关于分块矩阵的对角schur补

关于分块矩阵的对角schur 补汤凤香1,2，何淦瞳2，方秀男1，李培培2（1.佳木斯大学 数学系，黑龙江 佳木斯 154007；2.贵州大学 理学院，贵州 贵阳 550025）摘 要 本文利用矩阵分块的思想，主要证明了I-块严格对角占优阵的对角schur 补仍然是I-块严格对角占优阵，同时利用连续性证明了I-BDD 的对角schur 补还是I-BDD 。

关键字 对角schur 补，I-块严格对角占优阵，块对角占优阵 中文分类号 文献标识码0 引言1近年来，很多研究者在研究矩阵的schur 补问题并且取得了一定的成果，如在[2，5]中证明了半正定矩阵、M-阵、H-阵的schur 补仍是半正定矩阵、M-阵、H-阵；并且它们的某些性质已经被应用到数值分析中的Gauss-Seidel 迭代法的收敛问题上如。

文献[1]对分块矩阵作了详细的研究，[1]证明了块严格对角占优阵的schur 补仍然是块严格对角占优阵。

[5]证明了严格对角占优阵的对角schur 补仍然是严格对角占优阵。

鉴于[1]和[5]中介绍的关于矩阵分块和对角schur 补的性质，本文主要证明了I-块严格对角占优阵的对角schur 补仍然是I-块严格对角占优阵，同时利用连续性证明了I-BDD 的对角schur 补还是I-BDD 。

1 给出一些相关定义考虑⨯n n 复矩阵A ，它有如下的分块： 12(1)s s ss A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121s 21222SA A A A A A A=其中ll A 是A 的一个l l n ⨯n 的非奇异主子阵，l l l n =∑ s=1=1,2,,s, n ，简记()s s lm A A ⨯=设S 表示集合{1,2,,};s k M 表示k 阶M-矩阵[3]； I 表示单位阵；n nC⨯表示所有n n ⨯复矩阵；n nsC ⨯表示n n C ⨯中所有形如（1）的s s ⨯块矩阵；假设()()n nlm s lms s s sA A C ⨯⨯⨯=∈，设N(A)=A 定义为块矩阵A 的范数矩阵，其中∙是某个consistent 矩阵范数。

定义1.1]1[ 设n nlm s A C ⨯⨯=∈s s（A ）且ll A 非奇异1l s = ，2，，，如果111,,,(2)slllm m m lA A l S --=≠≥∀∈∑，则称A 是I-块对角占优（简称s I BDD -）；如果对l S ∀∈，（2）式严格成立，则称A 是I-块严格对角占优（简称s I BSDD -）。

注：为了方便s I BSDD -可以简记为I BSDD -，其它符号同上。

作者简介： 汤凤香，女，1978年生，贵州大学在读硕士，佳木斯大学教师，研究方向：特殊矩阵及应用何淦瞳，男，副教授，贵州大学数学系研究生导师。

定义1.2]1[ 设()n nlm ss s A A C ⨯⨯=∈有如下的分块：11122122A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭，（3） 其中 1111,11,11221,1k k k k s k kk s k ss A A A A A A AA A A ++++⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和 分别是k k ⨯的非奇异块矩阵和()()s k s k -⨯-块矩阵，1k s ≤< ；而且（3）的分块不改变（1）的分块。

定义A 关于11A 的schur 补为：222112A A A =--11111A A （A ）. 定义1.3]1[ 设n nlm s A C ⨯⨯=∈s s（A ）且ll A 非奇异， 1l s = ，2，，，如果块矩阵A 的比较矩阵()()s sI lm A w R μ⨯=∈都是M-阵，则称A 是I-块H-阵，其中11lllmlm A l m w A l m--⎧=⎪=⎨-≠⎪⎩，若 ，若 定义1.4]5[设n nA M⨯∈，如（1）、(3)那样分块，则 222112[A A A I - -11111A/A =（A ）] ()()()()1,111,,11,11,,111k k k k k k k k s s k ss s sk ks A A O A A A A A A O A A +-++++++-⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k+1,111s111A A =A A 叫做矩阵A 关于11A 的对角schur 补。

记作11A A .2 块对角占优阵的对角schur 补引理2.1]1[ 设()lm s s s A A I GBSDD ⨯=∈-，则[]11()()0A N A μ--≥≥I ，其中-1A与（1）中A 有相同的分块。

（注：s BSDD I -一定是s GBSDD I - 见[1]）引理2.2]4[ 设n n A C ⨯∈，如果1A <，则I-A 是非奇异且()111A-≤-I-A引理2.3]1[ 设()lm s s s A A I BSDD ⨯=∈-，则A 非奇异。

