童嘉森老师个人简介_童嘉森老师是北京市第八十中学数学...
把握本质,触类旁通--仅以2016年高考全国卷第23题的解法为例
把握本质,触类旁通--仅以2016年高考全国卷第23题的解法为例罗轩;童嘉森【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2016(000)023【总页数】2页(P1-2)【作者】罗轩;童嘉森【作者单位】贵州贵阳实验三中;北京市第八十中学【正文语种】中文虽然新课程实施已经多年,但靠题海战术学习高中数学的情况还是屡见不鲜.事实上,从近些年的高考试题来看,许多考题的解决是有规律可循的,关键在于我们能否揭示其内在规律,并按照一定的解题程序,同时再辅以正确的类比、猜想、发散、推理和运算等.本文从不同角度和方法试图通过探析2016年高考全国卷第23题选修4-4:坐标系与参数方程,从而揭示出该类问题的相应解法和内在规律.例1 (2016年全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a＞0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ＝4cosθ.(1)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0,其中α0满足tanα0＝2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.(1)将(t为参数,a＞0)化为直角坐标方程x2＋(y－1)2＝a2,所以C1为以(0,1)为圆心,a为半径的圆.把x＝ρcosθ,y＝ρsinθ代入方程中,得到C1的极坐标方程为(2)方法1 依题意,要求曲线C1、C2的公共点极坐标,则联立方程组消去ρ得方程16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0.由已知ta nθ＝2,可进一步化为16cos2θ－8sinθcosθ＝0,从而1－a2＝0,解得a＝±1.经验证a＝1符合题意,所以当a＝1时,极点也为C1、C2的公共点,在C3上,故a＝1.方法1是在极坐标下,利用2曲线C1、C2的公共点在直线C3上且与C3具有相同极角的特点,借助直线C3已知的极角,从而有效解决了此问题,体现了极径和极角的几何意义的重要性.方法2 将曲线C2:ρ＝4cosθ化为直角坐标方程,即为(x－2)2＋y2＝4,可知曲线C2为以C2(2,0)为圆心,以2为半径的圆,则圆C2一定过原点.因为直线C3的极坐标方程为θ＝α0且tanα0＝2,则直线C3的直角坐标方程为y＝2x,该直线过原点.又由题意知直线C3与圆C2相交,除了原点O外,还有另一个交点,设此交点为A.由于圆C1与圆C2的公共点都在直线C3上,则直线C3是2圆的公交线,2圆相减所得的方程就是直线C3方程,即为(x2＋y2－2y＋1－a2)－(x2＋y2－4x)＝0,化简得4x－2y＋1－a2＝0.又直线C3方程为y＝2x,所以1－a2＝0,解得a＝±1.经验证a ＝1符合题意,故a＝1.方法2是在直角坐标系下,利用2圆相交的性质特征,把2圆的方程相减,就得到公共直线的方程.该题的公共直线方程已知,反过来求圆C1中的a,不失为一种重要的解题方法.方法3 将曲线C2:ρ＝4cosθ化为直角坐标方程,即为(x－2)2＋y2＝4,曲线C2为以C2(2,0)为圆心,以2为半径的圆,则圆C2一定过原点.因为直线C3的极坐标方程为θ＝α0,所以其参数方程可设为(t为参数),其中α0∈[0,π).由题意知直线C3与圆C2相交,除了原点O外,还有另一个交点,设此交点为A,此时根据圆C2的参数方程,可设点A的坐标为(2＋2cos2α0,2sin2α0).由tanα0＝2,有从而有所以设点A的坐标为又点A是 2圆的公共点,于是点满足圆C1的参数方程,代入(t为参数,a＞0)中,解得a＝1.方法3是利用圆和直线的参数方程解决问题的,寻求它们参数的几何意义以及各参数之间的联系作为解题的突破口,从中理解参数所代表的几何意义和功能是解题的关键所在.例2 (2016年全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A、B2点,求l的斜率.(1)将ρ2＝x2＋y2,x＝ρcosθ代入圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25中,得极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)方法1 在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).设A、B2点所对应的极径分别为ρ1、ρ2,将l的极坐标方程θ＝α(ρ∈R)代入C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0中得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是有ρ1＋ρ2＝－12cosα,ρ1ρ2＝11.由极径的几何意义|AB|＝|ρ2－ρ1|＝所以直线l的斜率为方法1充分运用极径和极角的几何意义,把求弦长恰好转化为2极径之差,体现了极坐标的内在威力.方法2 依题意,设A、B2点所对应的参数分别参数为t1、t2,把直线l的参数方程(t 为参数)代入圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25中得t2＋12tcosα＋11＝0,于是有t1＋t2＝－12cosα,t1t2＝11.由参数t的几何意义|AB|＝|t2－t1|＝由|AB|＝得则所以直线l的斜率为方法2充分运用直线参数方程中参数t的几何意义,把求弦长恰好转化为A、B2点分别对应的参数t1、t2之差的绝对值,即为|AB|＝|t2－t1|,体现了直线参数方程中参数t所代表的形与数的内在转化规律,所以理解t的几何意义是解决问题的关键,实际上此解法的参数t与方法1中的极径ρ本质上是一致的.方法3 由直线l的参数方程是(t为参数).又α∈[0,π),所以直线l的斜率可能存在和不存在,故对倾斜角α进行讨论.1)当时,直线l的斜率不存在,其方程为x＝0,此时直线与圆没有交点,不符合题意. 方法3是在直角坐标系下先考查了直线与圆的位置关系,充分运用圆的几何性质中的垂径定理,直接建立弦长、半径和圆心到直线的距离之间的关系,从而得到了直线的斜率,体现了垂径定理解决问题的优越性.例3 (2016年全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(θ为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.本题可按上述方法求解,过程略.以上3例虽然形式不一样,但实质是相通的.既可以从极坐标系中利用极径和极角的几何意义去解决,也可以用参数方程中参数的几何意义去解决,还可以在直角坐标下,利用普通方程中所表示的几何特征去解决,甚至可以把它转化为函数来解决.考生在通性通法中可择优选取,以达到做一题通一类的目的,真正做到突破本质,触类旁通.。
运用化归思想求二阶线性递推数列通项
运用化归思想求二阶线性递推数列通项陈立章;童嘉森【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2017(000)007【总页数】1页(P1)【作者】陈立章;童嘉森【作者单位】山东省东平高级中学;北京市第八十中学【正文语种】中文将一个问题由难化易、由繁化简的过程称为化归,它是转化和归结的简称．对于求二阶线性递推数列通项问题，目前采用的多为特征方程法,普通高中生虽然没有接受过类似的知识,但是可以通过化归思想,用最基本的知识求二阶线性递推数列通项．对于二阶线性递推数列{an}:a1=α,a2=β,an=pan-1+qan-2.我们先对其进行如下整理:设an-ran-1=s(an-1-ran-2),即因为an=pan-1+qan-2，所以这样原数列就被化归成了一个等比数列,an-ran-1=s(an-1-ran-2),an-1-ran-2=s(an-2-ran-3),an-2-ran-3=s(an-3-ran-4),……a3-ra2=s(a2-ra1).于是得到即这就意味着只需知道p、q以及前2项a1=α、a2=β，即可求的二阶线性递推数列通项．斐波那契数列是最典型的二阶线性递推数列,我们可以用它来验证该通项的正确性．在斐波那契数列中,a1=a2=1,an=an-1+an-2,即p=q=1,故知解得与r的解可以互换,因为s与r是齐次的).于是结果正确,说明该通项正确．这就意味着,普通高中生即使没学过特征方程,只要有扎实的数学功底,也是可以求出二阶线性递推数列通项的.综上,对于二阶线性递推数列{an}:a1=α,a2=β,an=pan-1+qan-2的通项可用化归思想求得已知p、q以及前2项a1=α、a2=β，即可利用该公式求得二阶线性递推数列通项)．变式在数列{an}中,a1=0, a2=1, an+2=an+1+6an,求通项an.根据式①,有解得或者若则于是于是其通项为若取则于是于是其通项为显然这2个结果是一样的.当然本题读者也可以利用二阶线性递推数列的特征方程,求出特征根的方法计算出同样的结果,但这个方法超出了中学课本的范围,故笔者认为本文的方法更接中学生的“地气”.。
巧用面积探究一组优美性质
巧用面积探究一组优美性质
张留杰;童嘉森
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2013(000)017
【总页数】2页(P4-5)
【作者】张留杰;童嘉森
