高等数学第一次作业答案

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《高等数学》(一)作业,内容包括第一、二、三章

一、选择题: 1.函数)1ln(1)(++=x x

x f 的定义域是( ) A.)0,1(- B.),0(+∞

C.),0()0,1(+∞- D.),0()0,(+∞-∞

2.=+→x x x 1

)21(lim ( ) A.e B.e C.2e D.1

3.)3

2cos()431

sin(ππ+++=x x y 的周期是( ) A.π2 B.π6 C.π4 D.π12

4.设)(x f 是奇函数,当0>x 时,)1()(x x x f -=,则0

A.)1(x x -- B.)1(x x + C.)1(x x +- D.)1(--x x

5.函数21x y -=,)01(≤≤-x 的反函数是( )

A .21x y --= )01(≤≤-x

B .21x y --= )10(≤≤x

C .21x y -= )10(≤≤x

D .21x y -= )11(≤≤-x

6.在下列各函数中,表示同一函数的是( )

A .2x y =与2)(x y =

B .x y sin =与x y 2cos 1-=

C .x x y -+=12与x

x y ++=11

2 D .)12ln(2+-=x x y 与)1ln(2-=x y 7.x x 2sin sin 2-=α, x cos 1-=β, 则当0→x 时,α与β的关系是( )

A .βα~

B .β是比α高阶的无穷小

C .βα,是同阶无穷小

D . α是比β高阶的无穷小 8.在区间)0,∞-(内与x

x x y 3

2-=是相同函数的是( )

A .x -1

B .x --1

C .1--x

D .1-x

9.设)999()2)(1()(---=x x x x x f ,则=')0(f ( )

A .999

B .999⨯999

C .999!

D .-999!

10.若)(0x f '存在,则=∆∆--∆+→∆x x x f x x f x )()2(lim

000( ) A .)(0x f '

B .)(20x f '

C .)(30x f '

D .)(40x f ' 11.函数24121arcsin

x x y -+-=的定义域是( ) A .[-2, +2] B .[-1, 2] C .[-1, 2] D .(-1, 2)

12.函数x x y --=22的图形( )

A .关于x 轴对称

B .关于y 轴对称

C .关于原点对称

D .不是对称图形

13.当0→x 时,下列式子是无穷小量的是( )

A .x

x sin B .x x 1)1(+ C .x x 1sin 31 D .x 1sin 14.曲线x x y 33-=在点(2,2)处的法线方程为( )

A .)2(9

12-=-x y B .92091+-=x y C .9291+-=x y D .)2(92-=-x y

15.x n

x e

x λ∞→lim (n 为自然数,0>λ)的极限是( ) A .1 B .不存在 C .0 D .n

λ1 16.x x f sin )(=在0=x 处的导数是( )

A .0

B .2

C .不存在

D .1

17.当∞→n 时比21n

低价无穷小的应是以下中的( ) A .21sin n B .35

-n C .321n n + D .n

18.下列函数中不是初等函数的有( )

A .x x y sin =

B .x x y ++=)1log(2

C .2cos 2arcsin x x y ⋅=

D .x x sin 19.=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x x 3sin 2sin

lim 0( ) A .0 B .3 C .5 D .2

20.函数x x x f -=3)(在[0, 3]上满足罗尔定理的=ζ( )

A .0

B .3

C .23

D .2

二、填空题(每小题4分,共20分)

1.曲线2t x =, t y 2=在1=t 对应点处的切线方程是 。 2.设⎩

⎨⎧-=-=22)1arcsin(t t y t x ,则=dx dy 。 3.函数1--=x e y x 的单调减少区间是 。

4.函数12++=x x y 在[0, 1]上满足拉格朗日中值定理的全部条件,则使结论成立的ζ=

5.已知4lim =⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+∞→x x a x a x ,则=a

三、解答题(每小题8分,共40分)

1.证明不等式:当0>x 时,tgx arc x

x +>+11)1ln( 2.设)(x f 在[0, 2a]上连续且)2()0(a f f =,试证明至少有一点],0[a ∈ζ使得

)()(a f f +ζ=ζ。

3.求由方程0sin 21=+-y y x 所确立的隐函数y 的二阶导数2

2dx y d 。 4.求极限x x x x sin 1sin

lim 340→ 。

5.若)(x f 在[a, b]连续,b x x x a n <<<<< 21则在],[1n x x 上存在ζ使

n

x f x f x f f n )()()()(21+++=ζ 。

答案:

一、CCDB BCDB DCCC CBCC BBBD

二、1.y = x+1

2.=dx

dy 1-t 3.(-∞, 0] 4.2

1 5.2ln

三、1.证:令 ()(1)ln(1)f x x x arctgx =++-

则 2

221()ln(1)1ln(1)011x f x x x x x

'=++-=++>++ ()(0)f x f ∴> 即 (1)ln(1)0x x arctgx ++->

2.证:令()()()k x f x f x a =-+

则 (0)(0)()k f f a =-, ()(a)(2)k a f f a =-

若(0)()f f a = 则取 0ζ=或 a

若 (0)()f f a ≠ 则 (0)()0k k a ⋅<

故存在(0,)a ζ∈使 ()0k ζ= 即)()(a f f +=ζζ 。

3.解:两边对x 求导 0cos 211=⋅+-dx dy y dx dy 22c o s

y y '∴=- 223

4sin (2cos )d y y dx y -=- 4.解:原式=01sin sin lim 310=⋅⋅⋅→x

x x x x

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