1.《小波变换与工程应用》彭玉华著,科学出版社1999年版.
小波分析在函数优化中的应用
小波分析在函数优化中的应用摘 要: 本文介绍了小波变换以及它的多尺度性，结合局部优化来解决函数的全局优化问题，提出了一种新的全局优化方法。
首先给出算法，再用matlab 编程并给出若干个多峰值函数求解全局最优值的算例，得到了与理论值十分接近的优化结果。
结果表明该算法具有一定的可行性。
关键词: 小波分析；全局优化；多尺度分析；多峰函数 中图分类号: 文献标识码:Application of Wavelet Analysis in Function OptimizationAbstract ：This paper introduces wavelet transform and its property of multi-scale . It combines with local optimization to solve the global optimization, and puts forward a new method of global optimization. First giving the algorithm, giving a number of multimodal functions to solve the global optimal values with matlab programming and obtain the optimal result which is very close to the theoretical value. It shows that the algorithm has certain feasibility.Key words ：Global Optimization; Multimodal Function; Wavelet Analysis; Multiscale Analysis0引言“小波”（Wavelet ）是当前应用数学中一个迅速发展起来的新领域，经过近十几年的探索研究，已逐步建立并形成了比较完善的数学形式化体系。
基于粗糙集和支持向量机的离心泵气蚀故障诊断
基于粗糙集和支持向量机的离心泵气蚀故障诊断摘要：离心泵广泛应用于现代工业生产之中，其能否稳定运行对工业实际生产带来极大影响，气蚀是离心泵运行过程中的一种常见故障。
提出了一种基于粗糙集和支持向量机的离心泵气蚀故障诊断新方法。
该方法对离心泵入口压力脉动信号提取经验模态分解能量比特征与小波分解能量特征，运用粗糙集理论降低特征维数，并以此特征向量构成气蚀故障样本对支持向量机进行训练，实现了气蚀故障的多特征融合。
实验结果表明：降维后的特征很好地反映了不同气蚀故障间的差异，训练成功的支持向量机能快速准确地识别离心泵不同气蚀故障类型，整体识别率达到98.5%，每种气蚀信号的判别时间约为0.5s，适合气蚀的在线识别。
关键词：离心泵气蚀；经验模态分解；小波分解；粗糙集；支持向量机0 引言气蚀是离心泵运行过程中的一种常见故障。
气蚀的产生和发展不仅影响流道内速度分布，使泵工况变坏、效率降低，而且影响其动态响应，长时间的气蚀还可能严重损伤叶轮等过流部件。
离心泵入口压力脉动信号能够很好地体现气蚀状况，是检测气蚀的重要参数，并且此信号大多是非平稳、非线性的。
通过其他研究成果发现，EMD分解和小波包分解在处理非线性、非平稳信号上具有一定的优势，本文对几种气蚀状态下的入口压力脉动信号进行EMD分解以及小波包分解，提取能量特征和信息熵特征，经过粗糙集理论的约简最后输入支持向量机进行诊断识别，从识别结果看，此方法是一种有效的诊断离心泵气蚀的方法。
1 实验装置和方法本实验采用如图1所示的闭式循环试验装置。
离心泵为IS型卧式单级单吸离心泵，额定工况下:流量Q=12m\+3/h，转速n=2900r/min。
试验过程中，首先通过变频器将离心泵调至某一流量，待离心泵运行稳定后，采集泵正常运转（无气蚀）时的入口压力信号作为参考量，然后启动真空泵，逐渐降低吸入罐液面的气体压力，同时观察离心泵入口的气蚀状况，当泵装置有效气蚀余量NPSHa达到一定数值时，采集入口压力值。
《小波分析》课程教学大纲
《小波分析》课程教学大纲课程名称小波分析Wavelet Analysis授课教师裘国永课程类别专业选修课先修课程高等数学，泛函分析适用学科范围计算机科学与技术开课形式讲解，论文选读开课学期第1学期学时40 学分 2 一课程目的和基本要求小波分析是在20世纪80年代初发展起来的一个应用数学分支，它是传统Fourier分析的改进与发展。
它一方面保留了Fourier分析的优点，更重要的是克服了Fourier分析不能在时域局部化的不足。
它是计算机应用、信号处理、图像分析、非线性科学和工程技术近几年来在方法上的重大突破。
实际上，小波分析在它产生、发展、完善和应用的整个过程中都广泛受惠于计算机科学、信号和图像处理科学、应用数学和纯粹数学、物理科学和地球科学等众多科学研究领域和工程应用技术领域的工作者们的共同努力。
原则上讲，传统上使用Fourier分析的地方，都可以用小波分析取代。
小波分析优于Fourier分析之处是：它在时域和频域同时具有良好的局部化性质，而且对于高频成分采用逐渐精细的时域或空域取样步长，从而可以充分突出研究对象的任何细节。
在学习过程中以教师的专题讲解为主，学生结合自己的研究领域阅读若干小波分析应用的论文，了解和熟悉小波分析方法在本研究领域的应用现状、应用前景和重点。
要求学生最好有高等数学、线性代数和泛函分析的知识。
二课程主要内容本课程介绍离散型小波变换、连续型小波变换的基本理论、正交小波、Mallat分解和重构算法以及小波变换的应用背景。
课程主要内容：小波分析简介、数值泛函基础知识、连续小波变换和离散小波变换、MRA（多分辨率分析、多尺度分析）和小波函数构造、Mallat 算法和小波变换、小波分析应用等。
