30前到达且第二位 顾客在10:00前到达的概率?
第三章：泊松过程
1.生成函数与泊松分布
分布律为：
或母函数
浙大数学随机过程
1
生成函数唯一地决定各阶矩 （可能为 ） （可能为 ）
例如：
定理：如果X 和Y 都是取值非负整数值的随机变量， 那么当X 与Y 独立时，对0 s 1都有： X Y ( s ) X ( s )Y ( s ). 这里 X Y ， X ，Y 分别是X Y ，X ，Y 的生成函数.
泊松过程也可用另一形式定义： 称 N (t ), t 0是参数为的泊松过程,若满足： 1. N (0) 0 2. 独立增量 3. 对任意的t s 0, N (t ) N (s) ~ t s
证 : P{N (t h ) N (t ) 1} he h(1 h o( h )) h o( h )
泊松过程
8
3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
• 独立增量计数过程: 独立增量计数过程: 对于t 对于 1<t2<…<tn，N(t2)-N(t1), N(t3)-N(t2), … …, N(tn)-N(tn-1)独立 独立 • 平稳增量计数过程: 平稳增量计数过程: 在(t,t+s]内(s>0)，事件 发生的次数 内 ，事件A发生的次数 N(t+s)-N(t)仅与时间间隔 有关， 仅与时间间隔s有关 仅与时间间隔 有关， 而与初始时刻t无关 而与初始时刻 无关
j=0
= Pn ( t ) P0 ( h) + Pn−1 ( t ) P1 ( h) + ∑ Pn − j ( t ) Pj ( h)
j=2
n
= Pn ( t ) P0 ( h) + Pn−1 ( t ) P1 ( h) + o( h) = (1 − λ h) Pn ( t ) + λ hPn−1 ( t ) + o( h)
14
3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
P0 ( t + h) − P0 ( t ) o( h ) , 故 = − λ P0 ( t ) + h h P0′( t ) 当h → 0时有 P0′( t ) = − λ P0 ( t )或 = −λ P0 ( t ) 由于 P0 (0) = P{N（0） 0} = 1 = 于是有 P0 ( t ) = e − λt
j =0
16
Pn ( t + h) = P{N ( t + h) = n}
(2)对n≥1，建立递推公式 对 ≥ ，
n
j =0
n
3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
• 独立增量计数过程: 独立增量计数过程: 对于t 对于 1<t2<…<tn，N(t2)-N(t1), N(t3)-N(t2), … …, N(tn)-N(tn-1)独立 独立 • 平稳增量计数过程: 平稳增量计数过程: 在(t,t+s]内(s>0)，事件 发生的次数 内 ，事件A发生的次数 N(t+s)-N(t)仅与时间间隔 有关， 仅与时间间隔s有关 仅与时间间隔 有关， 而与初始时刻t无关 而与初始时刻 无关
j=0
= Pn ( t ) P0 ( h) + Pn−1 ( t ) P1 ( h) + ∑ Pn − j ( t ) Pj ( h)
j=2
n
= Pn ( t ) P0 ( h) + Pn−1 ( t ) P1 ( h) + o( h) = (1 − λ h) Pn ( t ) + λ hPn−1 ( t ) + o( h)
14
3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
P0 ( t + h) − P0 ( t ) o( h ) , 故 = − λ P0 ( t ) + h h P0′( t ) 当h → 0时有 P0′( t ) = − λ P0 ( t )或 = −λ P0 ( t ) 由于 P0 (0) = P{N（0） 0} = 1 = 于是有 P0 ( t ) = e − λt
j =0
16
Pn ( t + h) = P{N ( t + h) = n}
(2)对n≥1，建立递推公式 对 ≥ ，
n
j =0
n
3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
泊松过程poisson课件
则T 旳概率分布为 分布:
fT
(t )
e t
(t )k 1
, (k 1)!
t
0
0 ,
t0
故仪器在时刻 t0 正常工作旳概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间旳条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，拟定这一事件到 达时间W1旳分布 ——均匀分布
6.2 泊松过程旳基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
n!
P{X (t) n} (t)n et , n 0,1, 2,
n!
ΦX ( ) E[e jX (t) ] et(ej 1)
(1) 泊松过程旳数字特征
均值函数
mX (t) E[ X (t)] t
D[S (t)]
tE[
X
2 1
]
t(
2
2
)
泊松脉冲列
[定义] 称泊松过程 { X(t) , t 0 } 旳导数过程为泊松脉冲列，
记为 { Z(t) , t 0 } ，即
Z (t) d X (t) dt
X(t) u(t ti )
i
Z(t) (t ti )
i
t0 t1 t2
ti
t
t0 t1 t2
事件A发生旳次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
t
0 W1 W2 W3
Wn-1 Wn
fT
(t )
e t
(t )k 1
, (k 1)!
t
0
0 ,
t0
故仪器在时刻 t0 正常工作旳概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间旳条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，拟定这一事件到 达时间W1旳分布 ——均匀分布
6.2 泊松过程旳基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
n!