【作者单位】北京市陈经纶中学;北京市第八十中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.删繁就简三秋树,领异标新二月花——探求圆锥曲线中的一组优美性质 [J], 宋振华;郑元问
2.由一道习题探究抛物线的一组优美性质 [J], 邹凤玲
3.从一道试题探究圆锥曲线的一组优美性质 [J], 刘刚;赵毅
4.由圆锥曲线光学性质得出的一组优美性质——定值问题 [J], 李凤华
5.由一道培训题引出抛物线的一组优美性质 [J], 林运来
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北京市第八十中学的办学条件
北京市第八十中学的办学条件
截至2014年，全校教职工约有290人，其中专任教师约200人。
教师队伍中含有特级教师28人、市级学科带头人及骨干教师23人、区级学科带头人及骨干教师67人。
高级教师83人，硕士以上学历教师20人。
特级教师（28人）
语文特级教师：宁鸿彬、喻祖权、申淑艳
数学特级教师：毛彬湖、童嘉森、吴万辉、王贵军、索云旺、贾应红、李晓云
英语特级教师：易仁荣、高玉兰、许艳新
物理特级教师：李新华、韩叙虹、胡友永、赵保现、姜连国
化学特级教师：杨海金、李继良、赵玉泉
生物特级教师：赵越、田树林、林镜仁、江建敏
地理特级教师：许鑫
政治特级教师：刘庆海
美术特级教师：金锐
北京市学科带头人（2人）
吴卫东、孙世林
北京市骨干教师（21人）
贾小林、王学东、赵慧、涂洁、张启华、潘荣杰、王治珍、郭豫、王坤、史达为、闫竞、张韬、杜文红、刘亦工、王朝祥、何春生、骆玉
香、于乃佳、韩宏杰、黄斌、崔为民。
学校每年都会派出大量优秀教师出国访问、进修或与世界先进国家的学校进行科研合作、探讨教育问题、交流先进办学经验、参加国际会议等。
学校与美国、澳大利亚、德国、韩国、日本、加拿大等国家的中学进行了合作与交流，并建立了友好互访关系。
并为中国学生提供出国游学、与外国友好校互访和与世界发达国家合作开展的冬令营及夏令营等活动。
同时接受外国友人的子女在该校就读。
外积在立体几何中的运用
外积在立体几何中的运用梁开新;童嘉森【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2017(000)001【总页数】2页(P1-2)【作者】梁开新;童嘉森【作者单位】重庆市南坪中学校;北京市第八十中学【正文语种】中文在目前高考立体几何的解答题中,要解决的是空间中的位置关系、空间角以及空间距离等相关问题.由于立体几何的本身特点,需要我们有较强的观察分析能力、空间想象能力、直觉思维能力以及运算能力. 然而引进空间向量后,则可以在弱化以上能力的基础上用近似程序化的方法把问题解决.实际运用中,在解决空间角特别是二面角计算问题时,为了避免因寻找二面角的平面角而进行烦琐的论证过程,常用内积来求平面的法向量,进而求得平面角的大小.但是用内积求法向量的过程,需要解三元一次方程组,由于方程组的解即法向量的方向不确定,故求出角度之后还需要根据图形观察确定是否要取补角.这样做,除了计算比较麻烦以外,还使得解题的严谨性大打折扣．同时,内积亦不能很好地解决空间几何体中的面积和体积问题.然而利用空间向量的外积(叉积)不但能够简化计算步骤,直接确定平面法向量的方向,还能够一步到位地求出空间中三角形的面积和一些几何体的体积.本文介绍向量的外积(叉积)在立体几何中的一些运用.1.1 外积方向我们知道,有大小又有方向的量才能称为向量. 那么,外积的方向如何确定呢?需要明确的是,外积的方向是由右手定则来确定的. 例如:要确定向量a与b外积向量c的方向(c=a×b),右手展开,4指与向量a的方向一样,然后,弯曲4指后与向量b的方向一样(如图1),这时拇指所指的方向就是向量c的方向,而且必有c垂直a和b所在平面. 由此,明显有b×a=-a×b.1.2 外积运算即|c|在数值上等于以a、b为邻边组成的平行四边形的面积,则〉.设a=(x1,y1,z1), b=(x2,y2,z2), i=(1,0,0)、 j=(0,1,0)、 k=(0,0,1)分别是x、y、z 轴方向的单位向量,则1.3 混合积设a、b、c是空间中的3个向量,则(a×b)·c称为3个向量a、b、c的混合积,记作[abc]或(a,b,c)或(abc).特别地,|(a,b,c)|的几何意义表示以a、b、c为棱的平行六面体的体积.事实上,因为明显|c||cos〈a×b,c〉|为棱柱的高.根据行列式的展开式,当a=(x1,y1,z1)、 b=(x2,y2,z2)、c=(x3,y3,z3)时,则例1 (2014年全国卷Ⅰ) 如图2所示，三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(1) 证明:AC=AB1.(2) 若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.(1) 略.(2) 方法1 因为AC⊥AB1,且O为B1C的中点,所以AO=CO.又因AB=BC,所以△BOA≌△BOC,故OA⊥OB,从而OA、OB、OB1两两互相垂直.以O为坐标原点,以的方向为x轴的正方向,为单位长,建立如图3所示的空间直角坐标系O-xyz.因为∠CBB1=60°,而△CBB1为等边三角形.又AB=BC,则).于是有).设n=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,则即可取设m是平面A1B1C1的法向量,同理可取).所以,故二面角A-A1B1-C1的余弦值为.方法2 由方法1有).从而面AB1A1的法向量同理,面C1B1A1的法向量所以二面角A-A1B1-C的余弦值为1/7(如图4所示,根据右手定则有和,故只能取〈n1,n2〉的补角).通过比较2种方法,我们不难发现方法2的优点在于不但可以通过该平面内任意不共线向量的外积(叉积)直接求出该平面的法向量,而且能准确、快速地确定法向量的方向.当然,外积(叉积)不只可以较快地求出平面的法向量,也可以迅速地求出2个向量所形成的三角形的面积,其在立体几何中的应用可以通过下面的例题来说明.例2 (2014年大纲卷) 如图5所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.(1) 证明:AC1⊥A1B;(2) 设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1-AB-C的大小.(1) 略.(2) 方法1 由直线AA1到平面BCC1B1的距离为,可以得出D为AC的中点,且A1D⊥AC.于是,建立直角坐标系D-xyz,其中D为原点,为x轴正方向,为y轴正方向(DH∥为z轴正方向.故有).于是).因为,所以.又因为S△ABD=1/2.所以二面角A1-AB-C的余弦值为.方法2 当然,除了面积法之外,我们也可以用求法向量的方式来求得二面角的余弦值. 由方法1有,从而面A1AB的法向量为面ABC的法向量).所以二面角A1-AB-C的余弦值为.通过例2我们发现,因为通过外积(叉积)能够很快地求出相关三角形的面积,所以用面积法也可以很快地求出二面角的余弦值. 当然用面积法的前提是能够很容易找到相关面的投影面.。
【_2011相阳三轮备考高考研讨会北京资料】数学
2011年数学高考考法分析及冲刺复习建议北京市第八十中学 童嘉森 一．五年来数学高考试题的特点（略） 二．部分数学新题型分析（一）定义型问题1．已知函数2()2,f x x x =- 其中11a x a -≤≤+, R a ∈. 设集合{(,())|,[1,1]}M m f n m n a a =∈-+，若M 中的所有点围成的平面区域面积为S ，则S 的最小值为________________ 〖答案〗22.定义在正整数有序对集合上的函数f 满足：①(,)f x x x =，②(,)(,)f x y f y x =， ③()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+，则(12,16)f +(16,12)f 的值是 ． 〖答案〗963．定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ____________．〖答案〗γ>α>β（二）概念型问题1．已知函数32()f x x bx cx =++的图象如图所示，则2221x x +等于 （ ）A ．32B ．34C ．38D ．316〖答案〗C2.如果对于空间任意n （n ≥2）条直线总存在一个平面α，使得n 条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n( )A.最大值为3B.最大值为4C.最大值为5D.不存在最大值 〖答案〗A3.已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E所截得的弦长不可能．．．相等的是( )A ．0kx y k ++=B ．01=--y kxC ．0kx y k +-=D ．20kx y +-= 〖答案〗B（三）运动型问题1.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中 点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平 面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 （ ） A.{}2 B.255⎧⎫⎨⎬⎩⎭C.{|222}t t ≤≤D.2{|52}5t t ≤≤ 〖答案〗C2．（2010·北京文14）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动。