三课程主要教材[1]冯象初等编著. 数值泛函与小波理论，西安电子科大出版社[2]葛哲学等编著. 小波分析理论与MA TLAB R2007实现，电子工业出版社[3]J. Walker著. A Primer on Wavelets and Their Scientific Applications. 1四主要参考文献[1]Dwight F. Mix, Kraig J. Olejniczak著. 杨志华，杨力华译. 小波基础及应用教程. 机械工业出版社[2]Jaideva C. Goswami, Andrew K.Chan著. 许天周，黄春光译. 小波分析. 国防工业出版社[3]彭玉华著. 小波变换与工程应用. 科学出版社[4]徐长发，李国宽著. 实用小波方法. 华中科技大学出版社[5]杨福生著. 小波变换的工程与应用. 科学出版社[6] A. Boggess, F. J. Narcowich著. 芮国胜，康健译. 小波与傅里叶分析基础. 电子工业出版社[7]崔锦泰著，程正兴译. 小波分析导论. 西安交通大学出版社[8]孙延奎著. 小波分析及其应用. 机械工业出版社[9]陈武凡著. 小波分析及其在图像处理中的应用. 科学出版社[10]胡昌华等著. 基于MA TLAB的系统分析与设计—小波分析. 西安电子科技大学出版社五考核方式考核方式为笔试占50%，论文阅读报告占50%。
小波变换原理与应用PPT课件
用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全 部时域信息。
傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率 成分的变化情况。
傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变 成分。
由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足
，这就导致了小波分析。精选ppt
7
2.小波变换与傅里叶变换的比较
（1）克服第一个不足：小波系数不仅像傅立叶系 数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频 率指标j， 在不同时刻 k，小波系数也是不同的。
(0) (x)dx0
精选ppt
10
3.小波变换的基本原理与性质
信号的信息表示
➢ 时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、 方差、峰度以及峭陡等，更精细的表示就是概率密度 分布（工程上常常采用其分布参数）
➢ 频域表示：信号在各个频率上的能量分布，信息为频 率和谱值（频谱或功率谱），为了精确恢复原信号， 需要加上相位信息（相位谱），典型的工具为FT
与信号的初始段进行比较 ； ➢ 通过CWT的计算公式计算小波系数（反映了当前尺度
下的小波与所对应的信号段的相似程度）； ➢ 改变平移因子，使小波沿时间轴位移，重复上述两个
步骤完成一次分析； ➢ 增加尺度因子，重复上述三个步骤进行第二次分析； ➢ 循环执行上述四个步骤，直到满足分析要求为止。
精选ppt
A x ( t)2 x ( t), m ,n ( t) 2 B x ( t)2 A ,B R
m ,n
x(t) Cm,n m,n(t) nZ
精选ppt
29
3.小波变换的基本原理与性质
正交小波变换与多分辨分析
多分辨分析也称为多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论 。它构造了一组正交基，使得尺度空间与小波空间相互正交。随 着尺度由大到小的变化，可在各尺度上由粗及精地观察目标。这 就是多分辨率分析的思想。在离散小波框架下，小波系数在时间尺度空间域上仍然具有冗余性，在数值计算或数据压缩等方面仍 然希望这种冗余度尽可能的小。在小波变换发展过程中， Stromberg、Meyer、Lemarie、Battle和Daubechies等先后成功的构 造了不同形式的小波基函数的基础上，是Meyer和Mallat将小波基 函数的构造纳入到了一个统一的框架中，形成了多分辨分析理论 。多分辨率分析理论不但将在那时之前的所有正交小波基的构造 统一了起来，而且为此后的小波基的构造设定了框架。
一种微机保护四边形阻抗元件的动作判据_刘家军
One Action Criterion of Quadrangle Impedance Component in Micro -processor Protection
LIU Jia -jun1 , WANG Xun2 (1 Xi′an Railway Transport Staff Collage , Shanxi xi′an 710015 , China);
(d)所示 , 显然极性不连续 。
因此 , 只要 u1 、 u2 、 u3 、 u4 极性连续时间大于 20ms , 就可 判定测 量阻抗 落在四 边形动 作特性 内 ,
从而构成四边形特性阻抗继电器 。
2.2 数字式保护
目前数字式微机距离保护一般是通过采样值直接
计算电阻 R 和电抗X , 再根据一系列与动作特性相应
性能够比较容易地得到实现 。 在微机型输电线路保护中 , 不论是距离保护 、 高
频保护 、 还是重合闸 , 都要利用阻抗元件来确定短路 点的位置 , 判断短路发生在保护装置的正方向还是反 方向 。相对于其他特性阻抗继电器而言 , 四边形特性 阻抗继电器能更好地反映输电线路短 路时的测量阻 抗 。 因此 , 研究数字式微机保护中四边形阻抗特性是 有意义的 。本文提出一种适用于微机保护的四边形阻 抗特性的动作判据方法 。
牵引负荷的谐波 、 负序和剧烈的随机波动性影响 了实时检测的准确性 。本文在瞬时无功功率理论的基 础上 , 利用小波变换所具有的时 —频分析的特性 , 较 好地解决了牵引负荷瞬时信号提取的问题 , 并给出了
1 李夏青 、 李力 .牵引供电系统采用 SVG 实现 有源无功补 偿 方法研究与仿真 [ J] .铁道学报 .1999, 21 (2):46 ～ 49.
