判断复合命题真假的方法

判断复合命题真假的方法

1．“非p”形式的复合命题

例1 (1)如果p表示“2是10的约数”，试判断非p的真假.

(2) )如果p表示“3≤2”，那么非p表示什么？并判断其真假.

解：(1)中p表示的复合命题为真，而非p“2不是10的约数”为假.

(2)中p表示的命题“3≤2”为假，非p表示的命题为“3>2”，其显然为真.

小结：非p复合命题判断真假的方法

当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真，即“非p”形式的复合命题的真假与p的真假相反，可用下表表示

p 非p

真假

假真

2．“p且q”形式的复合命题

例2．如果p表示“5是10的约数”，q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，试写出ｐ且ｑ，ｐ且ｒ的复合命题，并判断其真假，然后归纳出其规律.

解：p且q即“5是10的约数且是15的约数”为真（p、q为真）；

p且r即“5是10的约数且是8的约数”为假（r为假）

小结：“p且q”形式的复合命题真假判断

当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假可用下表表示

p q p且q

真真真

真假假

假真假

假假假

3．“p或q”形式的复合命题：

例3．如果p表示“5是12的约数”q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，写出，p或r，q或s，p或q的复合命题，并判断其真假，归纳其规律.

p或q即“5是12的约数或是15的约数”为真（p为假、q为真）；

p或r即“5是12的约数或是8的约数”为假（p、r为假）

小结：“p或q”形式的复合命题真假判断

当p，q中至少有一个为真时，“p或q”为真；当p，q都为假时，“p或q”为假. 即“p.

p q p或q

真真真

真假真

假真真

假假假

像上面三个表用来表示命题的真假的表叫做真值表.

在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容.

例4分别指出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题的真假：

①p：2+2=5，q：3>2；

②p：9是质数，q：8是12的约数；

③p：1∈{1，2}，q：{1}⊂{1，2}；

④p：φ⊂{0}，q：φ={0}.

解：①p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+2≠5.

∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.

②p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.

∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.

③p或q：1∈{1，2}或{1}⊂{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}⊂{1，2}；非p：1∉{1，2}.

∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.

④p或q：φ⊂{0}或φ={0}；p且q：φ⊂{0}且φ={0} ；非p：φ⊄{0}.

∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.

4．逻辑符号

“或”的符号是“∨”，“且”的符号是“∧”，“非”的符号是“┐”.

例如，“p或q”可记作“p∨q”；“p且q”可记作“p∧q”；“非p”可记作“┐p”.