知识点估算无理数的大小(解答)

解答题

1．写出所有适合下列条件的数：

（1）大于小于的所有整数；

（2）绝对值小于的所有整数．

考点：估算无理数的大小。

分析：（1）由于16＜17＜25，9＜11＜16．由此得到﹣5＜＜﹣4，3＜＜4．所以

只需写出在﹣5和4之间的整数即可；

（2）由于16＜18＜25，所以4＜＜5．只需写出绝对值小于5的所有整数即可．

解答：解：（1）∵16＜17＜25，9＜11＜16，

∴﹣5＜＜﹣4，3＜＜4，

∴大于小于的所有整数：﹣4，±3，±2，±1，0；

（2）∵16＜18＜25，

∴4＜＜5，

∴绝对值小于的所有整数：±4，±3，±2，±1，0．

点评：此题主要考查了无理数的估算能力，能够对一个无理数正确估算出其大小在哪两个整数之间，同时理解整数、绝对值的概念．

2．（1）如图1，小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？

（2）若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之

间．

考点：估算无理数的大小；平方根。

分析：（1）根据正方形的面积公式即可求得纸板的边长；

（2）由于大正方形是由两个小正方形所拼成的，易求得大正方形的面积为18，边长为；因此大正方形的边长不是整数，然后估算出的大小，从而求出与相邻的两个整数．

解答：解：（1）边长=cm；（2分）

（2）大的正方形的面积=32+32=18；（3分）

边长=，∴边长不是整数，（4分）

∵（5分）

∴4≤．（6分）

点评：本题主要考查了正方形的面积公式以及估算无理数的大小．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

3．设的小数部分为a，的倒数为b，求b﹣a2的值．

考点：估算无理数的大小。

分析：估计的大小，易得a的值；再由倒数的计算，可得b的值；将ab的值代入b﹣a2

中即可得答案．

解答：解：∵1＜＜2，

∴a=﹣1，

∵的倒数为b，

∴b==2（2+）=4+2；

故b﹣a2=4+2﹣（﹣1）2=4．

点评：此题主要考查了无理数的估算能力，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

4．观察图，每个小正方形的边长均为1．

（1）图中阴影部分的面积是多少边长是多少？

（2）估计边长的值在哪两个整数之间．

（3）把边长在数轴上表示出来．

考点：估算无理数的大小；算术平方根。

专题：计算题。

分析：根据勾股定理计算阴影部分的边长，根据正方形的面积公式S=a2求解．

解答：解：（1）由勾股定理得，阴影部分的边长a==，

所以图中阴影部分的面积S=（）2=17，边长是；

（2）∵42=16，52=25，（）2=17

∴边长的值在4与5之间；

（3）如图

．

点评：本题主要考查了无理数的估算及算术平方根的定义，解题主要利用了勾股定理和正方形的面积求解，有一定的综合性，解题关键是无理数的估算．

5．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b+c 的平方根．

考点：估算无理数的大小；平方根。

专题：计算题。

分析：根据平方根的性质先求得2a﹣1和3a+b﹣1的值，进而求得a、b的值．还应根据7＜＜8得到c的值，进而求解．

解答：解：∵2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，

∴2a﹣1=9，3a+b﹣1=16，

解得：a=5，b=2，

∵7＜＜8∴c=7；

∴a+2b+c的平方根是±4．

点评：此题主要考查了平方根的性质和无理数的估算能力，其中利用了被开方数应等于它平方根的平方，无理数的整数部分应是比它稍小的，接近于它的整数，正数的平方根有2个．

6．阅读下面的文字，解答问题．

大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？

事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．

请解答：已知10+=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．

考点：估算无理数的大小。

专题：阅读型。

分析：根据题意的方法，估计的大小，易得10+的范围，进而可得xy的值；再由相反数的求法，易得答案．

解答：解：∵1＜＜2，

∴11＜10+＜12，

∴x=11，y=﹣1，x﹣y=12﹣，

∴x﹣y的相反数﹣12．

点评：此题主要考查了无理数的公式能力，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

7．已知的小数部分为a，的小数部分为b．

求：（1）a+b的值；（2）a﹣b的值．

考点：估算无理数的大小。

分析：（1）（2）由于3＜＜4，所以8＜5+＜9，由此找到题中的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的整数部分，小数部分让原数减去整数部分，代入求值即可．

