知识点估算无理数的大小(解答)

解答题

1．写出所有适合下列条件的数：

（1）大于小于的所有整数；

（2）绝对值小于的所有整数．

考点：估算无理数的大小。

分析：（1）由于16＜17＜25，9＜11＜16．由此得到﹣5＜＜﹣4，3＜＜4．所以

只需写出在﹣5和4之间的整数即可；

（2）由于16＜18＜25，所以4＜＜5．只需写出绝对值小于5的所有整数即可．

解答：解：（1）∵16＜17＜25，9＜11＜16，

∴﹣5＜＜﹣4，3＜＜4，

∴大于小于的所有整数：﹣4，±3，±2，±1，0；

（2）∵16＜18＜25，

∴4＜＜5，

∴绝对值小于的所有整数：±4，±3，±2，±1，0．

点评：此题主要考查了无理数的估算能力，能够对一个无理数正确估算出其大小在哪两个整数之间，同时理解整数、绝对值的概念．

2．（1）如图1，小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？

（2）若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之

间．

考点：估算无理数的大小；平方根。

分析：（1）根据正方形的面积公式即可求得纸板的边长；

（2）由于大正方形是由两个小正方形所拼成的，易求得大正方形的面积为18，边长为；因此大正方形的边长不是整数，然后估算出的大小，从而求出与相邻的两个整数．

解答：解：（1）边长=cm；（2分）

（2）大的正方形的面积=32+32=18；（3分）

边长=，∴边长不是整数，（4分）

∵（5分）

∴4≤．（6分）

点评：本题主要考查了正方形的面积公式以及估算无理数的大小．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

3．设的小数部分为a，的倒数为b，求b﹣a2的值．

考点：估算无理数的大小。

分析：估计的大小，易得a的值；再由倒数的计算，可得b的值；将ab的值代入b﹣a2

中即可得答案．

解答：解：∵1＜＜2，

∴a=﹣1，

∵的倒数为b，

∴b==2（2+）=4+2；

故b﹣a2=4+2﹣（﹣1）2=4．

点评：此题主要考查了无理数的估算能力，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

4．观察图，每个小正方形的边长均为1．

（1）图中阴影部分的面积是多少边长是多少？

（2）估计边长的值在哪两个整数之间．

（3）把边长在数轴上表示出来．

考点：估算无理数的大小；算术平方根。

专题：计算题。

分析：根据勾股定理计算阴影部分的边长，根据正方形的面积公式S=a2求解．

解答：解：（1）由勾股定理得，阴影部分的边长a==，

所以图中阴影部分的面积S=（）2=17，边长是；

（2）∵42=16，52=25，（）2=17

∴边长的值在4与5之间；

（3）如图

．

点评：本题主要考查了无理数的估算及算术平方根的定义，解题主要利用了勾股定理和正方形的面积求解，有一定的综合性，解题关键是无理数的估算．

5．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b+c 的平方根．

考点：估算无理数的大小；平方根。

专题：计算题。

分析：根据平方根的性质先求得2a﹣1和3a+b﹣1的值，进而求得a、b的值．还应根据7＜＜8得到c的值，进而求解．

解答：解：∵2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，

∴2a﹣1=9，3a+b﹣1=16，

解得：a=5，b=2，

∵7＜＜8∴c=7；

∴a+2b+c的平方根是±4．

点评：此题主要考查了平方根的性质和无理数的估算能力，其中利用了被开方数应等于它平方根的平方，无理数的整数部分应是比它稍小的，接近于它的整数，正数的平方根有2个．

6．阅读下面的文字，解答问题．

大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？

事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．

请解答：已知10+=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．

考点：估算无理数的大小。

专题：阅读型。

分析：根据题意的方法，估计的大小，易得10+的范围，进而可得xy的值；再由相反数的求法，易得答案．

解答：解：∵1＜＜2，

∴11＜10+＜12，

∴x=11，y=﹣1，x﹣y=12﹣，

∴x﹣y的相反数﹣12．

点评：此题主要考查了无理数的公式能力，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

7．已知的小数部分为a，的小数部分为b．

求：（1）a+b的值；（2）a﹣b的值．

考点：估算无理数的大小。

分析：（1）（2）由于3＜＜4，所以8＜5+＜9，由此找到题中的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的整数部分，小数部分让原数减去整数部分，代入求值即可．

解答：解：∵3＜＜4，

∴8＜5+＜9，

∴a=5+﹣8=﹣3；

∴有b=4﹣．

将ab值代入可得：（1）a+b=1；

（2）．

点评：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

8．设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x﹣1的算术平方根．

考点：估算无理数的大小；算术平方根。

分析：先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．

解答：解：因为4＜6＜9，所以2＜＜3，

即的整数部分是2，

所以2+的整数部分是4，小数部分是2+﹣4=﹣2，

即x=4，y=﹣2，所以==．

点评：此题主要考查了无理数的估算能力，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．

9．先阅读理解，再回答问题．

因为=，且1＜＜2，所以的整数部分是1；

因为=，且2＜＜3，所以的整数部分是2；

因为=，且3＜＜4，所以的整数部分是3．

以此类推，我们会发现（n为正整数）的整数部分是n ．请说明理由．

考点：估算无理数的大小。