P{X (t) n} (t)n et , n 0,1, 2,
n!
ΦX ( ) E[e jX (t) ] et(ej 1)
(1) 泊松过程旳数字特征
均值函数
mX (t) E[ X (t)] t
D[S (t)]
tE[
X
2 1
]
t(
2
2
)
泊松脉冲列
[定义] 称泊松过程 { X(t) , t 0 } 旳导数过程为泊松脉冲列，
记为 { Z(t) , t 0 } ，即
Z (t) d X (t) dt
X(t) u(t ti )
i
Z(t) (t ti )
i
t0 t1 t2
ti
t
t0 t1 t2
事件A发生旳次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
t
0 W1 W2 W3
Wn-1 Wn
泊松过程
pk (t +h) −pk (t) o(h) , = −λpk (t) +λpk−1(t) + h h pk'(t) = −λpk (t) + λpk−1(t) h ,(k = 0,1,2,L ) 令 →0得 ， pk (0) = P{N(0) = k} = 0
k=1时 k=1时, p1'(t) = −λp1(t) + λe−λt p1(0) = 0 解得： (t)＝ 所以k=1时结论成立。 k=1时结论成立 解得：p1(t)＝λte-λt，所以k=1时结论成立。
(λt)k−1 −λt e 。 假设k-1时结论成立， pk−1(t) = 假设k 时结论成立， (k −1)! pk'(t) = −λpk (t) + λpk−1(t) (λt)k −λt 解 , 得 pk (t) = e 。 pk (0) = 0 k!
结论成立。 结论成立。 由归纳法知，对一切k=0,1,2, k=0,1,2,…，结论成立。 由归纳法知，对一切k=0,1,2, ，结论成立。 (λt)k −λt 得证
j=0
k
k
{N(t) = j}P N(h = k − j} { ) = ∑P
) ) ) p ) = ∑pj(t)pk−j(h = pk(t)p0(h +pk−1(t)p1(h + ∑ j(t)pk−j(h
j=0 j=0
j=0 k
k−2
(t)[1(t)[λh+o(h)]+o(h)， ＝pk(t)[1-λh+o(h)]+pk-1(t)[λh+o(h)]+o(h)，
定义3 如果取非负整数值得计数过程{N(t),t 0}满足下列 {N(t),t≥ 定义3 如果取非负整数值得计数过程{N(t),t≥0}满足下列 条件： 条件： N(0)＝ a) N(0)＝0； 具有独立增量； b) 具有独立增量； P{N(h)=1}＝ h+0(h)； c) P{N(h)=1}＝λh+0(h)； P{N(h)≥2}＝ d) P{N(h)≥2}＝0(h) 则称{N(t),t 0}为参数(或平均率、强度) {N(t),t≥ 齐次) 则称{N(t),t≥0}为参数(或平均率、强度)为λ的(齐次)泊 松过程。 松过程。 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤.令 例1 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤 令X(t)表 表 示电话交换台在(0,t]内收到的呼唤次数 则{X(t),t≥0}满足定义 内收到的呼唤次数,则 满足定义3 示电话交换台在 内收到的呼唤次数 ≥ 满足定义 的条件, 是一个泊松过程. 的条件 故{X(t), t≥0}是一个泊松过程 ≥ 是一个泊松过程 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客,若记 若记X(t)为在时间 例2 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客 若记 为在时间 [0,t]内到达售票窗口的旅客数 则{X(t),t≥0}为一泊松过程 内到达售票窗口的旅客数,则 内到达售票窗口的旅客数 ≥ 为一泊松过程
非齐次泊松过程与复合泊松过程
G (h, t , z ) (t h)( z -1)G (h, t , z ) h
4.7
n
对(4.7)式积分得
ln G(h, t , z ) - ln G(0, t , z ) ( z -8
20
三、非齐次泊松过程
由非齐次泊松过程的定义知
9
三、非齐次泊松过程
非齐次泊松过程的定义： 称计数过程{X(t)，t≥0}为具有强度函数λ(t)非齐次 泊松过程，若它满足下列条件： ⑴X(0)=0 ⑵X(t)是独立增量过程; ⑶X(t)满足下列两式： P{X(t+h) –X(t)=1}=λ(t)h＋o(h), P{X(t+h) –X(t)≥2}=o(h). 在这里，定义与齐次泊松过程相比，出现了微小的变 化。
mX (1: 30) - mX (0 : 30)
1:30 0:30
(5 5t )dt
15 2
知：在0:30时至1:30时无顾客到达商店的概率概率
p{ X (1: 30) - X (0 : 30) 0} e
15 2
(-
15 0 ) 15 2 e 2 0!