新课程背景下提高数学课堂教学实效性的思考
新课程背景下提高数学课堂教学实效性的思考北京市第八十中学童嘉森教育部部长袁贵仁同志说“课堂是教育教学的主阵地，提高教育质量必须首先提高课堂教学质量。
”一、三个片段【片段一】是不是所有的新课程都该用多媒体去教学呢？【片段二】是不是每节课或公开课都要搞搞合作讨论、合作学习等等一些教学过程呢？【片段三】发展性课堂评价就是赞扬吗？〖反思片段一〗；〖反思片段二〗；〖反思片段三〗二、三个案例〖案例一〗某教师讲课条理清晰，思路清楚，目标明确，每堂课都能够非常顺利地完成教学任务。
但是，一批改学生作业，结果发现总有部分学生掌握的比较差。
老师甚似苦恼，讲得够详细了，备课也够认真的了，教材把握无可挑剔，怎么效果就不明显呢？衡量一堂课的效益是什么？〖案例二〗某教师为了提高学生的学习成绩，加大了课堂检查、检测的力度。
在一堂新授课上，首先他测试上一节课所学的知识，讲评作业，然后讲新课，学生讨论，做练习，最后老师再讲评，直到下课。
那么，你认为这堂课的缺陷在什么地方？是有效教学吗？〖案例三〗讲完高中数学必修五第二章数列后，某教师上了一节等差数列和等比数列的复习课，他先让学生背公式，然后讲例题，最后让学生做练习，结果发现老师准备的很多内容，只完成了一部分，学生做题时还是翻看课本，查阅公式。
那么，复习课如何安排才能使教师的投入和产出成比例？三、三个原则（一）从学生的实际出发1.根据学生的数学现实——准确把握教学目标2.了解学生已有的知识基础和生活经验，确定切合学生实际的教学目标。
3．坚持“以学为主，以学定教”。
在实施教学时强调一切教学活动从学生出发，一切教学活动服从学生，做到“从学生中来，到学生中去”。
① 注重学生知识的生成过程。
② 关注学生在数学学习过程的情感体验。
③ 强调学生对知识的过关过手。
④ 分层次练习、关注全体学生（二）对学生终身负责1.突出重点知识，强化常用方法例1已知a b 、为非零实数，并且满足220a ab b ++=，那么19981998a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭的值为_______________.〖答案〗2 例2已知集合M={1、2、3、4、5}，N={6、7、8}，如果建立以集合M 为定义域，以N 为值域的函数且使 f (1) ≤ f (2) ≤ f (3) ≤ f (4) ≤ f (5)，则这样的函数有_____________ 个. 〖答案〗62.重视教材，培养学生数学阅读能力例1已知数列153nna⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，把数列{}n a的各项排成右图所示的三角形形状，记A(m，n)表示第m 行，第n列的项，则A(10，5)=____________.〖答案〗86153⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭例2定义一种运算“*”，对于任意非零自然数n满足以下运算性质：（1）1*1=1；（2）(n+1)*1=3(n*1)，则n*1=______________.〖答案〗13n-例4在右面的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，则x+y+z=________________.A.1B.2C.3D.4〖答案〗B例3函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则f(1)+f(-1)的值一定（）A.等于0B.大于0C .小于0 D.小于或等于0〖答案〗B3.以生为本，主体参与例设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于,M N两点，则||||||FM FNFA+的值为（）B.4.夯实基础，关注通性通法例1直线m x y +=2和圆122=+y x 交于A 、B 两点，以Ox 为始边,OA ，OB 为终边的角分别为α，β，则sin()αβ+的值为_________.例2已知 a b R +∈、并且1a b +=，求证 2122≥+b a 5.规范训练培养良好的解题习惯 6. 改进学习方式和教学方式，培养创新意识例1两游泳者在50米游泳池的对边上同时开始游泳，1人以每秒2.5米、另一人以每秒321米的速度进行，他们游了4分钟，若不计转向时的时间，则他们迎面闪过的次数为 （ ）A.7次B.8次C.9次D.10次 〖答案〗B例2如图正四面体ABCD 中M 、N 分别是BC 和AD 的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为___________.（三）加强学习，完善自我1. 成为有课程智慧的教师①“吃透”教材② “补充”教材③“更新”教材2.搞好教育科研，做研究型、专家型教师3.加强团结，发挥团队的力量四、三点注意1.对于网上和社会上流行的参考资料应该有选择的使用2.重视数学体验的教学（在游泳中学会游泳，开车中学会开车）（1）重视知识过程形成的体验。
辨析方法 深化认知 提升能力——谈概率统计解题方法中培养数学核心素养
辨析方法深化认知提升能力——谈概率统计解题方法中培养数学核心素养朱婧;童嘉森【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2018(000)001【总页数】3页(P2-4)【作者】朱婧;童嘉森【作者单位】贵州省贵阳市第三实验中学;北京市第八十中学【正文语种】中文随着大数据时代的到来,人们对数据处理能力的要求越来越高,于是对概率与统计这部分知识的学习和掌握就显得越来越重要. 在近年的高考试题中常以应用题的面目出现,考查考生的阅读理解能力和数据处理能力. 许多同学对一些常规题掌握较好,但对于一些灵活性、概念性强的题目,有时会陷入一些误区,产生自己觉察不到的错误,从而出现非常可惜的失分.因而,在平时的学习和训练中,要以培养数学核心素养为重,对数学模型有清晰的认识,不能盲目地套用公式、概型和分布. 要真正提升数据的提取、分析、处理能力.本文就概率统计解题方法中的错因分析谈数学核心素养的培养.1 辨清模型,用对方法例1 在等腰Rt△ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部任作一线段CM,与线段AB交于点M,求AM<AC的概率.AM<AC的概率为满足条件∠ACM与∠ACB大小的比,即图1易错点如图1,点M随机地落在线段AB上,故线段AB的长为基本事件的度量.当M位于线段AD(不含端点,AC=AD)上时,AM<AD,所以线段AD的长为所求事件的度量.故错因分析在∠ACB内作线段CM, CM等可能分布在∠ACB内的任一位置.因此基本事件的度量是∠ACB的大小,而不是线段AB的长.例2 在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是2/3.(1) 记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X的分布列及数学期望;(2) 求教师甲在一场比赛中获奖的概率.(1) X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.由条件可知X的分布列如表1所示.表1X0123456P1729127296072916072924072919272964729故(2) 设教师甲在一场比赛中获奖为事件A,包含恰好投进4个球,恰好投进5个球,恰好投进6个球共3种情况,故即教师甲在一场比赛中获奖的概率为易错点投球事件的结果只能有7种可能,分别是投进0,1,2,3,4,5,6个,所以错因分析出现这个错误的原因是:求概率时没有辨清古典概型需满足基本事件间为等可能性事件.事实上事件“第1个球投进,后5个球未投进”与“第1、2个球投进,后4个球未投进”的概率是不相等的.例3 利用手机发红包已成近几年过年的一大时尚,某市一调查机构针对“过年收取手机红包”的情况,抽取了600人随机调查,调查结果如表2:表2收到的手机红包金额t/元t≤100100<t≤1000t>1000人数/人15040050 将频率视为概率,试解决下列问题:(1)从该市市民中任意选取1人,求其收到的手机红包金额超过100元的概率;(2)从该市市民中任意选取4人,求至多有1人收到的手机红包金额超过100元的概率;(3)若从所抽取的600人中按照分层抽样的方法随机抽取12人,再从这12人中随机抽取3人,记其中收到的手机红包金额超过100元的人数为X;(ⅰ) 求所抽取的这12人中,收到的手机红包金额超过100元的人数;(ⅱ) 求X的分布列及数学期望.(2) 设“从4人中任意选取1人,至多有1人收到的手机金额超过100元”为事件A,则(3) 按分层抽样的方法收到的手机红包金额数t≤100,100<t≤1000,t>1000的人数分别为3,8,1.(ⅰ) 所抽取的这12人中,收到的手机红包金额超过100元的人数为:人.(ⅱ) 由于从这12人中随机抽取3人,故X的可能取值为0,1,2,3.X的分布列如表3.表3X0123P12202722010822084220易错点本题容易疑惑的问题是:采用超几何分布(组合法)还是二项分布(概率法)? 第(2)问中用组合法得P(A)与概率法得的结果不一样;而在第(3)问中,用组合法与用概率法:求得的期望值一样,哪种方法正确呢?错因分析对于超几何分布与二项分布,主要区别在于抽取方式的有无放回.无放回是超几何分布,有放回为二项分布. 另外,超几何分布需要知道总体容量(称“容量式”),二项分布不需要知道总体容量. 即有限抽取问题是超几何分布问题,无限抽取或重复抽取问题是二项分布问题.