引理2.4]1[ 设()lm s s s A A I BSDD ⨯=∈-，如(3)那样分块，则有()()1,11,1,11,1tt tt t tj j j j j kk j A A AA A A --⎛⎫ ⎪< ⎪ ⎪⎝⎭，其中t j =k+t,t=1,2, ,s-k引理2.5]3[ 设n n A C ⨯∈是一个严格对角占优阵，则μ（A ）是一个M-阵。

定理2.1 设()lm s s s A A I BSDD ⨯=∈-，且如（3）那样分块，则s k I BSD D -∈-11AA证明 11s k A I BSD D A I BSD D ∈-∴∈- ，根据引理2.5知()11I k A M μ∈，根据引理2.3知111()A -存在，∴11AA 存在，设11()()ljs k s k AA -⨯-=t j （A ）与22A 有相同的分块，对,1,2,,t j k t t s k =+=- 有 11t tt ls kjj j jl l tA A ---≠-∑=1,()()111,1,1,111,t t t t t t lt j s kj j j j kj j l l tk j A A A A A A A ----=≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=--⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑()()111,1111,1,111,t t t t t t tt l t j s kj j j j kj j j j l l tk j A I A A A A A A A -------=≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪≥--⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑()()1,1111,1,111,1tt t t t t t t lt j s kj j j j kj j j j l l tk j A A A A A A A A -----=≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪≥-⨯-⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑()()1,111111,1,111,tt tt l t tt tt t t js kj j j j j j j j j j kl l tk jA A A A A A A N A A -------=≠⎛⎫ ⎪⎡⎤ ⎪≥--⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦⎪ ⎪⎝⎭∑()()1,111,1,111,tt tt l t t t js kjj j j j j kI l l tk jA A A A A A A μ----=≠⎛⎫⎪⎡⎤ ⎪≥--⨯⨯⎣⎦⎪ ⎪⎝⎭∑ ()()()111111111111det 1det det det t t t ls kj j j j l l tI I I A A h B A A g A μμμ---=≠⎛⎫-⎪ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭∑令()11111111t tt ls kj j j j l l tI A A h B g A μ---=≠⎛⎫- ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑ ()()11,,1,1,t t t tTj k j j j k g A A h A A =--=-- 其中第二个不等式由引理2.2、引理2.4可知；A I BSDD A I GBSDD ∈-∴∈- ∴最后一个不等式由引理2.1可知。

A 是s I BSDD -，1B 是严格对角占优阵且是Z-矩阵[3]，∴1B 是M-矩阵。

()111111det 0,det ()0det det 0I I B A B A μμ∴>>∴> 11t tt ls kj j j jlA A ---≠∴->∑r=1,r s k I BSD D -∴∈-11AA定理2.2 设()lm s s s A A I BDD ⨯=∈-，如（3），且设11A 非奇异，则s k I BD D -∈-11A A 。

证明 对于0ε∀>均有 ()111ll llA A l S ε---≥∀∈⎡⎤⎣⎦-1+1，s A I BDD ∈-根据定义有()1111,,sll lllm m m lA A A ε---=≠>≥⎡⎤⎣⎦∑-1+1A εε设（）=A+D()，其中1122(,,,)ss diag A A A εε⋅ D()=，则()A ε是s I BSDD -.在定理2.1中用()A ε替换A ，11()()A A εε∴∈s I-BSDD ，根据连续性当0ε→时有s k I BD D -∈-11AA 。

参考文献[1] Cheng-yi Zhang, Yao-tang Li, Feng Chen ,On Schur complement of block diagonally dominantmatrices ,Linear Algebra and its Applications 414 (2006) 533–546.[2] Jianzhou Liu, Yungqing Huang, Fuzhen Zhang, The Schur complements of generalized doublydiagonally dominantmatrices, Linear Algebra Appl. 378 (2004) 231–244.[3] R.A. Horn, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, New York, 1991. [4] R.A. Horn, Matrix Analysis, Cambridge University Press, New York, 1985, pp. 300–301. [5] Jianzhou Liu, Yungqing Huang, Some properties on Schur complements of H -matrix and diagonallydominant matrices, Linear Algebra Appl. 389 (2004) 365–380.On Diagonally Schur Complement of Block MatricesTang Feng-xiang1,2,He Gan-tong 2,Fang Xiu-nan 1,Li Pei-pei 2(1. Department of Mathematics,Jiamusi University, Heilongjiang,154007;2.Department of Mathematics,Guizhou University, Guiyang,550025,china)Abstract This paper proved that diagonally schur complement of I-block strictly diagonally dominant matrices was still I-block strictly diagonally dominant matrices ,and proved that the diagonally schur complements of I-BDD was still I-BDD by a continuity argument.Key words diagonally schur complement ，I-block strictly diagonally dominat matrices ，block diagonally domiant matrices。