2 李夏青 .用静止无功补偿电 源实现牵 引变电所的 综合补 偿 [ J] .铁道学报 .2000, 22 (3):22～ 25.
正交小波基的构造和性质2剖析
研究生课程考试答题纸研究生学院第一题 正交小波基的构造和性质一、 由尺度函数构造正交小波基1．由正交尺度函数{}Z k k t ∈-)(φ构造正交小波基，构造步骤如下： （1）选择)(t φ或)(ωΦ使{}Z k k t ∈-)(φ为一组正交基。
（2）求)(n h ：>-=<)(),()(k t t n h φφ (1-1)或)()2()(ωωωΦΦ=H (1-2)（3）由)(n h 求)(n g ：1)1()(+-⋅-=n n h n g (1-3)或)(πωωω=-e G j (1-4)（4）由)(n g ，)(t φ构造正交小波基函数)(t ψ：∑-=nn n t g t )()(,1φψ (1-5)或)2()2()(ωωωΦ⋅=ψG (1-6)例1 ．Haar 小波的构造 选择尺度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤=其他,010,1)(t t φ显然{}Z k k t ∈-)(φ为一正交归一基，则⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎰其他,01,0,21)2()(2n n t x dt h n φφ 由式（1-3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⋅-=+-其他,01,210,21)1()(1n n h n g n n可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-<≤==-=--其他,0121,1210,1)(21)(21)(1,10,1t t t t t φφψ 例2．由尺度函数为Riesz 基时构造正交小波基函数要找到一个多分辨率分析的尺度函数)(t φ，使它的整数平移构成一个正交系列，有时候不太方便。
但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个Riesz 基{}Z k k t ∈-)(φ来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。
首先给出Riesz 基的定义：设函数{}Z k k t ∈-)(φ张成的空间为0V 的Riesz 基的充分必要条件为存在两常数∞<>B A ,0，使得对于所有)()(2Z L C Z k k ∈∈都有222)(∑∑∑≤-≤kk kk kk C B k t C C A φ (1-7)可以证明式（1-7）等价于∞<≤+Φ≤<--∑B l A l121)2()2()2(0ππωπ因此我们可以定义一个)()(2#R L t ∈φ，使得)(])2([)(212#ωπωωΦ⋅+Φ=Φ-∑ll显然，)(#ωΦ满足1)2(2#=+Φ∑ll πω即)(#k t -φ是正交基。
傅里叶变换谐波分析
3) 快速傅立叶变换(FFT)：DFT 的快速算法。 Matlab 实现的程序框图如下：
现的频谱泄露和栅栏效应。 如果循环变流器输出频率 fo=2.5Hz，假定输出 频率为 5， 15， 50， 75Hz， 则要求频率分辨率为 5Hz， 窗口宽度为 0.2 秒。消噪后 FFT 频谱如图 7 所示。 仿真结果也证明了这种方法的有效性。
10 5
value
利用小波变换消噪后再对信号进行傅立叶变 换，只要变换窗口宽度合适，就可精确地反映出原 信号中的频率成分。针对电力系统中循环变流器产 生的间谐波进行消噪、检测。仿真结果表明，这种 方法简单可行，可以在较短时间内精确检测出间谐 波频率成分，而且可以根据具体需要调整傅立叶变 换窗口宽度，分析不同频率带宽的间谐波。
(3)
复自身一次。频谱的角频率分辨率由信号的长度决 定： w
谱将只会是基波频率整数倍成分(谐波)。如果数据 长度为基波周期的 p 倍，其频率分辨率将为 w 2p 表明一旦周期为基波周期一倍以上 w 1。
pT p
2p 。如果 T 为 x (n ) 的一个周期，输出频 T
c j 1,m c j ,k h0 (m 2k ) d j ,k h1(m 2k ) (8)
致谢
本论文是在导师杨淑英副教授的悉心指导和 王均华同学的帮助下完成的，在此表示最诚挚的谢 意！
0 -5 -10
0
200
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1600
1800
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给定软阈值消噪后的信号
5
value
参考文献