第(2)问中从“该市市民中任意选取4人”,由于市民人数很大且未知,故看成“无限抽取或重复抽取问题”,采用二项分布(概率法);第(3)问中“从12人中抽取3人”人数确定,应看成“有限抽取问题”,故采用超几何分布(组合法).在统计与概率的题型处理中,同学们不仅要分析理解“放回式”“容量式”,也要理解“样本估计总体”的思想,把具体的题目放到“样本”与“总体”的大环境中,涉及样本的问题用超几何分布(组合法)研究,涉及总体的问题用二项分布(概率法)研究.2 正确应用性质,准确理解概念例4 为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖情况,得如下实验数据,计算得回归直线方程为由以上信息,可得到表4中C的值为________.表4x/天34567繁殖个数y/千个2.5344.5C将代入可得由得C=6.易错点由y=0.85×7-0.25=5.7得C=5.7.错因分析出现错解的原因是对回归直线方程的性质掌握不清,样本点未必在回归直线上,不一定满足回归直线方程,而点一定在回归直线上,满足回归直线方程.例5 某班40个学生平均分成2组,2组学生某次考试的成绩情况如表5所示.表5组别平均数标准差第1组904第2组806求这次考试全班的平均成绩和标准差.( 注:平均数标准差.设第1组同学的分数为ai (1≤i≤20),平均分为第2组同学的分数为bi(1≤i≤20),平均分为依题意得所以a1+a2+…+a20=1800.同理:b1+b2+…+b20=1600.设全班同学的平均成绩为则又因为所以同理设全班分数的标准差为s,则易错点简单地认为错因分析对特征数的概念理解不正确.综上可知,数据的分析要建立在数据正确提取的前提下,所以我们必须对特征数有正确的理解.在数据处理时,公式的形式有时是需要变换形式后才能代入数据的,所以在学习中一定要重视公式推导变化的过程,体验变形思想和方法,才能真正培养逻辑推理、数学运算、数据处理方面的数学核心素养.错因分析能帮助我们更好地理解数学模型,掌握其本质,在实际应用中才能避免陷入误区,正解选择方法,提高解题正确率.。
旋转的周期函数
旋转的周期函数孙健翔;童嘉森【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2017(000)005【总页数】1页(P1)【作者】孙健翔;童嘉森【作者单位】重庆市开州中学;北京市第八十中学【正文语种】中文利用高中数学中有关周期函数的定义我们可以得出:如果函数y=f(x)(x∈R)图象关于点A(a,0)和B(b,0) (a≠b)对称,即y=f(x)是以2|b-a|为周期的函数,则该函数满足f(2b-a+x)=f(a+x)．我们不妨把这个结论推广一下:如果对于x∈R的函数y=f(x),其图象关于A(a,b) 和B(c,d)(其中a≠c且b≠d)对称,便可得到一个满足关系f(2c-a+x)=2d-2b+f(a+x)的函数(注:经此变换后不一定为函数,本文后面有阐述．以下所述是经此变换后仍为函数的情况)，该函数的x每经过2|c-a|的变换,f(x)的值都会出现涨幅为2d-2b的变化,图象具有周期递变性(如图1所示)．我们不妨换个角度思考,对于任意2点A(a,b)、B(c,d),将这2点连线看作x′轴,其连线上的垂直直线看作y′轴,不难得到,在新的坐标系x′O′y′中,该函数便是形如关于x′轴上2点对称的周期函数(如图2所示)，这个函数是由周期函数经过旋转变换得到的函数,可称之为“旋转的周期函数”．前面我们提到,经此变换后的图象不一定为函数,那么什么情况下才是函数呢?在坐标系x′O′y′中,令其为g(x′)(g(x′)为周期函数),当g(x′)始终满足|g′(x′)|≤tan α(α为y轴和x′轴夹角的较小角)时(如图3、4)，在坐标系xOy中,g(x)为函数(注:g(x)均指在坐标系xOy中的函数,g(x′)指在坐标系x′O′y′中的函数).事实上,我们也可以把g(x′)的图象拉成一条直线看,结论是显然的．下面,我们可以探究“旋转的周期函数”的简单性质.在此,我们先作如下规定：令f(x)为旋转后的周期函数在坐标系xOy中的函数,f(x′)为f(x)在坐标系x′O′y′中的周期函数,g(x)是旋转之前在坐标系xOy中的周期函数．1) 因为函数f(x)的图象是关于A′(a,b),B′(c,d)(注：坐标均指坐标系xOy中的坐标)2点对称,(A′、B′均在第一象限,点A′位于B′左下方)如图5所示,令直线A′B′与x 轴的交点为C(x0,0),点A′到C的距离为x1, 点B′到C的距离为x2,则点A(x0+x1,0)、 B(x0+x2,0), g(x)是关于A、B 2点对称的周期函数．将g(x)绕点C 逆时针转θ角就能得到函数f(x)(点A′、B′在函数f(x)上和点A、B在g(x)上分别对应或相差一个周期; A、B点其他位置可类似考虑)．2) 若f(x′)的周期为T′,那么f(x)的周期T=T′cos θ.3) 在坐标系x′O′y′中,f(x′)的值域必不可为R,且α.事实上,在坐标系x′O′y′中,f(x′)的图象夹在2条平行直线之间．4) f(x)可为奇函数,必不能为偶函数．因为若是偶函数,则函数f(x)图象对称中心的连线一定关于x轴平行,就不会是旋转的周期函数了．后记:本文是孙健翔同学在听完童嘉森老师的数学专题讲座后所想到的问题,在童嘉森老师的启发和悉心指导下完成的.旋转的周期函数是我们没有研究过的问题,但是作为一个中学生能够大胆猜想,勇于创新，这种精神值得提倡．在中学数学教学中培养学生的创新探究能力正是我们数学课程改革所要达到的目标,希望通过本文进一步激发广大同学学习数学的热情,进一步开启同学们智慧的心灵．。
数学
今年高考也在有意识的加强了数学的应用，并 且所占比例较往年更重。例如文科第 8、14、17三 个题，理科第 8 、16 二个题，体现数学在生活中的 应用。同时考查了学生对数学文字语言、图形语言 及及表格的阅读。从高考改革方向来看，以后体现 数学应用的创新试题会逐渐增多。
可以肯定，北京高考数学会继续加强通性通法与 数学应用能力和学生创新能力的考查，这也有利于引 导中学教学回归到正常轨道，避免一味练传统的难题 怪题。在今天的高考改革大环境下，传统的“填鸭式 ”教学和“考经式”授课已经不等适应全国和北京高 考改革的要求。
4．提高素养，强化创新，应用与创新结合
创新意识是理性思维的高层次表现。高考数 学中的创新型问题，对于考查考生面对新颖的信息 和情景，选择有效的方法，分析相关信息，综合应 用所学的数学知识、思想和方法，提出解决问题的 思路，创造性地解决问题，有着十分重要的作用。
创新题的特点是问题新颖，设问灵活，内容 多样，富有新意，体现对考生的学习能力、创新 意识和创新能力的考查，因此在近几年高考试题 命题中倍受青睐，并得到各方面的认可。
二、试题分析
1.试卷题目所对应知识点情况表
题型 题号 1 主要考查知识(理) 复数 线性规划 程序框图 立体几何 主要考查知识(文) 集合 分值 5 5 5 5
选
2
圆
函数 统计
择
3
题
4
题型
题号 5
主要考查知识(理) 三视图 等差数列 立体几何 实际应用
主要考查知识(文) 程序框图 向量 三视图 实际应用
2 x a, x 1 理 14.设函数 f ( x) . 4( x a )( x 2a ), x 1
①若 a 1 ，则 f ( x ) 的最小值为 ； .
品数列知识本质用函数思想解题
数列是一种特殊的函数，其定义域为自然数集 Ｎ＋或它的有限子集，数列的通项公式就是相应函数 的解析式，其图象是一群离散的点．既然数列也是函 数，在学习数列时就可将数列与函数的相关知识，如 单调性、最值等联系起来，遇到数列问题就可以借助
函数的思想解决问题． １利用函数的单调性研究数列的规律
关于，２的二次函数． 因为点（咒，Ｓ。）均在经过原点的一条抛物线上，并 且Ｓｐ—Ｓ。（户，ｑＥＮ＋且ｐ≠ｑ），所以Ｓ。图象的对称轴
鬈＜磊，优＞弩，ｍ＝８．
蠹毒
、／～
恒成立问题可转化为求最值问题・本题中： 对任意咒Ｅ
Ｎ＋，有ｂ。＜黑成立，即（６。）。。＜
方程为：咒一下Ｐ＋ｑ． 又点（Ｏ，Ｓ。）与点（乡＋ｇ，Ｓｐ＋。）关于直线咒一下ｐ－＋－ｑ
‘豇１０）”＝‘五１０）”与｝，所以当行＜９时，口川一口。＞ｏ，即
口。＋ｌ＞以。； 当咒一９时，ｎ。＋１－－（Ｚ。一０，即ａｌｏ＝口９；
口３一－－２，ａ６＝口５一口ｄ＝一１，所以
当竹＞９时，ｎ。十１－－ａ。＜ｏ。即口。＋１＜ｎ。；
所以口１＜口２＜…＜ｎ９一ｎｌｏ＞ａ１１＞口１２＞…
＃ｐ—ｔ，
故数列｛ａ。）中最大项为ａ。或ａ。。，其值为１０× （百１０）。，其项数为９或１０．
一，试问
彳例７
该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的 项数；若没有，说明理由．
已知函数，（ｚ）一丽１
ｎｎ＋１
（Ｔ＜一２），数列
躁析考虑函舭加而ｘ－√－＠一譬筹，
其图象如下图．
ｙ・ ｌ
｛口。｝满足口１—１，口。一，（一二），靠∈Ｎ＋．
（１）求ａ。．
（２）设以：口。２＋。＋口。２＋：阜…＋口；。＋。，是否仔在最
辨析方法 深化认知 提升能力——谈概率统计解题方法中培养数学核心素养
辨析方法深化认知提升能力——谈概率统计解题方法中培养
数学核心素养
朱婧;童嘉森
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2018(000)001
【总页数】3页(P2-4)
【作者】朱婧;童嘉森
【作者单位】贵州省贵阳市第三实验中学;北京市第八十中学
【正文语种】中文
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童嘉森老师个人简介_童嘉森老师是北京市第八十中学数学...
