恒定电流和恒定电场 大学物理

R2
R1 l
l R 2 − R1
试题 2
： 根据电阻定律的定义： ℓ R=ρ s （1） R = ρ ℓ πR − πR12
2 2
R=ρ
dℓ ds
2 (∵ s = πR 2 − πR12 )
（2） R = ∫ ρ
R1
R2
R2 dr R dr ρ R2 dr ρ = ρ∫ = = ln 2 ∫ R1 2πr ℓ 2πrℓ 2πℓ R1 r 2πℓ R1
R 2 的导体管，电阻率为 ρ ，求下列三种情况下管子的电阻：
（1）若电流沿长度方向流过； （2）电流与半径方向流过；

R2
R1 l
l R 2 − R1
试题 2
3． 直径为 2mm 的导线，如果流过它的电流是 20 A ，且电流密度均匀，导线的 电阻率为 3.14 ×10−8 Ω ⋅ m ， 求导线内部的场强。 4．一个电阻率为 ε ，内组为 r 的电池给电阻为 R 的灯泡供电，试证明当 R=r 时灯泡最亮，最大功率
13．产生电流的条件是______________________和___________________。 14．两根截面不等材料相同的金属导体串接在一起，两端加一定的电压，两根导 体的电流密度_____（相同．不同） ，两导体内的电场强度______（相同、不同） ， ______ 如果两导体的长度相等两导体上的电压 （相同、不同） 。 15．不含源支路中电流方向为 。
3．解：
6
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根据欧姆定律微分形式： j = δE
E = ρj
∵j=
I s I 4 ρI = s πd 2
1 s = πr 2 = πd 2 4
∴E = ρ
3.14 × 10−8 Ω .m × 20A E= = 0.2V m 3.14 × (1 ×10 −3 m) 2 4．证明：再灯泡上的电功率最大时灯炮最亮。 ∴ ε = IR + Ir
I 3 = 0.49 A , I 4 = 0.36 A U AB = −ε 1 + I 1 R1 = −5.2V
8
ε1 + ε 2 = 2A R + r1 + r2
U ab = Ir1 − ε1 = 0(V ) U ac = −IR = −8(V ) U cb = ε 2 − Ir2 = 8(V )
7．解： I 1 = I 2 =
ε1 − ε 2 = 0.85 A R3 R 4 R1 + R 2 + R3 + R4
二、简答 1．电流强度、电流密度的区别与联系是什么？ 2．电流连续性方程的数学形式及物理含义是什么？ 3．稳恒电流的稳恒条件是什么？ 4．闭合电路欧姆定律的内容是什么？ 5．一段含源电路的欧姆定律的内容是什么？ 6．电源电动势的含义是什么？ 7．电灯的钨丝断后再碰上接入电路中，电灯比原来的亮还是暗？为什么？ 8．电源的电动势和端电压有什么区别？两者在什么情况下才相等？ 9．导体的电阻与导体的什么有关？
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一、填空 1．安（A） 安/平方米（A/m2 ） 。 2．等于同过该点与电流方向垂直的单位面积上的电流（单位时间内通过单位垂 直面积上的电荷） 。 dI 3． j = dI 方向一致。 cosθ dS � � dI = j ⋅ dS （或 dI=jdScos θ） 4． 。 � � 5． ∫∫ j ⋅ ds = 0 。 � � 6． j = σ E
I . S⊥ i 10 A = = 1 × 10 5 A / m 2 2 s 1 1cm
5
∴ ja =
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jb =
i 10 A = = 2 × 10 5 A / m 2 s 2 0.5cm 2 i I 10 A = = = 2 ×10 5 A / m 2 ° 2 S 2 0.5cm s3 cos 60
R = r 时 P（R ）有极值。 d2p dr 2
所以
R =r
<0 R=r 时 P 取最大值。
p mac =
ε2R ε 2r ε2 = = ( R + r ) 2 ( r + r ) 2 4r
5．解：由基尔霍夫第一定律，可得 I1 + I 3 = I 2 ① 由基尔霍夫第二定律，可列回路电压方程：
I1 R1 − ε1 − I3 R3 = 0 I 3 R3 + ε 2 + I 2 R2 = 0
② ③
联立①②③，可解得， I1 = 4 A ， I 3 = −3 A ， R2 = 4Ω
7
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所以 I1 的实际方向与假设的正方向一致， I 3 的实际方向与假设的正方向相反。 6． 解：回路中的电流 I =
j=
dI dS ⊥
联系：通过一个曲面上的电流等于该曲面上的电流密度的通量，即 � � I = ∫∫ j ⋅ dS
4