[1] IEC 61000-2-2, Compatibility levels for low-frequency conducted disturbances and signaling in public low-voltage power supply systems, 2nd ed., 2000. [2] B. R. Pelly, “ Thyristor Phase-Controlled Converters and Cycloconverters” , John Wiley and Sons, New York,1971 [3] Erich W. Gunther,Electrotek Concepts, Interharmonics in Power Systems, Power Engineering Society Summer Meeting,2001 [4] T Lobos, Z Leonowicz, J Rezmer, H-J Koglin*, ADVANCED SIGNAL PROCESSING METHODS OF HARMONICS AND INTERHARMONICS ESTIMATION, Developments in Power System Protection, Conference Publication No.479 ,IEE 2001. [5] Chun Li, Wilsun Xu *, Thavatchai Tayjasanant "Interharmonics: basic concepts and techniques for their detection and measurement"，Electric Power Systems Research 66 (2003) 39-48 [6] D. Gallo, R. Langella, A. Testa, On the Processing of Harmonics and Interharmonics in Electrical Power Systems, Proceedings of the IEEE PES Winter Meeting 2000, vol. 3, pp. 1581_/1586. [7] 彭玉华，小波变换与工程应用，科学出版社，北京,1999年9月 [8] 胡昌华，张军波，夏军，基于Matlab 6.x 的系统分析设计－小波分 析,西安，西安电子科技大学出版社，1999
基于小波变换的微弱信号
4.小波降噪的MATLAB实现
(a) 10 10 (b)
幅值A
0 -10 0 1000 2000 采样 0 1000 2000 采样点n (d) 3000
10
10
幅值A
0 -10 0 1000 2000 采样点n (e) 3000
幅值A
0 -10 0 1000 2000 采样点n (f) 3000
将淹没在强背景噪声中的微弱信号，运用电子学和近代信号处理手段抑
制噪声，进而从噪声中提取和恢复有用的微弱信号。
1.研究背景与意义
1.2 课题任务及要求
本课题的任务：
利用小波分析来对动态测试信号中的噪声进行处理，得到降噪的目的。
本课题的要求： （1） 针对动态测试中的噪声，利用小波分析法对测试信号中的噪声进
结论：由于信号的信噪比越高，原始信号和降噪信号的均方根误差越小， 降噪信号就越接近原信号，降噪的效果也就越好。根据这两个评定指标我们可 以看出，总体上看选用sym8小波基降噪效果更好，sym8小波基根据方均根误差 这一评定指标，分解3层和5层降噪后的信号都已很接近原信号，前者的信噪比 更高，更接近原信号。
( a ,b ) ( x )
1 a
xb a
a —其中伸缩因子或者尺度因子，工程实际中尺度因子 a <0无实际意义； b —平移因子，其值可正可负。
2.小波分析的基本理论及降噪原理
小波变换定义：将信号与一个在时域和频域均有良好的局部化性质的 展缩小波函数进行卷积，是一种线性变换，它把信号分解位于不同频 带和时段内的各个成分。 设 f (t ) L2 ( R) 是一个能量有限的信号，其小波变换定义为 f (t )与小波函 数族 ab (t )的内积，即 W f (a, b) f , ab (t )
小波变换简介PPT课件
47
X = waverec2(C,S,'wname')
reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure [C,S]
10
幅度
频率
时间窗
时间
时域加窗分析
时间
时频平面划分示意图
11
窗口傅立叶变换
12
窗口傅立叶变换
另一个缺点是：无论怎样离散化，都不能 使Gabor变换成为一组正交基；
而傅立叶变换经离散化后可得到按正交函 数展开的傅立叶级数。
13
1909: Alfred Haar
Alfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波， 后来被命名为哈尔小波(Haar wavelets)
C 0
Wf
(a,b)a,b(t)dbda2a
a,b(t)
1 (t b)
aa
28
小波系数的意义
Wf (a,b)表示信号与尺度为a小波的相关程 度。小波系数越大，二者越相似。
F() f(t)ejtdt
W f(a,b)f(t) a,b(t)dt
29
连续小波变换的简单步骤
选择尺度为a确定的小波，与信号开始的 一段比较；