童嘉森老师个人简介：童嘉森老师是北京市第八十中学数学特级教师，现任八十中学教科研室主任、数学教师。
童嘉森老师1974年1月参加教育工作，至今从教已有35年。
35年来他先后担任过班主任、年级主任、学校团委书记、主抓教学的副校长等工作。
童嘉森老师对数学学科具有系统的理论基础知识和丰富的教学经验，教学中注重学生基础知识、基本概念、基本方法的形成和落实，善于启发学生的思维，调动学生的学习积极性，从教35年来教学成绩显著。
所教学生谢治平获1996年全国数学联赛北京赛区重点中学高中组一等奖；施海夏获1998年全国高考北京市理科状元。
35年来他在完成教育、教学工作的同时先后参加了《高中数学题库》、《高中数学知识应用问题》、《学习目标检测》（高一、高二、高三数学）、《高考综合科目备考与题解》、《走向优等生》、《龙门高考复习（数学）》、《2004全国普通高考复习指导3+x数学》、《数学阅读与欣赏》、等书的编写，并担任《高中数学复习精粹与练习》、《最新中学生数理化公式学习手册》、《乐学易考》、《巨人金榜高考》等书的主编。
多年来数十篇论文发表在《中学生数学》、《高三数、理、化》、《中学数学杂志》、《中小学数学教学》、《中学数学研究》、《中学数学杂志》、《朝阳教育研究》、《中国教育报》等报刊、杂志上。
著述近90万字。
其中“圆锥曲线的位置关系”一文被《中华优秀科技论文》（教育卷）选录。
论文“比较法在数学教学中的运用”编入《中国改革开放研究成果录》一书中。
“价值百万美圆的数学题”一文被《香港现代教学论坛杂志》录用。
92年参加全国教育科学“八五”计划国家教委和北京市教委重点课题《中学各科德育研究》，97年参加全国“九五”教育科学国家重点课题《高师、中小学数学建模理论、实践与跨世纪数学教育改革》的研究。
并担任子课题《中学数学建模理论与中学教学实践》的组长。
2001年主持研究北京市和朝阳区“十五”课题《中学生数学阅读能力培养的研究》被评为朝阳区“十五”优秀科研成果，童嘉森老师在教学中还十分注重培养青年教师的成长，多年来和他签约的徒弟有二十多名，其中有些青年教师已经成长为市、区骨干教师，在指导和培养青年教师课堂教学方面有显著的成绩。
谈立体几何综合题的解题策略
谈立体几何综合题的解题策略孙世林;童嘉森【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2016(000)003【总页数】3页(P1-3)【作者】孙世林;童嘉森【作者单位】北京市第八十中学;北京市第八十中学【正文语种】中文谈到立体几何综合题的解法,首先想到的是空间向量,向量法解决立体几何问题思路简洁、操作容易,很好地避开对空间想象能力要求较高的几何推理,越来越受到师生的青睐.向量法逐步成为当前高考应考的“主流”方法.然而我们发现,向量的引入并未使立体几何的学习变得容易,普遍存在对向量知识理解不到位、不能把握向量解题的关键、计算不过关等现象.下面通过对2015年的几个高考题的分析谈谈立体几何综合题的解题策略.向量具有“数”与“形”双重身份,兼具代数的严谨与几何的直观,用坐标形式向量解决立体几何问题,因其思路简单、程序明确、操作容易成为师生的首选.运用坐标形式向量解题,就是将空间点、线、面的位置关系及角、距离等问题转化为向量问题,从而实现“形”向“数”的转化,最后通过向量的运算解决问题.例1 (2015年新课标Ⅰ卷)如图1,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E、F是平面ABCD同一侧的2点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.(1) 证明:平面AEC⊥平面AFC.(2) 求直线AE与CF所成角的余弦值.(1) 方法1 如图2所示，连接BD,设BD∩AC=G,连接EG、FG、EF.在菱形ABCD 中,不妨设GB=1,因为∠ABC=120°,所以.因为BE⊥平面ABCD,AB=BC,所以AE=EC.又因为AE⊥EC,所以,且EG⊥AC. 在Rt△EBG中,可得,故.在Rt△FDG中,可得.以G为坐标原点,分别以的方向为x、y轴的正方向,|为单位长度,建立空间坐标系G-xyz.故，所以).设平面AEC的法向量为m=(x1,y1,z1),由所以所以y1=0,令z1=1,得所以).同理可求得,平面AFC的法向量,所以,即m⊥n.所以平面AEC⊥平面AFC.(2) 方法1 由(1)知). 所以故直线AE与直线CF所成角的余弦值为.坐标法解立体几何问题的步骤:建系—求坐标—运算.其中,建立恰当的空间坐标系是解题的关键之一,因此,要依据题目的条件寻找3条两两垂直的直线作为x、y、z轴,在本题中,我们选择以的方向为x轴、y轴的正方向,过点G与平面ABCD垂直的直线为z轴建立空间坐标系.第2个关键就是“计算”,此环节是向量法解题的难点,是学生经常容易出错的地方,要引起足够的重视.平时多进行求点的坐标、法向量的坐标以及数量积运算等内容的训练,确保运算的准确性.在解题中为避免难度较大的几何推理,同学们常建立空间坐标系利用坐标形式的向量解决问题,但试题中往往没有明确的垂直关系,建立坐标系要通过一定的转化、证明,计算难度较大,一味强调坐标法会造成得分的困难.出现这种现象一是空间想象能力、几何推理有待提高,再有就是对向量知识本质认识不够.恰当利用非坐标形式的向量解题,既可避开技巧要求过高、转化复杂的几何法,又可以很好的回避有时建系的困难.下面继续探究例1.(2) 方法2 不妨设GB=1,由(1)中方法1可知.如图2所示,又.所以故直线AE与直线CF所成角的余弦值为/3.本题用坐标形式向量解题,关键是建立空间坐标系和求相关点的坐标,难度较大,采取非坐标形式的向量法,应用向量基本定理,分别选定2个不共线的向量作为基底表示和,利用数量积的运算得解,此种方法具有思维量小,思路清晰,运算简单的特点,大大降低了难度.例2 (2015年陕西卷) 如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥是AD的中点,O是AC 与BE的交点,将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如图4.(1) 证明:CD⊥平面A1OC;(2) 若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.(1) 略.(2) 由条件知,平面A1BC⊥平面BCDE,A1O⊥OC,所以A1C=1,所以△A1BC为等边三角形,取A1C中点F,所以BF⊥A1C,所以.由(1)可知DC⊥A1C且.又.设平面A1BC与平面A1CD夹角为θ,所以,即,所以,所以平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.立体几何的综合题,有时建立空间直角坐标系难度较大,有时虽然容易建立空间直角坐标系,但求相关点的坐标却运算量较大,所以我们可以适时选择非坐标形式向量,应用空间向量基本定理,将表示有关线、面的向量用一组基底表示,利用数量积的运算得解.例3 (2015年江苏卷) 如图5,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=π/2,PA=AD=2,AB=BC=1.(1) 求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;(2) 点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成角最小时,求线段BQ的长.(2) 设,则由已知可证AP、AD、AB两两垂直,所以令1+2λ=t,t∈[1,3],所以当且仅当t=9/5,即λ=2/5时,的最大值为.又函数y=cos x在)上是减函数,故此时直线CQ与DP所成角取得最小值.又,所以. 用向量法解决立体几何探究性问题明显优于传统的几何法,平时我们可以有意识地进行用非坐标形式的向量法解决探究问题的训练,这样可以很好地弥补坐标法的不足,完善数学思维.非坐标形式的向量解决立体几何问题,关键是选择合适的基底,利用平面向量基本定理及向量加法、减法的几何意义,把有关向量表示出来,再把有关问题转化为向量之间的运算来解决.向量法功能强大,但也不是什么样的题目用向量法都好,在证明线、面的平行与垂直问题时向量法有时显得有些烦琐,反而传统方法(即几何法)寥寥数语便可搞定,所以解题时要适时地选择坐标形式或非坐标形式,同时结合传统的几何法解决问题,从而方便快捷地解决立体几何问题.我们再来看例1的第(1)问.(1)方法2 由例1中(1)方法1,知EG⊥AC且.如图2所示,在直角梯形BDFE中,可得.又,由EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.又AC∩FG=G,所以平面AEC⊥平面AFC.在用向量法解题的过程中,我们知道建立空间坐标系同样要进行必要的点、线、面位置关系的证明.在例1第(1)问解法1中,由于受向量法强大的诱惑力的影响,多数同学不加思考地采取了通过2个平面的法向量垂直,证明2个平面垂直;其实分析面面垂直的判定定理,仔细分析相关线面的位置关系用传统的几何法很快就解出来了：所以要求学生要有很好空间想象能力、规范表达及严谨的几何推理能力,注意向量法和几何法的综合应用.选择好不同的方法,发挥最大的功效,让方法真正的为我们的解题服务.例4 (2011年北京卷) 如图6所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.(1) 求证:BD⊥平面PAC;(2) 若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值;(3) 当平面PBC与PDC垂直时,求PA的长.(1) 因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD. 又因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(2) 由图可知,.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.又底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.所以又PA=AB,所以PB2=AP2+AB2=8,又底面ABCD是菱形,,所以所以PB与AC所成角的余弦值为/4.(3) 设,设AP=a,依题意知|p|=|q|=2、|r|=a,向量p、q的夹角为60°,r⊥p,r⊥q.设平面PBC的法向量为m=p+xq+yr,所以所以又p2=4,p·q=2×2×cos 60°=2,p·r=0,q·r=0,所以所以因为平面PBC⊥平面PDC，所以m与平面PDC是共面向量,所以存在实数λ1、λ2使即,所以所以1/2=3/a2,所以a2=6,即PA的长为.本题第(1)问采取几何法;第(2)问根据数量积的概念,通过非坐标形式的向量解题;第(3)问是逆向思维的问题,利用平面PBC与平面PDC垂直反推棱PA的长.若用坐标形式的向量求解,建立空间坐标系会误把PB、PD、PA所在直线为x、y、z轴造成错误.若坐标系建得正确,求相关点的坐标也容易求错.采取非坐标形式的向量求出其中一个平面的法向量,利用此法向量和另一个平面是共面向量求出棱PA的长,证明点共面问题可转化为证明向量共面问题.如要证明P、A、B、C 4点共面,只要能证明或对空间任一点O,有或(x+y+z=1)即可.共面向量定理实际上也是3个非零向量所在直线共面的充要条件.向量作为一种数学工具,它既可以进行代数运算又具有几何推理的功能.利用向量的几何意义,选择好坐标形式或非坐标形式的向量可以很方便地解决立体几何中很多问题.然而,向量法虽强,但它并不是万能的,我们要根据题目的条件和特点恰当应用传统的几何法,以完善立体几何思维,形成恰当的解题思路.。
