第57讲 空间的平行关系

第57讲空间的平行关系
【考点解读】
1.理解直线与平面的位置关系，理解线面平行、面面平行的定义，掌握线面平行、面面平行判定定理及性质定理，并能灵活运用.
2.掌握空间的平行关系的互相转化，并能灵活应用.
3.规范推理、论证等解题程序，培养并提升逻辑推理能力.
【知识扫描】
1．直线和平面的位置关系、、．
直线在平面内，有公共点．
直线和平面相交，有公共点．
直线和平面平行，公共点．
直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．
2．直线和平面平行的判定定理
如果平面外和这个平面内平行，那么这条直线和这个平面平行．
(记忆口诀：线线平行线面平行)
3．直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面，经过平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行线线平行)
4．两个平面的位置关系：
5．两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(记忆口诀：线面平行，则面面平行)
6、两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的平行．
(记忆口诀：面面平行，则线线平行)
7．两个平行平面距离
和两个平行平面同时的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的，两个平行面的公垂线段的，叫做两个平行平面的距离．
【考计点拨】
牛刀小试：
1.用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b.
A. ①②
B. ②③
C. ①④
D.③④
2.在空间，下列命题正确的是
（A ）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面平行
（C ）垂直于同一平面的两个平面平行
（D ）垂直于同一平面的两条直线平行
【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案D 。

【命题意图】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，基础题。

3.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是
（A ）若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ （B ）若l α⊥，l m //，则m α⊥
（C ）若l α//，m α⊂，则l m // （D ）若l α//，m α//，则l m //
解析：选B ，可对选项进行逐个检查。

本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题
4. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测)已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若c a b a ⊥⊥,则b ∥c ；
②若c a b a ⊥⊥,则b ⊥c ；③若a ∥,b b ⊥c 则c a ⊥. 其中正确的个数为
A ．0个
B ．1个
C ． 2个
D ． 3个
答案：B
解析：①b ，c 可能异面；②b ，c 可能异面，也可能平行.
5．（2011江西理数8）已知321,,ααα是三个相互平行的平面,平 面21,αα之间的距离为1d ,平面32,αα之间的距离为2d .直线l
与321,,ααα分别交于321,,P P P .那么”“3221P P P P =是”“21d d =
的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：C
解析：平面321,,ααα平行，由图可以得知：
如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知3221P P P P =
如果3221P P P P =，同样是根据两个三角形全等可知21d d =
典例分析
考点一：线面平行的判定和性质
例1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 和AC 上的点，且A 1M ＝AN ． 求证：MN ∥平面BB 1C 1C ．
证明：在面BA 1内作MM 1∥A 1B 1交BB 1于M 1
在面AC 内作NN 1∥AB 交BC 于N 1
易证MM 1 NN 1即可
规律小结：证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法．
变式训练1： 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，
侧菱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点． ( 1 ) 证明：PA ∥平面EDB ；
( 2 ) 求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值． (1 ) 证明：提示，连结AC 交BD 于点O ，连结EO ．
( 2) 解：作EF ⊥DC 交DC 于F ，连结BF ． 设正方形ABCD 的边长为a ．∵ PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥DC ．
∴ EF ∥PD ，F 为DC 的中点．∴EF ⊥底面ABCD ，
BF 为BE 在底面ABCD 内的射影，
∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的角．
在Rt △BCF 中，BF ＝a CF BC 2522=
+ ∵ EF ＝21PD ＝
2a ，∴ 在Rt △EFB 中， tan ∠EBF ＝55=BF EF ．所以EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为5
5．
考点二：面面平行的判定和性质
例2. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1中
点． (1) 求证：平面AMN ∥平面EFDB ； (2) 求异面直线AM 、BD 所成角的余弦值． 解：(1) 易证EF ∥B 1D 1 MN ∥B 1D 1 ∴EF ∥MN AN ∥BE 又MN∩AN ＝N EF∩BE ＝E ∴面AMN ∥面EFDB
(2) 易证MN ∥BD ∴∠AMN 为AM 与BD 所成角
易求得 cos ∠AMN ＝1010
规律小结：判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理．正确运用两平面平行的性质． 变式训练2：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点． 求证：(1) AP ⊥MN ；
(2) 平面MNP ∥平面A 1BD ．
证明：(1) 连BC 1 易知AP 在BCC 1B 1内射影是BC 1
BC 1⊥MN ∴AP ⊥MN
B D
C E
P
A 1
A B C B 1 C 1 E F M N D 1 D
(2) ∵⇒⎭⎬⎫PM B A BD PN ////1面MNP ∥面A 1BD
考点三：线面平行、面面平行的应用
例3. 棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C 、M 、D 1作正方体的截面，则截面的面积是__________．
解析：由面面平行的性质知截面与面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形
CD 1MN ，易求其面积为92
. 答案：92
规律小结：1.辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用．
2. 注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线⇔线∥面⇔面∥面．
变式训练3：已知如图，斜三棱柱ABC-A
1B 1C 1中，点D 、D 1分
别为AC 、A 1C 1上的点．
(1)当A 1D 1D 1C 1
等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC
的值． 解：(1)如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1
＝1， 连结A 1B 交AB 1于点O ，连结OD 1.
由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，
所以点O 为A 1B 的中点．
在△A 1BC 1中，点O 、D 1分别为A 1B 、A 1C 1的中点，
∴OD 1∥BC 1.
又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，
∴BC 1∥平面AB 1D 1.
∴A 1D 1D 1C 1
＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1， (2)由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，
且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1，
平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O .
因此BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1.
∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD
. 又∵A 1O OB
＝1， ∴DC AD ＝1，即AD DC
＝1.。