A = appcoef2(C,S,'wname',N)
小波分析及其工程应用
⎧ ⎛ m⎞ N ⎪ m+1 ⎜ t + 2 ⎟ , 当m是偶数时 ⎪ ⎝ ⎠ θm ( t ) = ⎨ ⎪ N ⎛ t + m + 1 ⎞ ,当m是奇数时 m +1 ⎜ ⎟ ⎪ 2 ⎝ ⎠ ⎩ 称之为m次盒（box）样条。
性质：
1）当m为偶数时，盒样条关于1 /2对称；当m为奇数时，盒样条关 于0对称。 2） θ m ( t ) 是m次基数B样条多分辨分析{Vj}的另一个非正交尺度函数
= −e − iω ∑ ( −1) hl∗eilω
l l
= −e − iω ∑ hl∗eil (ω +π )
l
ˆ* ( ω + π ) = −e − iω h
频域求解过程
ϕ (t )
ˆ (ω ) ϕ
ˆ (ω ) φ
ˆ* ( ω + π ) ˆ (ω ) = −e− iω h g
ˆ (ω ) = ψ 1 ω ˆω ˆ ( )φ ( ) g 2 2 2
φ ( t ) = φ ( 2t ) + φ ( 2t − 1)
h0 = 2 2
h1 = 2 2
hn = 0 ( n ≠ 0,1)
ψ ( t ) = φ ( 2t ) − φ ( 2t − 1)
φ ( t ) = χ[0,1] ( t )
− iω sin (ω / 2 ) − iω / 2 1 − e ˆ (ω ) = φ = e iω ω/2
φ (t ) = 2 ∑ hkφ (2t − k )
k
φ j −1,k (t ) = 2
j −1 2
−1 −1 ⎡ ⎛ j2 ⎛ j2 ⎞ ⎞ ⎤ j/2 φ ⎜ 2 t − k ⎟ = 2 ∑ hlφ ⎢ 2 ⎜ 2 t − k ⎟ − l ⎥ l ⎢ ⎝ ⎥ ⎝ ⎠ ⎠ ⎦ ⎣
道客
号处理中得到广泛的应用 ,而且还在数据压缩 、流体 力学 、机械故障诊断及分形等领域中得到重视和 认可 。
参考文献
[1 ]张贤达著. 现代信号处理. 清华大学出版社 ,2002 [2 ]彭玉华. 小波变换与工程应用. 科学出版社 ,2002 [3 ]伯晓晨 、李涛 、刘路等编著. MATLAB 工具箱应用指南 —信息工程
节) ”[1] 。在信号处理应用中 ,对于高频的信息 ,在相
对小的时间间隔内 ,小波变换能给出较高的分析精
度 ;而对于低频信息 ,在相对宽的时间间隔内能给出 完整的信息 。
连续小波变换的定义[2] :将任意 L2 ( R) 空间的
函数 f ( t) 在小波基下进行展开 ,称这种展开为 f ( t)
的连续小波变换 ,简记为 CWT ,其表达式为
可见由小波变换的近似分量系数和细节分量系 数可以求出与原信号等长度的近似信号和细节信 号 ,这就是信号重构过程 。图 5 表示原始信号 ,是一 个存在频率断点的组合正弦信号 ; 图 6 是重构第 5 层分解的近似信号 ,此时已非常接近原始信号 。
图 1 三层小波分解
其中 : cM 表示 M 空间的剩余系数 , dM 表示 M 空 间的小波系数 。
篇. 电子工业出版社 ,2002
·7 ·
四 、结束语
小波变换是泛函分析及傅立叶分析等多个学科 相互交叉的结晶 ,目前 ,不仅在信 (下转第 7 页)
·4 ·
图 4 三层小波重构
图 7 含噪声的信号 计量技术 2003 No 11
测量与设备
是节流装置的水头损失 ,对于这样的节流装置 ,目标 之一是减小能量损失 ,因此采取流线型结构 ,由图 3 也可看到 ,一方面Δh1 - 4差压水头高度小 ,但另一方 面差压随流量的变化关系复杂 ,其变化曲线的线性 较差 。
关于小波分析的几本经典书的推荐
关于小波分析的几本经典书的推荐小波分析在现代信号分析中的应用越来越广泛国内所出书有限，推荐几本如下1 信号处理的小波导引法mallat著机械工业出版社中译本从图书馆借出来后一直想看一看，但是本人认为本书属于小波应用之集大成者，经典之作。
但是由于太深奥，不适合初学者阅读。
2 Ten lectures on wavelets Daubechies 据说特别经典，没有见到过3小波分析导论(美)崔锦泰著西安交通大学出版社中译本市面上见到最多的小波理论书籍4小波变换及其应用李世雄编高等教育出版社应该说是对入门者最有用的一本书，特别薄，但对重要定理的推导很详细由老师重点推介。
5小波变换及其在分析化学中的应用赵凯，王宗花编著地质出版社虽然书名有“分析化学”，但重点不在上面。
作为入门与上一本一起参考应该很好由老师重点推介。
6小波变换及其MA TLAB工具的应用没有理论推导，只是列出公式对MA TLAB工具箱的讲解很好。