高考数学试题的优美解法
高考数学试题的优美解法
王文英;刘力;童嘉森
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2013(000)021
【摘要】高考数学命题是命题专家依据课标和考试说明，科学设计典型问题，它
不仅含有重要的数学知识和基本技能．而且蕴含丰富的数学思想方法．高考试题的考查首先是以能力立意，在考查基础知识的同时，考查运算求解、推理论证等能力．【总页数】2页(P4-5)
【作者】王文英;刘力;童嘉森
【作者单位】北京市朝阳区教育研究中心;北京市朝阳区教育研究中心;北京市第八
十中学
【正文语种】中文
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几何解法分析 --2019年高考数学试题圆锥曲线部分求解为例
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利用向量方法解立体几何中的位置关系问题
利用向量方法解立体几何中的位置关系问题刘博;童嘉森【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2012(000)023【总页数】2页(P4-5)【作者】刘博;童嘉森【作者单位】北京市垂杨柳中学;北京市第八十中学【正文语种】中文向量是沟通代数与几何的桥梁,它既有代数身份又有几何身份.通过新课标的学习,学生了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言和方法表示和解决数学和物理中的一些问题.对于不少复杂的立体几何问题,引入平面向量后,通过将空间元素的位置关系转化为数量关系,将过去的形式逻辑证明转化为数值运算为立体几何代数化带来了极大的便利.1 不建空间坐标系利用向量的方法解立体几何的位置关系问题在高中数学必修5中学习了平面向量的数量积,加减法运算法则,对于2个向量的数量积有如下的性质:设a,b为2个非零向量a⊥b⇔a·b＝0,利用这些知识就可以解决一些传统方法不太好证明的位置关系问题.例1 设四面体ABCD 中,AB⊥CD ,AC ⊥BD ,求证图1图2方法2:如图2,过A 作AO⊥面BCD ,连接BO、CO、DO延长分别交于E、F、G,可以证明O为垂心,所以DG⊥C.又因为AO⊥面BCD ,所以AO⊥BC ,所以BC ⊥面AGD .又因为AD⊂面AGD,所以BC⊥AD.本题方法2采用了传统的方法,即利用三垂线定理及其逆定理来证明异面直线垂直,但是这种方法要添加辅助线,而如何添加辅助线比较困难,不易捉摸.如果利用建立空间直角坐标系来求解,又不容易建系,所以此时采用向量法即方法1来证明垂直显得更加的简洁.例2 在四边形ABCD中,AB＝AD＝CD＝1,BD＝2,BD ⊥CD,如图3,将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD,使平面A′BD ⊥平面B CD,则下列结论正确的是( ).AA′C⊥BD;B ∠BA′C＝90°;C △A′DC是正三角形;图3本题利用平面向量解立体几何问题可以不用建系,这样省去了找两两垂直的过程,也不用那么多的复杂计算,只需要利用平面向量中的加法法则,将空间中的线转化为同一个平面中,再利用平面向量的数量积进行考查即可.在转化过程中要注意有时将空间的线往同一个平面转化时,可以找到几个满足条件的三角形法则,最后选择运用的要是使得数量积中夹角好求的那种情况进行转化.2 建立空间坐标系利用向量的方法解立体几何的位置关系问题立体几何中的位置关系也就是线与线的位置关系、面与面的位置关系以及线与面的位置关系,这些位置关系涉及到的都是图形问题,所以想要用空间向量来解决位置关系问题,就要用相应的向量来表示这些图形,而空间向量与平面向量没有本质区别,都表示矢量,它们的运算也完全相同.因此,利用空间向量解决立体几何问题,也是先利用向量表示空间的点、直线、平面等元素,建立立体几何与空间向量的联系,进行空间向量的运算,作出结果的几何解释,继而得出几何结论.例3 (2012年北京理16改编)在R△ABC 中,∠C＝90°,BC＝3,AC＝6,D、E分别是AC、AB 上的点,且,DE＝2,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1C⊥DE.如图4.(1)求证:A1C ⊥平面B CDE;(2)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.图4(1)因为C D⊥DE,所以DE⊥平面A1CD,又因为平面A1CD,所以又因为,所以平面B CDE.(2)如图5建立坐标系则D (-2,0,0)、A1(0,0,E(-2,2,0),假设线段BC上存在点P,设P点坐标为(0,a,0),则,则图5假设平面A1DP与平面A1BE垂直,则n1·n＝0,所以3a+12+3a＝0,6a＝-12,a＝-2.因为0＜a＜3,所以不存在线段BC上不存在点P,使平面A1DP与平面A1DE垂直. 本题的第1问可以用传统法也可以用平面向量的数量积的方法来做,但是明显用综合方法更简单,利用平面向量的加法和数量积反而增加了运算,有些繁琐,因此不是所有的题目在位置关系证明的时候向量法都适用,而第2问中点P的位置是不确定的,需要学生根据已知条件进行确定,对于这种开放式问题,如果采用综合推理的方法来找、证不是很容易入手,而采用向量代数的方法则先证明2个平面的法向量垂直,从而证得面面垂直或者推出矛盾发现不存在这样的点.采用向量法建立空间直角坐标系,转化为向量问题进行求解证明.应用向量法解题,思路简单,易于操作.例4 (2012年福建卷)如图6,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1＝AD＝1,E为CD中点.(1)求证:B1E⊥AD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由;图6图7(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0)使得DP∥平面B1AE,此又设平面B1AE的法向量为n＝(x,y,z).因为n⊥平面B1AE,所以取x＝1,得平面B1AE的一个法向量为n＝(1,使DP∥平面BAE,只1又因为DP⊄平面B1AE,所以存在一点P,使得DP∥平面B1AE,此利用空间向量解立体几何时,不仅对开放式的位置关系问题中比较好用,而且对于求线面角、二面角的平面角也比较容易,它可以使几何问题代数化,比如可以将线面角转化为2个方向量的夹角问题,省去了找线面垂直.也有一些题目传统的综合法和向量方法都比较适合,所以对于立体几何中的位置关系证明问题,要选择最恰当的方法.。
关于概率统计中几个概念的辨析
关于概率统计中几个概念的辨析蒋晓东;骈红;童嘉森【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2016(000)013【总页数】4页(P1-4)【作者】蒋晓东;骈红;童嘉森【作者单位】北京市朝阳区教研中心;北京市三里屯一中;北京市第八十中学【正文语种】中文数学概念作为数学的根基,提供了数学知识发展的脉络,是分析各类数学问题及学会数学思维进而解决数学问题的基础.本文以概率统计中的几个概念为例,谈谈对这些概念的辨析.统计意识不仅是一种数的感觉,更是一种思维方式,即收集数据、整理数据和分析数据,并结合实际作出推断和决策.整合数据是统计的一个强有力的工具,整合数据的方式有2种:一是图、表;二是统计量.高中数学主要涉及频率分布直方图、茎叶图和散点图3种统计图,包括制作和理解2个方面的要求.当收集到的数据容量偏大时,逐个分析计算变得很困难,绘制频率分布直方图是个不错的选择,画完直方图后我们看到了什么?首先看到的是小矩形间面积的差异,这正好对应各组数据频数、频率间的差异;其次要强调审图的策略，注意力的重点是找中心、看散度(集中、分散的程度).中心是指直方图中的众数、中位数和平均数,其中众数是分布中“尖峰”的中值,中位数是分布的中间点,把观测数据(面积)对半分;再说直方图的散度,看图象的起伏程度,它对应于数据的方差.频率分布直方图并不是唯一选择,茎叶图的应用也非常广泛.使用茎叶图解决统计问题有2个突出的优点:一是绘制图形没有损失信息,它保留了原始的观测数据;二是茎叶图可以随测随录,表示2个人以上的比赛结果,简便易行.绘制茎叶图时区分茎、叶是为了方便登录数据,规定数据的前1位或前几位为茎就等于自动选择了组距.同样,和频率分布直方图一样,解读茎叶图应该要看图形的整体形态,其实茎叶图就像侧躺的直方图,茎叶图是枝繁叶茂还是一枝独秀,反映数据的散度截然不同.以人教A 版《必修3》第56页的100位居民某年的月平均用水量(单位:t) 为例,如表1.将表1中的数据汇总整理得到频率分布表(如表2)、直方图(如图1)、茎叶图(如图2).在此，为了充分反映茎叶图就像侧躺的直方图，我们不妨作一张特殊的茎叶图，如图2所示(特别之处在于茎叶图中茎上0.5所在行的数读作0.5,0.5,0.6,0.6,0.7,0.8,0.8,0.9；茎上1.5、2.5、3.5所在行的数读法类似，其他读法不变)我们可以看到，2个图非常相似,我们看到茎叶图其实像是侧躺着的直方图.这是因为直方图中所选择的分组和茎叶图中的茎完全一样.而茎叶图的分组组数(即茎数)都与同组资料的直方图对应.从算术平均数到加权平均数,再到数学期望,其实是一个很大的跨越.从内容上讲,是一个逐步深入的螺旋上升的过程.从方法上讲,是科学性不断加强的过程.离散型随机变量的均值(数学期望)的意义是随机变量可能取值的平均值,在统计中就是总体平均值,是一个理论值.如何体现数学期望的意义?例如:随机抛掷一枚骰子,所得点数的期望Eξ=3.5,有些学生感到对这一结果难以理解,认为骰子的点数只存在6个整数,不可能出现3.5这样一个带有小数点的数值结果.那么3.5这一数值到底是什么含义?它与实际值之间有何种联系呢?事实上,计算结果应该是多次实验后出现的实际值的平均数,刚好反映了数学期望值的确定性与实际值不确定性之间的联系.假设他射箭n次,击中7、8、9和10环的次数分别为n1、n2、n3、n4.由频率和概率的关系,当n足够大时.n次射箭击中的平均环数为用概率代替频率,得到一个理论上的平均值9,这个平均值也称为数学期望,期望值反映了运动员的真实射箭水平.关于样本均值和数学期望的关系,我们可以利用Excel中的Randbetween函数模拟试验.通过表格、条形图等多元表征直观表示样本平均值的波动情况,促进理解随机变量的均值(总体的均值)是常数,而样本的平均值是随着样本的不同而变化的,且随着样本容量的增加,样本平均值的波动幅度变小,逐渐稳定到总体的均值.因此我们常用样本平均值来估计总体的均值.古典概型与几何概型问题都是典型的数学建模.古典概型是各类概率模型中最基本的一种,是认识和理解概率本质及其基本思想的最好素材.解决概率计算问题的关键是要先判断该概率模型是不是古典概型,再找出随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.分析(1) 如何表示这个试验的可能结果?(2) 所有可能结果有多少个?(3) 所有可能结果是否等可能发生?(4) 怎样计算事件的概率?