开关变换器的状态空间平均建模

第3章 开关变换器的状态空间平均建模

开关变换器是通过调整开关元件的工作状态实现开关变换器输出电压的调整，在一个开关周期内，开关变换器是一个周期性时变电路，但在每一个开关工作状态，开关变换器又可以看作是一个线性电路。因此，不能用常规的线性电路理论对开关变换器进行分析，而必须研究适用于开关变换器的建模分析方法。

3.1 CCM 开关变换器的状态空间平均模型

3.1.1 CCM 开关变换器的状态空间方程及其近似解

对于在开关周期T 内有两个开关工作状态的开关变换器，即开关变换器工作在CCM 模式，可以分别写出它在每一个开关工作状态的状态方程，并进行求解。

工作状态1：在一个开关周期的[0，DT ]时间段，开关变换器的状态方程为：

d ()()()d t t t t

=+11x A x B u

(3.1a)

工作状态2：在一个开关周期的[DT ，T ]时间段，开关变换器的状态方程为：

d ()()()d t t t t

=+22x A x B u

(3.1b)

其中：x (t )是状态向量；u (t )是输入向量；A 1、A 2、B 1、B 2分别是工作状态1和工作状态2对应的状态矩阵和输入矩阵。

（I ）开关工作状态1对应的状态方程的解为

()()0d t

t

e t t e ττ⎰111A A u x =x()+B

(3.2)

当开关变换器的开关频率(f s =1/T )远大于状态方程的特征频率f 0，即f s >> f 0时，存在下述线性近似关系

DT DT e +≈11A I A

(3.3)

将式(3.3)代入式(3.2)，可得

00

()()0()d 0d DT

DT

DT DT

e

t DT e

t e

τ

ττ

τ

+=+

⎰⎰111A A A 111I A B u x()=x()+B u x() (3.4a)

当开关变换器的输入向量u (t )在一个开关周期内是常数，或相对于开关频率是慢变化量时，可以

用u (t )在一个开关周期内的平均值u 等效，于是，由式(3.4a)可得

221

2

0DT

DT D T DT e

++1A 111A x()=x()B u B u

(3.4b)

对于f s >> f 0，可以忽略式(3.4b)中的T 2项，从而得到下述线性近似关系

0DT DT DT e ≈+11A u x()x()B

(3.4c)

（II ）开关工作状态2对应的状态方程的解为

()

()()d t

DT

t DT e

t t e

DT τ

τ-⎰22A 2A u x =x()+

B (3.5)

同理，由式(3.5)可得： ()00T T T

T

T

D D D D D D T D T T e e DT e

e

DT e

''''+'=+1

1222A A 22A A A 22u

u u u

x()=B B x()+x()+B B (3.6)

其中

)(T D D T DT DT e ''=+2A 121u u A B I B

(3.7)

忽略式(3.7)中的T 2项，可得

)(T D D T DT DT DT e ''≈=+2A 1211u u u

A B I B B (3.8)

将式(3.8)代入式(3.6)，得

)()0(T D D T T e D D +'+'1

2A A 12u x()=x()+B B

(3.9)

式(3.9)对应的状态方程为：

)d d ()(D D D t

t t D ''++1212A A u x()

=x()+B B

(3.10)

其中t x()为开关变换器在一个开关周期内状态向量的平均值，式(3.10)即为描述CCM 开关变换器在一个开关周期内的状态空间平均方程。

值得注意的是，在上述分析过程中，存在两个基本的假定：

（1）开关变换器的开关频率(f s = 1/T )远大于状态方程的特征频率f 0，即f s >> f 0；

（2）开关变换器的输入向量u (t )在一个开关周期内是常数，或是相对于开关频率的慢变化量。 上述假定，对PWM 开关变换器是始终成立的。

3.1.2 CCM 开关变换器的状态空间平均方程

以上分析了开关变换器在一个开关周期内两个开关工作状态的状态方程，及其近似解的表达式。类似地，可以得到描述开关变换器所有变量行为的状态方程和输出方程及其平均等效方程。

当开关变换器工作于CCM 时，开关变换器在一个开关周期内存在两个开关工作状态，针对每一个开关工作状态，建立其对应的状态方程和输出方程。

工作状态1：在一个开关周期的[0，dT ]时间段，开关管导通，二极管关断，在这一时间段内，开关变换器的状态方程和输出方程为：

d ()

()()

d ()()()

t t t t

t t t =+=+1111x A x B u y C x E u (3.11a)

工作状态2：在一个开关周期的[dT ，T ]时间段，开关管关断，二极管导通，在这一时间段内，开关变换器的状态方程和输出方程为：

d ()

()()

d ()()()

t t t t

t t t =+=+2222x A x B u y C x E u (3.11b)

其中：x (t )是状态向量；u (t )是输入向量；y (t )是输出向量；A 1，A 2，B 1，B 2分别是工作状态1和工作状态2对应的状态矩阵和输入矩阵；C 1，C 2，E 1，E 2分别是工作状态1和工作状态2对应的输出矩阵和传递矩阵。

式(3.11)描述了CCM 开关变换器在一个开关周期内的状态方程，当开关变换器的开关频率远大于特征频率时，可以认为状态向量在一个开关周期内保持不变；此外，当开关变换器的输入向量u (t )在一个开关周期内保持不变，或是相对于开关频率的慢变化量时，在一个开关周期内，状态向量x (t )和输入向量u (t )可以分别用它们在一个开关周期内的平均值()t x 和()t u 近似。通过在一个开关周期内对所有变量进行时间平均（加权平均），可以得到CCM 开关变换器在一个开关周期内的状态空间平均方程为：

d ()

()(()())()(()())d t d t t t d t t t t

'=+++1122x A x B u A x B u (3.12a)

其中()1()d t d t '=-。类似地，可以得到CCM 开关变换器在一个开关周期内的平均输出方程为：

()()(()())()(()())t d t t t d t t t '=+++1122y C x E u C x E u

(3.12b)

将式(3.12)重新组合成线性连续系统的状态空间方程后，得到CCM 开关变换器在一个开关周期内的平均状态方程和平均输出方程

d ()

(()())()(()())()

d ()(()())()(()())()

t d t d t t d t d t t t

t d t d t t d t d t t ''=+++''=+++12121212x A A x B B u y C C x E E u (3.13)

其中()t x ，()t u 和()t y 是状态向量，输入向量和输出向量在一个开关周期内的时间平均值，d (t )是开关管的导通占空比。

图3.1给出了在一个开关周期内，状态向量x (t )在工作状态1和工作状态2的变化率与在一个开关周期内状态向量的净变化率之间的关系。从图3.1可以看出，当开关变换器的开关频率远大于电路的特征频率，即状态向量在一个开关周期内的变化很小时，可以用一个开关周期内状态向量的平均值()t x 很好的近似等效状态向量的变化。

式(3.13)所描述的状态空间平均模型可以表示成标准的状态方程形式

d ()

()()d ()()()

t t t t t t t =+=+x Ax Bu y Cx Eu (3.14a)