8:30至9:30有2000名乘客的数学期望是
e n [(t h) - (t )] [- (t h )- (t )] n e z n! n 0
z[ ( t h )- ( t )] -[ (t h )- (t )]
4.11
22
三、非齐次泊松过程
将（4.6）式与（4.11）式比较得
[(t h) - (t )]n [- (t h )- (t )] pn (h, t ) e n!
p0 (h s, t ) p( X t hs - X t 0) p( X t h - X t 0) p( X t h s - X t h 0)
4.7
n
对(4.7)式积分得
ln G(h, t , z ) - ln G(0, t , z ) ( z -8
20
三、非齐次泊松过程
由非齐次泊松过程的定义知
9
三、非齐次泊松过程
非齐次泊松过程的定义： 称计数过程{X(t)，t≥0}为具有强度函数λ(t)非齐次 泊松过程，若它满足下列条件： ⑴X(0)=0 ⑵X(t)是独立增量过程; ⑶X(t)满足下列两式： P{X(t+h) –X(t)=1}=λ(t)h＋o(h), P{X(t+h) –X(t)≥2}=o(h). 在这里，定义与齐次泊松过程相比，出现了微小的变 化。
mX (1: 30) - mX (0 : 30)
1:30 0:30
(5 5t )dt
15 2
知：在0:30时至1:30时无顾客到达商店的概率概率
p{ X (1: 30) - X (0 : 30) 0} e
15 2
(-
15 0 ) 15 2 e 2 0!
8:30至9:30有2000名乘客的数学期望是
e n [(t h) - (t )] [- (t h )- (t )] n e z n! n 0
z[ ( t h )- ( t )] -[ (t h )- (t )]
4.11
22
三、非齐次泊松过程
将（4.6）式与（4.11）式比较得
[(t h) - (t )]n [- (t h )- (t )] pn (h, t ) e n!
p0 (h s, t ) p( X t hs - X t 0) p( X t h - X t 0) p( X t h s - X t h 0)
第3章 泊松过程
CHAPTER 3 泊松过程
第一节 泊松过程的定义
一、计数过程
N(t)表示到时刻t为止以发生的“事件”的总数，称{N(t)， t≥0}为计数过程。 N(t)满足 1， N(t) ≥0
2， N(t)为整数
3，若s < t , 则 N(s) ≤N(t) 4，当s < t 时，N(t)－ N(s) 为区间(si 1
n
则
X i Ti Ti 1
称Tn为事件A第n 次出现的等待时间(到达时间).
定理1 设{Xn, n≥1}是参数为λ的泊松过程 {N(t), t≥0}的时间间隔序列， 则{Xn, n≥1}相互 独立同服从指数分布， 且E{X}=1/λ. 证 (1) 因 {X1>t}={(0, t)内事件A不出现} P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
P0 t h P0 t o h P0 t h h dP0 t P0 t 令h 0, 得 dt P 0 1, 条件1N 0 0 0
解得
p0 ( t ) e
t
,
t 0.
Fn t P X n t 1 e t , t 0.
注 (1)上述定理的结果应该在预料之中,因为泊
松过程有平稳增量,过程在任何时刻都“重新开 始”,这恰好就是“无记忆性”的体现,正好与指 数 分布的“无记忆性”是对应的.
(2)泊松过程的另一个等价定义：
独立，且服从同一参数 的指数分布，则记数过
两边同乘以eλt 后移项整理得
d [e t Pn ( t )] t e pn 1 ( t ) dt
当n=1, 则
( 2)
d [e t P1 ( t )] e t P0 t e t e t dt P 0 0 1
第一节 泊松过程的定义
一、计数过程
N(t)表示到时刻t为止以发生的“事件”的总数，称{N(t)， t≥0}为计数过程。 N(t)满足 1， N(t) ≥0
2， N(t)为整数
3，若s < t , 则 N(s) ≤N(t) 4，当s < t 时，N(t)－ N(s) 为区间(si 1
n
则
X i Ti Ti 1
称Tn为事件A第n 次出现的等待时间(到达时间).
定理1 设{Xn, n≥1}是参数为λ的泊松过程 {N(t), t≥0}的时间间隔序列， 则{Xn, n≥1}相互 独立同服从指数分布， 且E{X}=1/λ. 证 (1) 因 {X1>t}={(0, t)内事件A不出现} P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
P0 t h P0 t o h P0 t h h dP0 t P0 t 令h 0, 得 dt P 0 1, 条件1N 0 0 0
解得
p0 ( t ) e
t
,
t 0.
Fn t P X n t 1 e t , t 0.
注 (1)上述定理的结果应该在预料之中,因为泊
松过程有平稳增量,过程在任何时刻都“重新开 始”,这恰好就是“无记忆性”的体现,正好与指 数 分布的“无记忆性”是对应的.