解(1) 对2枚骰子加以标记,区分第1枚和第2枚,用(m,n)表示第1枚骰子的点数为m,第2枚骰子的点数是n.(2) 利用列表或画树形图等方法得所有可能结果有6×6=36个.(3) 掷第1枚骰子有6个可能结果,由于骰子质地均匀,这6个可能结果是等可能的.同样,掷第2枚骰子也有6个等可能的结果.所有掷2枚骰子所得的36个可能结果是等可能的.(4) 设A={2数之和为5},A包含的基本事件有4个,分别为(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1),所以这里如果没有“等可能”这个限制,那么所有可能结果为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) ,(4,4),(4,5),(4,6),(5,5),(5,6),(6,6).即所有可能结果为21个也是正确的,相应地A包含的基本事件可以是2个．此处如(3,6)和(3,3)、(1,2)和(2,2)等都不是“等可能”的,从而易导致错误结论P(A)=2/21.例3 如图3,在圆心角∠AOB=90°的扇形中,以圆心O为起点作射线OC与OD,求使得∠AOD和∠BOC都不小于30°的概率.错解设事件A为“作射线OC与OD,使得∠AOD和∠BOC都不小于30°”,则满足条件的所有基本事件的区域测度为μA=90°-30°-30°=30°,而全部事件所构成的区域测度为μΩ=90°,由几何概型的公式得错因上述错误原因是误认为,C、D 2点的前后顺序位置不可交替.若可交替的话就不属几何概型了.故射线OC与OD只能落在扇形的中间部分30°的圆心角区域内(用虚线把90°的圆心角3等分,即图中虚线围成区域)且前后顺序不变.正解1 依题意知所作的任意射线OC与OD是相互独立的,故可看作是“独立同时发生”与“几何概型”的混合,设“作射线OC,使得∠BOC不小于30°” 为事件C.设“作射线OD,使得∠AOD不小于30°” 为事件D,则,依独立同时发生的概率公式得正解2 因为所作的射线OC与OD是相互独立的,可看作是2个独立的变量,因此原题应属于面积型的几何概型,而不是角度型的几何概型.作射线OC,使得∠BOC=x,作射线OD,使得∠AOD=y,所以0°≤x≤90°,0°≤y≤90°.使得∠BOC≥30°且∠AOD≥30°的x、y应满足条件设“使得∠AOD和∠BOC都不小于30°”为事件A,则事件A的所有基本事件所构成的区域为图中的阴影部分,从而.由于几何概型的概率是无法用列举法来验证的,所以上面3种不同的观点与思维到底谁是谁非,必须从概念、定义去透析,明辨是非曲直.其中正解1观点及相应的思维正确的原因是:事件C是否发生对事件D发生的概率没有影响,所以事件C与D是相互独立的.另外单独看事件C(或D)又属“角度型的几何概型”，故理解为“独立同时发生”与“几何概型”的混合是合理的.而正解2观点及相应的思维正确的原因是:任作的2条射线OC与OD是相互独立的行为且没有任何的依存关系,故可用二维空间去处理.若把“任作射线OC且任作射线OD”理解为一个基本事件,那这些基本事件显然有无限多个,所以就具备了几何概型的“无限性”的特征.另外由2个独立变量x、y可确定二维空间的一个唯一的点(x,y),且每一个点(x,y)对应于“作射线OC与作射线OD”的一个基本事件,这些基本事件都是等可能发生的,故原题又符合几何概型的“等可能发生”的特征.依上述分析判断属于面积型的几何概型是显而易见的.二项分布与超几何分布是2个重要且有广泛应用的离散型随机变量模型,实际中的许多问题都可以利用这2个概率模型来解决.二项分布和超几何分布极易混淆,根源在于对抽样的概念理解存在错误.(1) 当n=500、5000、50000时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到1件次品的概率各是多少?(保留6位小数)(2) 根据(1),你对超几何分布与二项分布的关系有何认识?分析有放回的就是二项分布问题,不放回的就是超几何分布问题.解(1)当以放回方式抽取时,设3件中的次品数为X,则.当以不放回的方式抽取时,抽取的次品数X服从于超几何分布: 当 n=500时,当 n=5 000时,当 n=50 000时,(2) 当产品总数很大时,超几何分布近似为二项分布.当产品数很大、抽出产品数较少时,每次抽出产品后,次品率近似不变,这样就可以近似看成每次抽样的结果是相互独立的,抽出产品中的次品数近似服从二项分布.从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10 d的数据作为样本,监测值频数如表4所示.(1) 从这10 d的PM2.5日均值监测数据中随机抽出3 d,求恰有1 d空气质量达到一级的概率;(2) 从这10 d的数据中任取3 d数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的时间,求ξ的分布列.(3) 以这10 d的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按366 d计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级?(精确到整数)分析(1) 10 d中有3 d为一级,4 d为二级,3 d为超标,按超几何分布求概率;(2) ξ服从超几何分布;(3) 一年中平均达到一级或二级时间服从二项分布.解(1) 记“从10 d的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3 d,恰有1 d空气质量达到一级”为事件A,则.(2) 其中N=10,M=3,n=3,ξ的可能取值为,其分布列见表5.(3) 依题意可知一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P=7/10,设一年中空气质量达到一级或二级的时间为η,则η～B(366,0.7),E(η)=366×0.7=256.2≈256,故一年中平均有256 d的空气质量达到一级或二级.二项分布和超几何分布的区别在于抽样时是否放回,有放回抽样时,每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到某物的概率都是相同的,可以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时,取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的,此种抽样为超几何分布模型.因此,二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.另外,当产品数很大、抽出产品数较少时,超几何分布近似为二项分布.概率与统计是高中的一个重要知识点,也是一个易错点.而概念模糊、对数学模型实质理解模糊是造成错误的“罪魁祸首”.概念被认为是人脑对事物本质特征的反映,为此我们应高度重视对概念本质的理解辨析、分类建模型问题的研究,达到融会贯通,举一反三.。
谈高考中散点图的常考题型
谈高考中散点图的常考题型刘春红;童嘉森【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2016(000)009【总页数】2页(P1-2)【作者】刘春红;童嘉森【作者单位】首都师范大学数学科学学院;北京市第八十中学【正文语种】中文散点图是在平面直角坐标系中,表示具有相关关系的2个变量的一组数据图形. 它能直观地反映变量间的变化趋势,以便确定用何种函数解析式来模拟变量间的关系. 近几年来,散点图部分考查知识点越来越灵活,由原来单一知识的考查向知识交汇的考查不断推进,现将高考中散点图部分的常考题型作如下总结.A 变量x与y正相关,u与v正相关;B 变量x与y正相关,u与v负相关;C 变量x与y负相关,u与v正相关;D 变量x与y负相关,u与v负相关例2 如图3给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么“红豆生南国,春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好?( )A x的方差小于y的方差；B x的中位数大于y的中位数；C x的众数小于y的众数；D z的中位数是x和y的中位数之和从这次考试成绩看：(1) 在甲、乙2人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________;(2) 在语文和数学2个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是________.(1) 设总成绩名次为x,语文成绩名次为y,作直线y=x,则直线y=x上方表示y>x,直线y=x下方表示y<x.由甲和乙在图7中的位置可知:甲的语文成绩名次大于甲的总成绩名次.乙的语文成绩名次小于乙的总成绩名次.因此,乙的语文成绩名次比其总成绩名次靠前.(2) 由图6可知,丙同学的总成绩名次位于这37位学生中的倒数第5位,因此可在语文成绩与总成绩的排名图中找到丙同学所代表的点,如图8所示.然后以该点为基准作线段分别垂直于横轴与纵轴;同理在数学成绩与总成绩的排名图中也按此操作,得出图9.显然,通过对比2图中横线的高度,得出丙的数学成绩名次比语文名次靠前.此外,还有一些类似问题不太容易画出散点图,如狄利克雷函数难以用图象法表示,只能用语言来描述.A D(x)的值域为{0,1};B D(x)是偶函数;C D(x)不是周期函数;D D(x)不是单调函数重视基础知识考查,同时突出能力的考查是近几年来高考的命题方向,从以上几个题目可以看出,近年来高考中对散点图的考查突出了对数学基础知识的考查,并且考查角度越来越灵活,方式也越来越新颖,但是此类题目的共同特点是既没有复杂的计算,也没有抽象的概念．在这类题型的考查中我们应该不断提高对题目所给散点图阅读理解和应变能力.。
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童嘉森老师个人简介：童嘉森老师是北京市第八十中学数学特级教师，现任八十中学教科研室主任、数学教师。
童嘉森老师1974年1月参加教育工作，至今从教已有35年。
35年来他先后担任过班主任、年级主任、学校团委书记、主抓教学的副校长等工作。
童嘉森老师对数学学科具有系统的理论基础知识和丰富的教学经验，教学中注重学生基础知识、基本概念、基本方法的形成和落实，善于启发学生的思维，调动学生的学习积极性，从教35年来教学成绩显著。
所教学生谢治平获1996年全国数学联赛北京赛区重点中学高中组一等奖；施海夏获1998年全国高考北京市理科状元。
35年来他在完成教育、教学工作的同时先后参加了《高中数学题库》、《高中数学知识应用问题》、《学习目标检测》（高一、高二、高三数学）、《高考综合科目备考与题解》、《走向优等生》、《龙门高考复习（数学）》、《2004全国普通高考复习指导3+x数学》、《数学阅读与欣赏》、等书的编写，并担任《高中数学复习精粹与练习》、《最新中学生数理化公式学习手册》、《乐学易考》、《巨人金榜高考》等书的主编。
多年来数十篇论文发表在《中学生数学》、《高三数、理、化》、《中学数学杂志》、《中小学数学教学》、《中学数学研究》、《中学数学杂志》、《朝阳教育研究》、《中国教育报》等报刊、杂志上。
著述近90万字。
其中“圆锥曲线的位置关系”一文被《中华优秀科技论文》（教育卷）选录。
论文“比较法在数学教学中的运用”编入《中国改革开放研究成果录》一书中。