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� � dq 2．答：数学形式： � j ⋅ ds = − ∫∫ dt S � 物理含义：在电流场中任取一闭合曲面 S,S 内的电荷为 q ， 在闭合曲面上 j 的通量就是由 S 内向外流出的电流。 根据电荷守恒定律，它应等于单位时间内面 电荷的减少量，它是电荷守恒定律的数学表达式。 3．答：稳恒条件（产生稳恒电流的必要条件） ：空间各点的电荷不随时间变化， 即
I
ε
r
I=
ε R +r ε 2 ε R ) R= R+r ( R + r) 2
2
R 试题 4
p = I 2R = (
dp d ⎡ ε2R ⎤ ( R + r 2 ) − R 2( R + r ) 2 1 = = ε =0 2 ⎥ dR dR ⎢ ( R + r) 4 ⎣( R + r) ⎦ ε2 R + r − 2R =0 ( R + r) 3
2
I I ， j = jr = r D 2 D 2 π( ) π( ) 2 2 13．存在自由电荷或载流子，导体内部存在电场 14．不同，不同，相同 15．从高电位到低电位
12． j = 二、简答 1．答：电流强度：单位时间内通过导体中某一截面的电量。如果在 dt 时间内通 ∆q dq 过导体某一截面 S 的电量为 dq，则通过该截面的电流强度为 I = lim = ∆ t → 0 ∆t dt � 电流密度：对于导体中的任一点， j 的大小等于通过该点与电流方向垂直的单位 面积上的电流；方向为正电荷在该点处的运动方向。 在导体内部某点处取一个与电流方向垂直的面元 dS ⊥ ,设通过该面元的电流为 dI , 则该点的电流密度的大小为
p = ρ ⋅ (σ E ) = σ E 2 。
2
� � 7．I=GU 或 I=U/R， j = σ E 。 8．Q=I2RTt ， p = ρ ⋅ (σ E ) = σ E 2 。 9．P=UIt ， P=I2 R 或 P=U2/R。 10．电源电动势， R → ∞ 。 11． R → 0 ， I = ε / r 。
1
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三、证明、计算 1 ． 如 图 所 示 的 导 体 中 , 均 匀 地 流 有 10 A 的 电 流 , 已 知 横 截 面
S1 = 1cm 2 , S 2 = 0.5cm 2 , S3 的法线与轴
的夹角为 60° ，试求： （1）三个面与轴线交点处 a，b，c 三 点的电流密度； （2）三个面上单位面积上的通量 dI。 2． 一长度为 l ， 内， 外半径分别为 R1 ，
dq = 0 ,稳恒条件的数学表达式为 dt
� ∫∫ j ⋅ ds = 0 。
i i
�
�
∑ε 4．答：若电路中有多个电源，则 I = ∑r +∑ R
i i k
，当闭合电路中有电流通过时，
k
电源电动势等于路端电压与内阻上的电压降的代数和。 U AB = ∑ (±ε i ) + ∑ (±I i ri ) + ∑ (± I k Rk ) i i k 5．答： 即是含源电路的欧姆定律。 对 ε 、 IR 和 Ir 的符号作如下规定： （1）在电阻上，当电流方向与约定方向相同时， IR 或 Ir 前写正号，反之为负号； （2）在电源上，当电动势的方向与约定方向相反时， ε 前写正号，反之为负号。 6、答：单位正电荷从负极经电源内部移到电源正极，非静电力所做的功叫做电 源电动势。方向由电源负极指向电源正极。 l 7．灯丝的电阻 R = ρ ， 断后再接灯丝长度变短，电阻变小，电压一定时功率 S 变大，所以电灯变亮。 8．电动势的定义是将单位正电荷从电源的负端经电源内部移动到电源正极时非 静电力做的功 � + � ε = ∫ EK ⋅ dl − 即 电源的端电压是指电源正负两端间的电势差。 表示单位正电荷从电源正端移动到 电源负端电场力所做的功。两者有着完全不同的物理意义。 9．导体的电阻与导体的形状、长短和材料有关。 三、证明、计算 1． （1） ∵j=
p mac =
ε2 ε 2 = 4r 4 R
5．在如图所示的电路中，已知 ε1 = 12 V, ε 2 = 2 V, R1 = 1.5Ω ，
R3 = 2 Ω , I 2 = 1 A 。
2
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求电阻 R2 ，电流 I1 和 I 3 .
6．如图所示， ε1 = 6 V, ε 2 = 10 V, r1 = 3Ω , r2 = 1Ω , R = 4 Ω ,求 Uab ， Uac ， U cb .
jc =
dI = j dS 单位面积上的通量就是电流密度的数值。 dI ∴ ( ) a = j a = 1 × 10 5 A / m 2 dS dI ( ) b = j b = 2 ×10 5 A / m 2 dS dI ( ) c = j c = 2 × 10 5 A / m 2 dS 2． 解