(2)泊松过程的另一个等价定义：
独立，且服从同一参数 的指数分布，则记数过
两边同乘以eλt 后移项整理得
d [e t Pn ( t )] t e pn 1 ( t ) dt
当n=1, 则
( 2)
d [e t P1 ( t )] e t P0 t e t e t dt P 0 0 1
复合泊松过程应用问题
课程名称：《随机过程》课程设计（论文）题目: 复合泊松过程应用问题学院：理学院专业：数学与应用数学班级：数学11-1班学生姓名： abc学生学号： abc 指导教师： abc2013 年 12 月 9 日目录任务书 (3)摘要 (4)第一章绪论 (5)第二章复合泊松过程的基本理论 (5)2.1 复合泊松过程的定义及物理意义 (5)2.2 复合泊松过程的实例 (5)2.3 与复合泊松过程有关的的命题 (6)2.4 复合泊松过程恒等式 (8)2.5复合泊松过程的可加性及证明 (8)第三章问题描述及分析计算 (10)3.1 以复合泊松过程为模型的问题 (10)3.2典型例题的具体分析 (10)第四章MATLAB程序及运行结果 (11)4.1 典型1,2的matlab程序 (11)4.2 问题小结 (13)第五章结论 (13)第六章参考文献 (13)评阅书 (14)课程设计任务书摘要泊松过程是由法国著名数学泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。
1943年 C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
现在泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天文学、金融、服务系统和可靠性理论等领域中都有广泛的应用。
非齐次泊松过程和复合泊松过程作为泊松过程推广的一种，其应用更是广泛，那么本文主要讲的是复合泊松过程的应用及其推广。
本文通过应用复合泊松过程的定义、基本理论，及其可加性的重要定理分析生活中的实际问题，并模拟复合泊松过程的模型，利用MATLAB软件进行求解，最后进行问题的分析，给出合理总结及误差分析。
在实际问题中，通过结合复合泊松过程的性质，定理和概率论，各种模型的分布等知识去更好的解决，提出实用性建议。
关键字：复合泊松过程 MATLAB软件概率论模型分布复合泊松过程应用问题第一章 绪论人们在考虑设备故障所需的维修费,自然灾害所造成的损失,股票市场的价格变动是都会碰到这样一类模型:事件的发生依从一个Poisson 过程,而每一次事件都还附带一个随机变量(例如费用,损失等).这时人们感兴趣的不仅仅是事件发生的次数,人们还要了解总费用或总损失.这也就是累计值过程,0,)()(1≥=∑=t Y t X t N k k 其中为独立同分布的随机变量.它们有分布函数,均值,方差,是参数为的Poisson 过程,就是复合Poisson 过程。
§2.5复合泊松过程
问：在时间(0,t]内购买商品的顾客数是
否复合泊松过程？
二、复合泊松过程的性质
定理1：
设 X ( t ) Y , t 0 是复合泊松过程，则 {X(t),t0}是独立增量过程。
k k 1 N (t )
证明： 令 0 t 0 t1 t 2 t m，则
X ( t k ) X ( t k 1 )
i i 1
N (t )
求：E[X(t)],D[X(t)]与矩母函数 X ( t ) ( u ) ？
例2：假设在时间(0,t]内保险公司接到索赔 的次数N(t)是以平均2次/月的速率的泊松 过程，每次索赔的金额是相互独立且服从 同一分布的随机变量序列，并且索赔的金
额与发生的时刻无关。若每次赔付金额是
N (tk )
i i N ( t k 1 ) 1
Y
, k 1, 2 , , m
由题设条件易证{X(t),t≥0}具有独立增量性。
定理2：
设 X ( t ) Y , t 0 是复合泊松过程，则 t [ ( u ) 1 ] (1)X(t)的矩母函数 X ( t ) ( u ) e 其中，是事件的到达率， (u ) 是随机 变量 Y i 的矩母函数； 2 E (Y1 ) ，则 (2)若
第五节
复合泊松(Poisson)过程
本节学习的主要内容
一、复合泊松过程的定义 二、复合泊松过程的性质 三、复合泊松过程的应用
一、复合泊松过程的定义
定义：设{N(t),t0}是强度的泊松过程， {Y k ,k=1,2,}是一族独立同分布随机变量， 且与{N(t),t0}独立，令
N (t )
X (t )
k k 1
泊松过程
Wn = ∑ Ti
i =1
n
(n ≥ 1)
t
Wn —— 第n次事件 发生的时刻，或称等待时间， 次事件A发生的时刻 次事件 发生的时刻，或称等待时间， 或者到达时间 Tn —— 从第 次事件 发生到第 次事件 发生的 从第n-1次事件 发生到第n次事件 次事件A发生到第 次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔 时间间隔，或称第 个时间间隔
=C
k n
s s 1 − t t
k
n−k
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件 已经发生 n 次，求第 次(k < n) 内事件A已经发生 求第k次
事件A发生的时间 的条件概率密度函数。 事件 发生的时间Wk 的条件概率密度函数。 发生的时间
n重贝努利试验中事件 重贝努利试验中事件A发生的 [二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的 ] 次数， 次数，则 X ~ B (n, p)
P ( X = k ) = n p k q n−k k
E ( X ) = np , D ( X ) = npq
是常数， [泊松定理] 在二项分布中，设 np=λ 是常数，则有 ] 在二项分布中，
jω X ( t )
]=e
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数 相关函数 协方差函数
m X (t ) = E[ X (t )] = λt
2 σ X (t ) = D X (t ) = λ t
R X ( s, t ) = E[ X ( s ) X (t )] = λ s (λ t + 1) , ( s < t )
P{ X ( s ) = k X (t ) = n} =
[理学]泊松过程
![[理学]泊松过程](https://img.taocdn.com/s3/m/1adb4b175a8102d276a22fe4.png)
(2) N( t ) 取非负整数值；
(3) 如果s < t，则N( s )≤N( t )； (4) 对于s < t, N(t) －N(s)表示时间间 隔(s, t)内事件出现的次数. ) s ) t
一类很重要的计数过程是Poisson过程.