解答：解：∵3＜＜4，

∴8＜5+＜9，

∴a=5+﹣8=﹣3；

∴有b=4﹣．

将ab值代入可得：（1）a+b=1；

（2）．

点评：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

8．设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x﹣1的算术平方根．

考点：估算无理数的大小；算术平方根。

分析：先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．

解答：解：因为4＜6＜9，所以2＜＜3，

即的整数部分是2，

所以2+的整数部分是4，小数部分是2+﹣4=﹣2，

即x=4，y=﹣2，所以==．

点评：此题主要考查了无理数的估算能力，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．

9．先阅读理解，再回答问题．

因为=，且1＜＜2，所以的整数部分是1；

因为=，且2＜＜3，所以的整数部分是2；

因为=，且3＜＜4，所以的整数部分是3．

以此类推，我们会发现（n为正整数）的整数部分是n ．请说明理由．

考点：估算无理数的大小。

专题：阅读型。

分析：比较被开方数与所给数值的大小，可发现：n2＜n2+n＜（n+1）2；故的整数部分为n．

解答：解：整数部分是n．

理由：∵n为正整数，∴n2＜n2+n，

∴n2+n=n（n+1）＜（n+1）2，

∴n2＜n2+n＜（n+1）2，

即n＜＜n+1，

∴的整数部分为n．

点评：此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是找到相应的规律；并根据规律得出结论．

10．已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根．

考点：估算无理数的大小。

分析：首先可以估算的整数部分和小数部分，然后就可得的整数部分是3，小数部分分别是﹣3；将其代入求平方根计算可得答案．

解答：解：由题意得：x=3，y=﹣3，

∴y﹣=﹣3，x﹣1=2，

∴（y﹣）x﹣1=9，

∴（y﹣）x﹣1的平方根是±3．

点评：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法；估算出整数部分后，小数部分=原数﹣整数部分．

11．根据条件，求下列各代数式的值

（1）已知实数x，y满足，求代数式x﹣y的值；

（2）的整数部分为a，小数部分为b，求a﹣b的值；

（3）已知y=+﹣3，求y x的平方根．

考点：估算无理数的大小；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根。

分析：（1）由于绝对值、算术平方根都是非负数，而它们的和为0，由此即可求出x、y的值，代入所求代数式即可求解；

（2）首先估算的整数部分和小数部分，然后即可求出a、b的值，代入所求代数式计算即可求解；

（3）由于x﹣2与2﹣x互为相反数，根据二次根式的性质即可得到x的值，然后求出y，最后代入所求代数式即可求解．

解答：解：（1）实数x，y满足，

可得x=4，y=﹣11，

故x﹣y=4+11=15；

（2）∵的整数部分为a，小数部分为b

∴a=2，b=2﹣

故a﹣b=．

（3）∵y=+﹣3

故x=2，y=﹣3

∴y x=9．

点评：此题主要考查了绝对值的性质，二次根式有意义的情况及无理数的估算能力，有一定的综合性，解题关键是利用限制条件解出变量的值．

12．若a、b分别是的整数部分和小数部分．求代数式8ab﹣b2的值．

考点：估算无理数的大小。

分析：首先判断出的整数部分在3和4之间，即6﹣的整数部分a=2，则b=4﹣，然后把a和b的值代入代数式求值即可．

解答：解：∵＜＜，

∴的整数部分在3和4之间，

∴6﹣的整数部分a=2，b=4﹣，

则8ab﹣b2=8×2×（4﹣）﹣（4﹣）2=64﹣16﹣（16﹣8+13）

=35﹣8．

点评：本题主要考查了代数式求值，涉及到比较有理数和无理数的大小，解题的关键在于用正确的形式表示出6﹣的整数部分和小数部分，然后代入求值即可．

13．如果是一个整数，那么最大的负整数a是多少？

考点：估算无理数的大小。

分析：欲求最大的负整数a是多少，需先分析=2取整数时，a的取值规律：a 需取5的倍数（负数）即可．

解答：解：∵200=23×52a，

∴=2，

∴是整数，a需取5的倍数（负数）即可，

∴最大的负整数a是﹣5．

点评：此题主要考查了无理数的公式能力，解答本题的关键是找出a的取值规律．

14．已知的的小数部分为a，的小部分为b，求a+b的值．

考点：估算无理数的大小。

专题：计算题。

分析：首先估计的大小，进而可得5+与5﹣的近似值，分析可得a、b的值，代入可得a+b的值．

解答：解：∵3＜＜4，

∴8＜5+＜9，

∴a=5+﹣8=﹣3，（4分）

∵1＜5﹣＜2

∴b=4﹣（8分）

∴a+b=1．（10分）

点评：本题主要考查了无理数的估算，解题要求掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

15．附加题：你能估测一下我们教室的长、宽、高各是多少米吗？你能估测或实际测量一下数学课本的长、宽和厚度吗？请你再估算一下我们的教室能放下多少本数学书？这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用呢？请你对每一个问题给出估测的数据，再把估算的过程结果一一写出来．

考点：估算无理数的大小。

专题：应用题。

分析：凭借经验先估测出教室、数学课本的相关数据、再估算出教室能放下多少本数学书，然后估测出这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用．

解答：解：教室的长、宽、高可以用我们的身高估计出来；数学课本的长、宽和厚度可以用我们的手指估计出来，也可以用直尺测量出来；我们用长宽高相乘估计出教室的容积与课本的体积相除算出能放下多少本数学书，就是能供多少名学生使用，再用本班人数乘一年级班数估计本校一年级人数，然后相处就可以估计出这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用了．

点评：此题主要考查了实数的估算在实际问题中的应用，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，本题就考查了学生的估算能力．

16．设a，b都是正实数，且．

（1）证明必在和之间．

（2）试说明这两个数中，哪一个更接近？

考点：估算无理数的大小。

专题：证明题。