Wavelet transform domain filters:A spatially selective noise filtration technique1、刘镇清,黄瑞菊.小波变换及其应用. [J].无损检测, 2001(4)2、XU Y.WEA VER JB.HEALYDM. eta.lWavelet transform domain filters:A spatially selective noise filtration technique[J]. IEEE Transactions onImage Processing, 1994, 3(6): 747-758.3、《IEEE Transaction on Information Theory》1992年3月号专门出了一期小波分析及其应用的专刊，从中可对小波分析应用的现状有个较全面的认识.4、胡昌华,李国华,刘涛,等.基于MA TLAB 6.X的系统分析与设计-小波分析[M].西安:西安电子科技大学出版社,20025、孙延奎.小波分析及其应用[M].北京:机械工业出版社，2005.。
小波分解层数与尺度的关系
<转载>小波分解层数与尺度的关系/item/5ef5e6ce8ac29626a0b50ab3?qq-pf-to=pcqq. c2c我现在对小波分解层数与尺度的关系有点混乱了是不是小波以一个尺度分解一次就是小波进行一层的分解？比如：[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中，N为尺度，若为1，就是进行单尺度分解，也就是分解一层但是W=CWT(X,[2:2:128],'wname','plot')的分解尺度又是从2～128以2为步进的，这里的分解尺度好像跟上面那个尺度的意思不一样吧？请高手指教～==============================[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中的N为分解层数,不是尺度,'以wname'是DB小波为例,如DB4,4为消失矩,则一般滤波器长度为8,阶数为7.wavedec针对于离散,CWT是连续的==============================多谢qinle的解答那多尺度又是怎么理解的呢？==============================多尺度的理解:如将0-pi定义为空间V0,经过一级分解之后V0被分成0-pi/2的低频子空间V1和pi/2-pi的高频子空间W1,然后一直分下去....得到VJ+WJ+....W2+W1.因为VJ和WJ是正交的空间,且各W子空间也是相互正交的.所以分解得到了是相互不包含的多个频域区间,这就是多分辩率分析,即多尺度分析.当然多分辨率分析是有严格数学定义的,但完全可以从数字滤波器角度理解它.当然,你的泛函学的不错,也可以从函数空间角度理解.==============================是不是说分解到W3、W2、W1、V3就是三尺度分解？如果答案是肯定的话，我的理解就没错了==============================是的==============================简单的说尺度就是频率，不过是反比的关系．确定尺度关键还要考虑你要分析信号的采样频率大小，因为根据采样频率大小才能确定你的分析频率是多少．（采样定理）．然后再确定你到底分多少层．==============================D(j,k)表示尺度 j 的小波变换系数,请问,k代表什么?D(j,k)代表的是AJ,WJ,WJ-1,……W1吗?==============================假如我这有一个10hz和50hz的正弦混合信号，采样频率是500hz，是不是就可以推断出10hz和50hz各自对应的尺度了呢？我的意思是，是不是有一个频率和尺度的换算公式？==============================实际频率＝小波中心频率×采样频率/尺度==============================谢谢回复，我自己也查到了，matlab中两个函数可能会用到，列出来给需要的人参考：scal2frq, centfrq==============================towy8：麻烦你能不能举个例子具体说一下怎样根据采样频率确定分辨率，然后确定分多少层吗？这个问题我一直没有明白。
小波分析及其工程应用(01)
小波变换的特性
小波变换具有时频局部化、多尺 度分析、灵活性高等特点，能够 提供信号在不同尺度上的时频信
息。
小波变换的算法实现
离散小波变换
离散小波变换是对连续小波变换的离散化， 通过选取合适的小波基和离散化参数，能够 实现信号的小波变换。
快速小波变换
快速小波变换是小波变换的一种高效算法，能够快 速计算小波变换，提高信号处理的实时性。
02
小波变换的基本原理
小波变换的数学基础
小波变换的定义
小波变换是一种在时间和频率域 分析信号的方法，通过将信号分 解为不同频率和时间尺度的小波 分量，能够提取信号的时频特征。
小波基的选取
小波基是小波变换的核心，不同 的小波基具有不同的特性，适用 于不同的应用场景。选择合适的 小波基对于信号处理至关重要。
小波变换用于医学图像的压缩、去噪、增强和融合， 有助于医学影像诊断和治疗。
生物信号处理
小波分析用于处理心电、脑电等生物信号，提取特征 并进行疾病诊断和治疗。
药物分析和化学分析
小波变换用于药物分析和化学分析中的光谱数据处理， 有助于药物研发和化学物质检测。