5
Poisson过程数学模型： 电话呼叫过程 设N ( t )为[0, t) 时间内 到达的呼叫次数, 其状态空间为 E={0，1，2，…} 此过程有如下特点： 1) 零初值性：N( t )=0; 2) 独立增量性：任意两个不相重叠的时间间隔 内到达的呼叫次数相互独立;
(t )
n
n！
21
3.2 泊松过程的性质
• 数字特征 设{X(t),t0}是参数为的泊松过程， 对任意t,s[0,)，若s < t ，则有 E[ X (t ) X ( s)] D[ X (t ) X ( s)] (t s) m X (t ) E[ X (t )] E[ X (t ) X (0)] t
（1） 当n 0时 P0 ( t h) PN ( t h) 0
PN ( t h) N (0) 0
PN ( t ) N (0) 0, N ( t h) N ( t ) 0 P0 ( t )[1 h o( h)]
PN ( t ) N (0) 0PN ( t h) N ( t ) 0
n0
e e
iun n0
t
e
t
exp te
(t ) (te ) t e n! n! n0
n iu
iu n
expt (e
iu
非齐次泊松过程与复合泊松过程
E ((1: 30) - (0 : 30)) 10
29
四、复合泊松过程
在人们的日常生活中，泊松过程往往不是单独存在的。 比如顾客到商店，不会只是在商店转一圈，往往会购物(当然，进 去转转不买也是有的)。 生产线的机器坏了，维修的时候会有维修费用。 参加保险公司的医疗保险人生病，保险公司会对其作出赔偿等。 这一系列的泊松过程都会有累积的事件参杂在其中。如果我们能 够将这些累积的事件和泊松过程联系起来，找出一定的规律，也 许就能成为解决某些生活规律的工具。例如，算出商店一天的营 业额，生产线一年的机器维修费用，保险公司的预备赔偿金的存 储额等。 因此，可以看出，前面多考虑的泊松过程，并未涉及到“泊松过 程质点”的大小，确定这些泊松过程质点的累积效果的随机过程 及其概率结构是有实际意义的。
非齐次泊松过程 复合泊松过程
主讲人：张建军
2015.5.01
1
一、泊松过程的定义 二、齐次泊松过程 三、非齐次泊松过程 四、复合泊松过程
2
一、泊松过程的定义
泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离 散的随机过程。 一种累计随机事件发生次数的最基本的独立 增量过程。
3
一、泊松过程的定义
泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson,
0
11
三、非齐次泊松过程
下面我们将从均值函数的层面解释非齐次泊松过程与齐次泊松过程 的不同之处： 在齐次泊松过程中，由于齐次性，即它的平稳增量过程，过程的 强度为λ，因此，在（s ，t＋s）内，其均值为λt。 在非齐次泊松过程中，由于非齐次性，即强度函数的为λ（t），因 此： t 在（0 ，t）内，均值为 (t ) 0 ( s)ds 在 (0, t t ) 内，均值为：(t t )
泊松过程
9 December 2015
随机过程
§3.1 泊松过程概念
一维分布
定理 设{N(t), t∈T=[0,+∞)}是一强度为λ的泊松过程，
则对任意固定的t >0, N(t)服从泊松分布π(λt )，即
P(N(t)
k)
(t)k k!
