高等数学第一次作业答案
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《高等数学》(一)作业,内容包括第一、二、三章
一、选择题: 1.函数)1ln(1)(++=x x
x f 的定义域是( ) A.)0,1(- B.),0(+∞
C.),0()0,1(+∞- D.),0()0,(+∞-∞
2.=+→x x x 1
)21(lim ( ) A.e B.e C.2e D.1
3.)3
2cos()431
sin(ππ+++=x x y 的周期是( ) A.π2 B.π6 C.π4 D.π12
4.设)(x f 是奇函数,当0>x 时,)1()(x x x f -=,则0 A.)1(x x -- B.)1(x x + C.)1(x x +- D.)1(--x x 5.函数21x y -=,)01(≤≤-x 的反函数是( ) A .21x y --= )01(≤≤-x B .21x y --= )10(≤≤x C .21x y -= )10(≤≤x D .21x y -= )11(≤≤-x 6.在下列各函数中,表示同一函数的是( ) A .2x y =与2)(x y = B .x y sin =与x y 2cos 1-= C .x x y -+=12与x x y ++=11 2 D .)12ln(2+-=x x y 与)1ln(2-=x y 7.x x 2sin sin 2-=α, x cos 1-=β, 则当0→x 时,α与β的关系是( ) A .βα~ B .β是比α高阶的无穷小 C .βα,是同阶无穷小 D . α是比β高阶的无穷小 8.在区间)0,∞-(内与x x x y 3 2-=是相同函数的是( ) A .x -1 B .x --1 C .1--x D .1-x 9.设)999()2)(1()(---=x x x x x f ,则=')0(f ( ) A .999 B .999⨯999 C .999! D .-999! 10.若)(0x f '存在,则=∆∆--∆+→∆x x x f x x f x )()2(lim 000( ) A .)(0x f ' B .)(20x f ' C .)(30x f ' D .)(40x f ' 11.函数24121arcsin x x y -+-=的定义域是( ) A .[-2, +2] B .[-1, 2] C .[-1, 2] D .(-1, 2) 12.函数x x y --=22的图形( ) A .关于x 轴对称 B .关于y 轴对称 C .关于原点对称 D .不是对称图形 13.当0→x 时,下列式子是无穷小量的是( ) A .x x sin B .x x 1)1(+ C .x x 1sin 31 D .x 1sin 14.曲线x x y 33-=在点(2,2)处的法线方程为( ) A .)2(9 12-=-x y B .92091+-=x y C .9291+-=x y D .)2(92-=-x y 15.x n x e x λ∞→lim (n 为自然数,0>λ)的极限是( ) A .1 B .不存在 C .0 D .n λ1 16.x x f sin )(=在0=x 处的导数是( ) A .0 B .2 C .不存在 D .1 17.当∞→n 时比21n 低价无穷小的应是以下中的( ) A .21sin n B .35 -n C .321n n + D .n 18.下列函数中不是初等函数的有( ) A .x x y sin = B .x x y ++=)1log(2 C .2cos 2arcsin x x y ⋅= D .x x sin 19.=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x x 3sin 2sin lim 0( ) A .0 B .3 C .5 D .2 20.函数x x x f -=3)(在[0, 3]上满足罗尔定理的=ζ( ) A .0 B .3 C .23 D .2 二、填空题(每小题4分,共20分) 1.曲线2t x =, t y 2=在1=t 对应点处的切线方程是 。 2.设⎩ ⎨⎧-=-=22)1arcsin(t t y t x ,则=dx dy 。 3.函数1--=x e y x 的单调减少区间是 。 4.函数12++=x x y 在[0, 1]上满足拉格朗日中值定理的全部条件,则使结论成立的ζ= 5.已知4lim =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+∞→x x a x a x ,则=a 三、解答题(每小题8分,共40分) 1.证明不等式:当0>x 时,tgx arc x x +>+11)1ln( 2.设)(x f 在[0, 2a]上连续且)2()0(a f f =,试证明至少有一点],0[a ∈ζ使得 )()(a f f +ζ=ζ。 3.求由方程0sin 21=+-y y x 所确立的隐函数y 的二阶导数2 2dx y d 。 4.求极限x x x x sin 1sin lim 340→ 。 5.若)(x f 在[a, b]连续,b x x x a n <<<<< 21则在],[1n x x 上存在ζ使 n x f x f x f f n )()()()(21+++=ζ 。 答案: 一、CCDB BCDB DCCC CBCC BBBD 二、1.y = x+1 2.=dx dy 1-t 3.(-∞, 0] 4.2 1 5.2ln 三、1.证:令 ()(1)ln(1)f x x x arctgx =++- 则 2 221()ln(1)1ln(1)011x f x x x x x '=++-=++>++ ()(0)f x f ∴> 即 (1)ln(1)0x x arctgx ++-> 2.证:令()()()k x f x f x a =-+ 则 (0)(0)()k f f a =-, ()(a)(2)k a f f a =- 若(0)()f f a = 则取 0ζ=或 a 若 (0)()f f a ≠ 则 (0)()0k k a ⋅< 故存在(0,)a ζ∈使 ()0k ζ= 即)()(a f f +=ζζ 。 3.解:两边对x 求导 0cos 211=⋅+-dx dy y dx dy 22c o s y y '∴=- 223 4sin (2cos )d y y dx y -=- 4.解:原式=01sin sin lim 310=⋅⋅⋅→x x x x x