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详细描述
小波变换具有多尺度分析的能力，可以在不同尺度上检测图像的边缘。通过分析 小波变换后的系数，可以确定边缘的位置和方向。这种方法在图像处理中广泛应 用于特征提取和图像识别。
图像的增强与恢复
总结词
小波分析可以用于图像的增强和恢复，通过 对图像进行小波分解和重构，可以改善图像 的视觉效果和恢复受损图像。
小波包变换
小波包变换是小波变换的一种扩展，能够提 供更加精细的频率分辩，适用于非线性、非 平稳信号的处理。
小波变换的逆变换
小波逆变换
基于小波变换的图像压缩算法
基于小波变换的图像压缩算法宋宇;王美玲;翟双【摘要】介绍了小波图像压缩方法。
图像经过小波基分解成低频部分和高频部分,根据人眼的视觉特征,把低频部分做编码处理,高频部分用阈值量化处理,对几种适合图像压缩的小波基经过试验比较出了压缩效果。
%The wavelet image compression methods are introduced first.An image is decomposed to low and high frequency,and then the low frequency components are encoded while the high threshold quantified according human eye vision characteristics.The results of several wavelet transform for image compressing are shown here through the experiments.【期刊名称】《长春工业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(032)006【总页数】4页(P558-561)【关键词】小波变换;图像压缩;Mallat算法【作者】宋宇;王美玲;翟双【作者单位】长春工业大学计算机科学与工程学院,吉林长春130012;长春工业大学计算机科学与工程学院,吉林长春130012;长春工业大学计算机科学与工程学院,吉林长春130012【正文语种】中文【中图分类】TP391.410 引言随着信息技术的迅速发展，图像、视频等信息的容量日益增加，对图像来说，如果需要进行快速的或者是实时的传输以及大量的存储，就要对图像进行数据量的压缩，以压缩的形式传输和存储。
这样在同等的通信容量下，如果图像数据进行压缩后再传输，就可以传输更多的信息，也就可以增强通信能力，提高了通信干线的传输效率。
小波变换及分析原理知识
- 252 -小波分析原理1.1 小波变换及小波函数的多样性小波是函数空间2()L R 中满足下述条件的一个函数或者信号()x ψ：2ˆ().R C d ψψωωω+=<∞⎰式中，*{0}R R =-表示非零实数全体，ˆ()ψω是()x ψ的傅里叶变换，()x ψ成为小波母函数。
对于实数对(,)a b ，参数a 为非零实数，函数(,)()x b a b x a ψ-⎛⎫=⎪⎝⎭称为由小波母函数()x ψ生成的依赖于参数对(,)a b 的连续小波函数，简称小波。
其中：a 称为伸缩因子；b 称为平移因子。
对信号()f x 的连续小波变换则定义为,(,)()(),()f a b Rx b W a b f x dx f x x a ψψ-⎛⎫==〈〉 ⎪⎝⎭其逆变换（回复信号或重构信号）为*1()(,)fR R x b f x W a b dadb C a ψψ⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭⎰⎰ 信号()f x 的离散小波变换定义为2(2,2)2()(2)j j j j f W k f x x k dx ψ+∞---∞=-⎰其逆变换（恢复信号或重构信号）为(2,2)()(2,2)()j j j j fk j k f t C Wk x ψ+∞+∞=-∞=-∞=∑∑其中，C 是一个与信号无关的常数。
显然小波函数具有多样性。
在MA TLAB 小波工具箱中提供了多种小波幻术，包括Harr 小波，Daubecheies （dbN ）小波系，Symlets （symN ）小波系，ReverseBior （rbio ）小波系，Meyer （meyer ）小波，Dmeyer （dmey ）小波，Morlet(morl)小波，Complex Gaussian(cgau)小波系，Complex morlet(cmor)小波系，Lemarie （lem ）小波系等。
实际应用中应根据支撑长度、对称性、正则性等标准选择合适的小波函数。
- 253 -1.2 小波的多尺度分解与重构1988年Mallat 在构造正交小波基时提出多尺度的概念，给出了离散正交二进小波变换的金字塔算法，其小波分析树形结构如图1所示，即任何函数2()()f x L R ∈都可以根据分辨率为2N-的()f x 的低频部分（近似部分）和分辨率为2(1)j j N -≤≤下()f x 的高频部分（细节部分）完全重构。