et
,
k 0,1,2,
证明：略。
注 该定理指明了泊松过程的一维分布，即在每个固定
P(N(t) 2) o(t), （ 0是常数）
普通性
则称{N(t), t∈T=[0,+∞)}是强度为λ的泊松过程。
9 December 2015
随机过程
《随机过程》
1
2015/12/9
§3.1 泊松过程概念
例1 设N(t)为[0 , t)时段内某电话交换台收到的呼叫次 数，t∈[0 , +∞)，N(t)的状态空间为{0 , 1 , 2 ,···}， 且具有如下性质：
(4)在足够小的时间间隔△t内， P(t时间间隔内无呼叫) P(N(t) 0) 1 t o(t) P(t时间间隔内有一次呼叫) P(N(t) 1) t o(t) P(t时间间隔内收到2次以上呼叫) P(N(t) 2) o(t)
则计数过程{N(t), t∈[0,+∞)}是强度为λ的泊松过程。
－N(t1)服从参数为λ(t2－t1)的泊松分布, 即 增量平稳性
或齐次性
P(N(t1,
t2
)
k)Βιβλιοθήκη [(t2 t1 k!)]k
e(t2t1
)
,
k 0,1,2,（ 0）
则称{N(t), t∈T=[0,+∞)}是强度为λ的泊松过程。
试利用定理说明上述两个泊松过程定义的等价性。
泊松过程及例子1
定义3.3
设随机过程{ X (t ) ，t 0 }是一个计数过程，
参数为 （ 0 ） ，
（1） X (0) 0
满足
（2） X (t ) 是独立平稳增量过程
（3） X (t ) 满足下列两式：
P{X (t h) X (t ) 1} h (h) P{ X (t h) X (t ) 2} (h) 其中 (h) 表示当 h 0 时对 h 的高阶无穷小，
1/
（3）对任一长度为 t 的区间中事件的个数
服从参数为 t （ 0 ）的泊松分布，
(t ) k t e P{X (t s) X (s) k} k!
则称
即对一切 s, t 0 ，有
k 0,1,2,
首页
X (t ) 为具有参数 的泊松过程。
注意
从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且
则称
{ Wn ， n 1 }为等待时间序列
以Tn （ n 1 ）表示第n 1 次发生
到第n 次发生之间的时间间隔
则称
{ Tn ， n 1 }为到达时间间隔序列
首页
定理3.2
首页
设{ X (t ) ， t 0 }是参数为 （ 0 ）的泊松过程，
则到达时间间隔序列 T1，T2， 是相互独立的随机变量序列，
P1(t)=(λt+c)e-λt.
d λt [e P1(t)]=λeλtP0(t)=λeλte-λt=λ, dt
由于P1(0)=0, 代入上式得 c=0, P1(t)=λte-λt. (t ) n -λt 以下用数学归纳法证明: Pn(t)= e 成立. n! 假设n-1时有结论,证对n有: n -λt (t ) ,n=0,1,2,…. P{X(t+s)-X(s)=n}=e n! 根据 d [eλtPn(t)]=λeλtPn-1(t) dt 式,有 ( t ) n 1 -λt (t ) n 1 d λt [e Pn(t)]=λeλt e = , (n 1)! ( n 1)! dt 积分得 (t ) n eλtPn(t)= +c . n!
第二章泊松过程随机过程ppt课件
命题 2.2.1 Xn,n=1,2,,为独立同分布的均值为 1/的指数随机变量。
证明：P{X1>t}= P{ N(t)=0}=et P{ X2>t| X1=s}= P{在(s,s+t]内没有事件| X1=s}=P{在(s,s+t]内没有
事件}(由独立增量)= et (由平稳增量)
所以，从上可得，X2 也是一个具有均值 1/的指数随机变量，且 X2
证明： (1)对 y1 y2 yn，如果(Y1,Y2,, Yn)等于(y1,y2,,yn)的 n!个排 列中的任一个，Y(1),Y(2),, Y(n)将等于(y1,y2,,yn)；(2)当( yi1 , yi2 , , yin )是 (y1,y2,,yn)的一个排列时，Y1,Y2,, Yn 等于( yi1 , yi2 , , yin )的概率密度是
2. 来到时刻的条件分布（conditional distribution of the arrival times)
假设已知到时间 t 泊松过程恰发生了一个事件，我们要确定这一事件
发生的时刻的分布。因为泊松过程有平稳独立增量，看来有理由认为
[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同。换言之，这个
2．泊松过程第二个定义 为了确定一个任意的计数过程是一泊松过程，必须证明它满足条件
(1)，(2)及(3)。条件(1)只是说明事件的计数是从时刻 0 开始的。条件(2) 通常可从我们对过程了解的情况去直接验证。然而全然不清楚如何去确 定条件(3) 是否满足。为此泊松过程的一个等价定义将是有用的。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
复合泊松过程
复合泊松过程
复合泊松过程
这个例⼦介绍了某种链式反应，或层叠过程模型。
原电⼦在电⼚加速后，碰撞极板，产⽣次级电⼦。
在多极电⼦倍增管⾥，每个次级电⼦撞击另外的极板，因此可以产⽣多个三级电⼦，这个过程按照此模式可以连狙⼏个阶段。
Woodward（1948）考虑如下的模型：单⼀电⼦冲击极板后产⽣的电⼦数是随机的，特别的，次级电⼦数服从泊松分布。
第三阶段产⽣的电⼦数由之前叙述的随机和刻画，其中N是次级电⼦的个数，X i是第i个次级电⼦产⽣的电⼦数。
假设X i是参数为λ的独⽴泊松随机变量，N是参数为µ的泊松随机变量。