“价值百万美圆的数学题”一文被《香港现代教学论坛杂志》录用。
92年参加全国教育科学“八五”计划国家教委和北京市教委重点课题《中学各科德育研究》，97年参加全国“九五”教育科学国家重点课题《高师、中小学数学建模理论、实践与跨世纪数学教育改革》的研究。
并担任子课题《中学数学建模理论与中学教学实践》的组长。
2001年主持研究北京市和朝阳区“十五”课题《中学生数学阅读能力培养的研究》被评为朝阳区“十五”优秀科研成果，童嘉森老师在教学中还十分注重培养青年教师的成长，多年来和他签约的徒弟有二十多名，其中有些青年教师已经成长为市、区骨干教师，在指导和培养青年教师课堂教学方面有显著的成绩。
对数学高考复习的建议北京第八十中学 童嘉森为了帮助参加高考的同学们在最后的高考冲刺复习阶段提高效率，我就数学高考冲刺复习谈谈个人的一点意见，供同学们参考。
一、要注意数学知识的整体性、综合性高考本身就其性质来讲是一次选拔性考试，由于受到考试时间和考试范围的限制，不可能将我们所学过的数学知识逐一编题进行考察，特别是我们要通过考试考察同学们的数学水平和数学能力，题目出得太难了和太容易了都不可能，那么只能在知识的整体性、综合性上动脑筋了，请看下面的例子：例1.对于实数集R 上可导函数()f x ，满足()0x f x '⋅<，则必有（ ）A. ()()()011f f f +>-B. ()()()2011f f f +<-C. ()()()021f f f +<-D. ()()(1)201f f f -+>解：由()0x f x '⋅<知()f x 在(),0-∞上递增，在()0,+∞上递减∴(1)(0)f f -<，(0)(1)f f >即：()()()2011f f f +<- 选B这里题目虽然没有复杂的计算却巧妙的考察了有关不等式、导数、函数的单调性等概念。
对于我们每个同学来说，清晰我们学过的基本概念是我们搞好高考复习的基本要求。
例2已知2224()2cos x x x f x x x 的最大值为M ，最小值为N ，则（ ） A.M+N=4 B. .M-N=4 C. M+N=2D. .M-N=2解：∵2sin ()12cos x x f x x x ，∴令g (x ) =2sin 2cos x x x x ，则g (x )是奇函数 令max m x ()()i g x A g x A 则，于是max m x ()1,()1i f x A f x A∴M+N=2 选C本题主要考察了有关的三角公式、函数的奇偶性以及函数的最值性等概念。
使我们再一次看到整体掌握数学概念、综合运用所学数学知识解题的重要性。
例3 两游泳者在50米游泳池的对边上同时开始游泳，1人以每秒2.5米、另一人以每秒321米的速度进行，他们游了4分钟，若不计转向时的时间，则他们迎面闪过的次数为（ ）A.7次B.8次C.9次D.10次解：我们不妨观察时间的一半2分钟的情形：∵甲游50米用205250=⨯秒； 乙游50米用305350=⨯秒∴在120秒内甲可以游六个单程，（50米）乙可以游四个单程（50米） 如图所示：显然甲2分钟后经过6个单程、乙2分钟后经过4个单程都回到各自的出发点，他们相遇的情况如下图所示：如图中点A 、B 、C 、D 、表示2分钟，若不计转向时的时间，则他们迎面闪过的次数为4次，所以本题选B本题的解法不止一种，这里我们采用的是物理学中常常使用的作出两人运动的时间——位移图来进行分析，使抽象的问题直观化，从而达到把复杂的问题简单化的目的。
我们再一次看到综合灵活地运用我们学过知识来分析、解决问题的优越性，和整体把握知识的必要性。
下面我们再来看一个几何的例子：例4如图正四面体ABCD 中M 、N 分别是BC 和AD 的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为___________.解法1：设正四面体边长为a ，O 为MD 的中点，连接ON 、OC ，则ON ∥AM 并且12ON AM =AM ∴∠ONC 或其补角为异面直线AM 与CN 所成角 ∵1324ON AM a ==，32CN = ∴22221374164OC MC MO a a =+=+= 在△CON 中由余弦定理得222137241616cos 333242a a a CNO a a +-∠==⋅⋅ 即：异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为23 解法2：设正四面体边长为2如图∵AM AC CM =+，CN CA AN =+∴AM CN AC CA AC AN CA CM CM AN ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅2cos 60cos 600AC AC AN CA CM =-+⋅︒+⋅︒+ 41102=-+++=-∵()222cos ,33AM CNAM CN AM CN ⋅-<>===- ∴异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为23这里解法1我们运用的是传统的方法，显然辅助线的添加方法是有技巧的，计算量也是偏大的，而解法2灵活运用了我们学过的向量的知识，解起来显得比较轻松。
总之，在高考复习中注意数学知识的整体性、综合性，就是要将不同单元、不同学科、不同年级所学的数学知识进行去伪存真、去粗取精、由表及里、由浅入深的提炼加工。
建立知识之间的横纵联系，使知识系统化、条理化、网络化，以便于记忆、储存、提取和应用。
就是要求我们在复习中要深刻领会所学过的数学概念，全面掌握所学过的数学知识，灵活运用所学过的数学方法，寻求多种途径和最佳的解题方法。
二、解题中要注意思维的严谨性、深刻性从2005年开始在数学高考中命题中就重点强调：对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合。
对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试题的主体。
注重知识的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。
我个人分析在09年的高考题中大概很少会出现同学们看到题目后，没有任何思路，或者是有思路但计算十分繁杂的问题。
但是，我们要特别防止出现考生一看就会，一做就错的问题。
一份高水平的试题应该是有一定区分度的，让基础薄弱的学生高高兴兴地丢分，痛痛快快地犯错，是我们在高考复习中值得重视的一个问题。
请看以下几个例子例1 求双曲线22194x y -=中，被点P （2，1）平分的弦所在的直线方程 〖错误解法〗 用代点作差法，设所求弦的两个端点分别为：A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）则 22112222194194x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①② ②-①得 ()()()()12121212094x x x x y y y y +-+--= 当x 1≠x 2时， ()()121212124899AB x x y y k x x y y +-===-+， 所以AB 方程为：81(2)9y x -=- 即：8970x y --= 〖错因分析〗如果我们将直线方程代入双曲线方程中得2281123730x x -+=， 此时 ()21124283730∆=--⨯⨯< 所以直线与双曲线无交点，故中点弦不存在。
为了避免发生上述错误，我们应该对中点弦是否存在先作出判断，一种方法是先作草图直观观察，另一种方法是用“△”判定。
我们强调同学们在高考复习中要做到思维的严谨性和深刻性就是要强调我们同学要把握对所学数学概念的准确性和对所遇数学问题思考的正确性，这是我们提高复习效率的关键。
我们再来看下列问题例2 已知椭圆1162522=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点21,F F 的连线互相垂直，求21F PF ∆的面积。
解答一：设椭圆上有一点P ，则由椭圆的定义：21PF PF +=a 2=10 ① ①式两边同时平方，可得：1002222121=+⋅+PF PF PF PF 因为21F PF ∆是直角三角形，则36)2(22221==+c PF PF 所以：3221=⋅PF PF21F PF ∆的面积为：12121162PF F S PF PF ∆=⋅= 解答二：直接代入椭圆的焦点三角形面积公式得：122tan 16tan 45162PF F S b θ∆==︒=解答三：设椭圆上有一点P ()y x ,，由已知：()()0,3,0,321F F -，∵PF 1⊥PF 2 则121-=⨯PF PF K K 即 133-=-⋅+x y x y 则： 0922=-+y x ① 又因为点P 在椭圆上，则：1162522=+y x ② 由①、②可得：92562=y 91752-=x （ 这是不可能的） 因此没有这样的点符合已知条件。
显然，解法一和解法二总可以求出面积，而解法三则不能求出面积。
请同学们想一想在上述这三种方法中是不是有一种方法是错误的，错在哪里？例3已知向量2cos ,tan 224x x a π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin ,tan 2424x x b ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，令()f x a b =⋅，是否存在实数[]0,x π∈，使()()'0f x f x +=（其中()'f x 是()f x 的导函数）？若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之.〖错误解法〗()22cos sin tan tan 242424x x x x f x a b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1tan tan 122222221tan 1tan x x x x x x x +-⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭-+22sin cos 2cos 1222x x x =+-.cos sin x x += 令()()0()()sin cos cos sin f x f x f x f x x x x x ''+=⇒+=++-.0cos 2==x 可得[]0,2x ππ=∈ ，∴存在实数[]0,x π∈，使()()'0f x f x += 〖错因分析〗∵这里2x π=使得向量a 不存在，进而使得()f x 没有意义， ∴ 不存在实数2x π=使()()0f x f x '+=. 例4 已知双曲线的右准线为x = 4，右焦点为F （10，0），离心率e = 2，求双曲线的方程〖错误解法1〗 ∵210,4a c x c === ∴222240,60a b c a ==-= ∴所求双曲线方程为：2214060x y -= 〖错误解法2〗 ∵2,10c e c a === ∴5a = ∴2221002575b c a =-=-= ∴所求双曲线方程为：2212575x y -= 〖错误解法3〗 ∵22,4c a e a c === ∴8,16a c == ∴22222168192b c a =-=-= ∴所求双曲线方程为：22164192x y -= 〖错因分析〗以上三种错解的原因都是按双曲线中心在原点得出的结论，造成遗漏题设条件，从而导致错误的结果。