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1．《小波变换与工程应用》彭玉华著，科学出版社1999年版
2．《电子商务原理与应用》南京大学出版社
3．《光纤通信导论系统》邱昆等著，电子科技大学出版社1995年版
4．《智能仪器原理及应用》越茂泰著，电子工业出版社
5．《计算机数什方法》施吉、林先等著，高等教育出版社1999年版
6．《现代电子技术》席德勋著，高等教育出版社1999年版
7．《现代信号处理》张贤达著，清华大学出版社1995年版
8．《模糊理论和神经网络的基础与应用》赵振宇等著，清华大学出版社
9．《智能控制技术》易继锴等著，北京工业大学出版社1999年版
10．《MATLAB及其在理工课程中的应用指南》陈怀琛著，西北电子科技大学出版社11．《智能卡技术——IC卡》王爱英著，清华大学出版社
12．《数据通信与计算机网络》高伟善著，高等教育出版社
13．《随机信号分析》赵淑清著，哈尔滨工业大学出版社
14．《电子设计自动化（EDA）教程》王锁萍著，电子科技大学出版社
15．《传感器的理论与设计基础及其应用》单成祥著，国防工业出版社1999年版16．《电子工艺基础》王卫平著，电子工业出版社
17．《光纤测量与传感技术》孙圣和著，哈尔滨工业大学出版社2000年版
18．《高性能数字信号处理器与高速实速信号处理》苏涛著，西安电子科技大学出版社1999年版
19．《VisualC++与面向对象程序设计教程》冯博琴等著，电子科技大学出版社
20．《计算机通信接口技术》陈露晨著，电子科技大学出版社
21．《数字信号处理——理论、算法与实现》胡广书编著，清华大学出版社1997年版22．《基于MATLAB的系统分析与设计——信号处理》楼顺天等编，西安电子科技大学出版社1999年版
23．《基于MATLAB的系统分析与设计——神经网络》楼顺天等编，西安电子科技大学出版社1999年版
24．《OrCAD/Pspice9实用教程》贾新章等著，西安电子科技大学出版社1999年版25．《数据采集与处理技术》马明建等著，西安交通大学出版社
26．《MCS—51系统单片机实用接口技术》李华主编，北京航空航天大学出版社1993年版27．《8098单片微型计算机应用技术》李新民等著，北京航空航天大学出版社1994出版28．《数学模型与数学建模》刘来福编，北京师范大学出版社1997年版
29．《信号与系统》曾禹村等著，北京理工大学出版社1992年版
30．《信号与系统》胡光锐等著，上海交通大学出版社1995年版
31．《Singnals & Systems》（影印版）A.V.Sppendeim，清华大学出版社
32．《图像处理技术》李介谷等著，上海交通大学出版社1998年版
33．《光电信息处理系统》李志能著，浙江大学出版社1998年版
34．《控制系统计算机辅助设计——MATLAB语言及应用》薛定宇著，清华大学出版社1996年版
35．《现代优化计算方法》邢文训等著，清华大学出版社1999年版
36．《应用MA TLAB语言处理数字信号与数字图像》陈桂明等著，科学出版社2000年版37．《多媒体计算机技术原理》马华东编，清华大学出版社
38．《计算机控制系统》何克忠等著，清华大学出版社1998年版
39．《移动通信》郭梯云著，西安电子科技大学出版社1997年版
40．《微波技术与天线》顾瑞龙等著，国防工业出版社
41．《人工智能及其应用》蔡自兴等著，清华大学出版社
42．《自动控制原理》杨位钦等著，电子工业出版社
43．《数据库系统概论》（第三版）萨师煊、王珊著，高等教育出版社2000年版44．《电子商务实用教程》祁明、晏维龙著，高等教育出版社
45．《Introduction to Signal Prcessing》（影印版）清华大学出版社
46．《面向对象程序设计高级教程》陈厅著，高等教育出版社
47．《OEDA工具Protel98及其设计应用》韩力等著，北京理工大学出版社1999年版48．《现代软件工程》（上中下）周之英著，科学出版社1999年版
49．《高档微机接口技术及应用》董渭清等著，西安交通大学出版社
50．《CPLD技术及其应用》宋万杰等著，西安电子科技大学出版社1999年版51．《IBM—PC汇编语言程序设计》沈美明等著，清华大学出版社
52．《可编程逻辑器件的原理与应用》陈光梦著，复旦大学出版社
53．《通信系统》王秉均等著，西安电子科技大学出版社1997年版
54．《智能传感器系统》刘君华著，西安电子科技大学出版社1999年版
55．《自动检测和仪表中的共性技术》徐科军等著，清华大学出版社200年版56．《单片微机接口技术》赵依军等编，人民邮电出版社1989年版
57．《电子技术基础》（模拟部分）（第四版）康华光主编，高等教育出版社2000年版58．《电子技术基础》（数字部分）（第四版）康华光主编，高等教育出版社2000年版59．《计算机软件技术基础》麦中凡等，高等教育出版社1999年版
60．《微波技术基础》廖承恩编，西安电子科技大学出版社1995年版
61．《电磁场理论基础》钟顺时等编，西安电子科技大学出版社1995年版。