根据之前的结果，所有粒⼦数S的矩⽣成函数是M s(t)=exp[µ(λ(exp(t)−1)−1)]
推导过程
总结
记住分布列的优点善于利⽤这些级数求和为1
矩母函数在计算矩的过程中有很⼤优势
在上⽂提到的例⼦中，第三个阶段粒⼦数的概率质量函数很难计算，通过微分矩母函数可以得到这个概率质量函数的矩进⽽计算期望⽅差等⼀系列表征量来了解这⼀过程。
Processing math: 100%。
泊松过程ppt课件
R X ( s ,t ) E [ X ( s ) X ( t ) ]s (t 1 )
一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为
BX(s,t)mis,n t)(
时间间隔Tn的分布
设{X(t),t≥0}是泊松过程，，令X(t)表示t时刻事件 A发生的次数，Tn表示从第（n-1）次事件A发生 到第n次事件A发生的时间间隔。
解：
复合泊松过程
定义3.5：
设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程， {Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量， 且与{N(t),t≥0}独立，令
N(t)
X(t) Yk, t 0 k1
则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
N(t)
在时间段(0,t]内来到商店的顾客数
Yk
第k个顾客在商店所花的钱数
1、两分钟内接到3次呼叫的概率。 2、第二分钟内接到第3次呼叫的概率。
作业 3.1, 3.3, 3.5
例题3.6
设{X1 (t),t ≥0}和{X2 (t),t ≥0}是两个相互独立的
泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件
数分别为λ1和λ2，记 为W k(过1) 程X1(t)的第k次事
件到达时间， 为W1过(2) 程X2(t)的第1次事件到达
时间，求
P{Wk(1) W1(2)}
解：
非齐次泊松过程
0s t 其它
设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A 发生n次，求这n次到达事件W1<W2, …<Wn的 联合概率密度函数。
解：
例题3.4
设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对 于0<k<n，求P{X(s)=k|X(t)=n}
一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为
BX(s,t)mis,n t)(
时间间隔Tn的分布
设{X(t),t≥0}是泊松过程，，令X(t)表示t时刻事件 A发生的次数，Tn表示从第（n-1）次事件A发生 到第n次事件A发生的时间间隔。
解：
复合泊松过程
定义3.5：
设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程， {Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量， 且与{N(t),t≥0}独立，令
N(t)
X(t) Yk, t 0 k1
则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
N(t)
在时间段(0,t]内来到商店的顾客数
Yk
第k个顾客在商店所花的钱数
1、两分钟内接到3次呼叫的概率。 2、第二分钟内接到第3次呼叫的概率。
作业 3.1, 3.3, 3.5
例题3.6
设{X1 (t),t ≥0}和{X2 (t),t ≥0}是两个相互独立的
泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件
数分别为λ1和λ2，记 为W k(过1) 程X1(t)的第k次事
件到达时间， 为W1过(2) 程X2(t)的第1次事件到达
时间，求
P{Wk(1) W1(2)}
解：
非齐次泊松过程
0s t 其它
设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A 发生n次，求这n次到达事件W1<W2, …<Wn的 联合概率密度函数。
解：
例题3.4
设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对 于0<k<n，求P{X(s)=k|X(t)=n}
第三章泊松过程
设X ( ),即服从参数为的泊松分布。则：
1.P( X
k) e
k
k!
,k
0,1, 2,...
2.E( X ) Var( X )
3. X 的生成函数（或母函数）
g(t) E(s X ) e (s1) , 0 s 1
证明：(3)g(t)
浙大数学随机过程
6
定理：（泊松分布的可加性和可分性）
（1）设X ( ),Y (), 且相互独立，则X Y ( )
(2)设N ()，N个事件独立地(也独立于个数N）以概率
pi为类型i，这里i 1, 2，..., n, p1 ... pn 1.
i0
(t)i
i!
f Sn
t
பைடு நூலகம் t n1
n 1!
0,
et ,
t0 其他
即Sn ~ n,
2 记Ti Si Si1 i 1, 2, (S0 0)
称为第i 1个事件和第i个事件发生的时间间隔
N(t)
4 3 2 1
T1 S1T2 S2 T3 S3
e p1
( p1)i1
i1 !
...e pn
( pn )in
in !
浙大数学随机过程
8
§2 泊松过程的定义
以N (t) 表示在时间间隔0, t内事件发生的数目， N (t), t 0是取非负整数、时间连续的随机过程，
称为计数过程。
计数过程{N (t)}称作参数为的泊松过程,如果: 1. N (0) 0
泊松过程且与{N (u)：u s}独立。
对t s, n m：
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均值为30000元的正态分布，求：一年中
保险公司的平均赔付金额为多少？
k k 1
Y
N (t )
Y
E [ X ( t )] tE [Y1 ], D [ X ( t )] tE [Y1 ]
2
全数学期望公式： E[X]=E[E(X/Y)]
例2：设 { X ( t ) Y , t 0 } 是复合泊松过程，已 知 5 , Y i 服从指数分布。
第五节
复合泊松(Poisson)过程
本节学习的主要内容
一、复合泊松过程的定义 二、复合泊松过程的性质 三、复合泊松过程的应用
一、复合泊松过程的定义
定义：设{N(t),t0}是强度的泊松过程， {Y k ,k=1,2,}是一族独立同分布随机变量， 且与{N(t),t0}独立，令
N (t )
X (t )
问：在时间(0,t]内购买商品的顾客数是
否复合泊松过程？
二、复合泊松过程的性质
定理1：
设 X ( t ) Y , t 0 是复合泊松过程，则 {X(t),t0}是独立增量过程。
k k 1 N (t )
证明： 令 0 t 0 t1 t 2 t m，则
X ( t k ) X ( t k 1 )
i i 1
N (t )
求：E[X(t)],D[X(t)]与矩母函数 X ( t ) ( u ) ？
例2：假设在时间(0,t]内保险公司接到索赔 的次数N(t)是以平均2次/月的速率的泊松 过程，每次索赔的金额是相互独立且服从 同一分布的随机变量序列，并且索赔的金
额与发生的时刻无关。若每次赔付金额是
Y
k 1
k
,t 0
则称{X(t),t0}为复合泊松过程。
条件：
（1）存在一个泊松过程和一个随机变量序列；
（2）随机变量序列是相互独立，且服从同一分布； （3）随机变量序列与泊松过程是相互独立。
例1：假设N(t)是在时间(0,t]内来到某商
店的顾客数，每个顾客购买商品的概率
为p,且与其它顾客是否k 1 ) 1
Y
, k 1, 2 , , m
由题设条件易证{X(t),t≥0}具有独立增量性。
定理2：
设 X ( t ) Y , t 0 是复合泊松过程，则 t [ ( u ) 1 ] (1)X(t)的矩母函数 X ( t ) ( u ) e 其中，是事件的到达率， (u ) 是随机 变量 Y i 的矩母函数； 2 E (Y1 ) ，则 (2)若
保险公司的平均赔付金额为多少？
k k 1
Y
N (t )
Y
E [ X ( t )] tE [Y1 ], D [ X ( t )] tE [Y1 ]
2
全数学期望公式： E[X]=E[E(X/Y)]
例2：设 { X ( t ) Y , t 0 } 是复合泊松过程，已 知 5 , Y i 服从指数分布。
第五节
复合泊松(Poisson)过程
本节学习的主要内容
一、复合泊松过程的定义 二、复合泊松过程的性质 三、复合泊松过程的应用
一、复合泊松过程的定义
定义：设{N(t),t0}是强度的泊松过程， {Y k ,k=1,2,}是一族独立同分布随机变量， 且与{N(t),t0}独立，令
N (t )
X (t )
问：在时间(0,t]内购买商品的顾客数是
否复合泊松过程？
二、复合泊松过程的性质
定理1：
设 X ( t ) Y , t 0 是复合泊松过程，则 {X(t),t0}是独立增量过程。
k k 1 N (t )
证明： 令 0 t 0 t1 t 2 t m，则
X ( t k ) X ( t k 1 )
i i 1
N (t )
求：E[X(t)],D[X(t)]与矩母函数 X ( t ) ( u ) ？
例2：假设在时间(0,t]内保险公司接到索赔 的次数N(t)是以平均2次/月的速率的泊松 过程，每次索赔的金额是相互独立且服从 同一分布的随机变量序列，并且索赔的金
额与发生的时刻无关。若每次赔付金额是
Y
k 1
k
,t 0
则称{X(t),t0}为复合泊松过程。
条件：
（1）存在一个泊松过程和一个随机变量序列；
（2）随机变量序列是相互独立，且服从同一分布； （3）随机变量序列与泊松过程是相互独立。
例1：假设N(t)是在时间(0,t]内来到某商
店的顾客数，每个顾客购买商品的概率
为p,且与其它顾客是否k 1 ) 1
Y
, k 1, 2 , , m
由题设条件易证{X(t),t≥0}具有独立增量性。
定理2：
设 X ( t ) Y , t 0 是复合泊松过程，则 t [ ( u ) 1 ] (1)X(t)的矩母函数 X ( t ) ( u ) e 其中，是事件的到达率， (u ) 是随机 变量 Y i 的矩母函数； 2 E (Y1 ) ，则 (2)若