椭球面上大地问题的解算概要

同理可求出四阶以上的导数和L、A的高阶导 数，代入展开式即可。
三、 高斯平均引数正解公式
（一）基本思想
首先把勒让德级数在P1点展开改为在大地线 长度中点M展开，以使级数公式项数减少、收敛 快、精度高； 其次，考虑到求定中点M的复杂性，将M点用 大地线两端的平均纬度及平均方位角相对应的 m点来代替，并借助迭代计算，便可顺利的实现 大地问题的正解。
d2A S2 Am AM dS 2 8 M
1 Am A1 A2 2
1 Lm L1 L2 , 2
展开成级数，得： 2
dB dB dB dB Bm BM Am AM A dS m dS M dS m B dS m
椭球面上大地问题解算
一、概述 二、勒让德级数式 三、高斯平均引数正解公式（重点） 四、高斯平均引数反解公式（重点） 五、贝塞尔大地问题解算
一、 概述
（一）解算内容
大地问题正解 —— 已知 P1 点大地坐标（ B1， L1）、 P1P2 大地线长 S 和大地方位角 A1 ， 推求P2点大地坐标（ B2， L2 ） 和大地方位角A2。
2 dB cos A Vm cos Am 由大地线的微分公式： dS M Nm
两式相减，得： 类似地，有：
d B S dB B2 B1 b S 3 dS M dS M 24
3 3
1
S A12 2
AM
M
S 2
P2 B2 , L2
d 3L S 3 dL L2 L1 l S 3 dS M dS M 24 d3A S3 dA A21 A12 a S 3 dS M dS M 24
二、勒让德级数
按照泰勒级数将P1和P2两点的纬差b、经差l和方 位角差α展开成为大地线长度S的幂级数，称为 勒让德级数式。
1、纬度差、经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式
d 2 B S 2 d 3B S 3 dB b B2 B1 S 2 3 dS 0 dS 0 2 dS 0 6 d 2 L S 2 d 3L S 3 dL l L2 L1 S 2 3 dS 0 dS 0 2 dS 0 6 d 2A S2 d3A S3 dA a A2 A1 S 2 3 dS 0 dS 0 2 dS 0 6
由大地线的微分公式，得其一阶导数为：
dB cos A dS M dL sin A dS N cos B dA tan B sin A dS N
二阶和三阶导数采用复合函数求导法计算：
d 2 B dB dB dB dA 2 dS B dS dS A dS dS d 3 B d 2 B dB d 2 B dA 3 2 2 dS B dS dS A dS dS
（二）解算方法
3、高斯平均引数大地问题解算公式（间接解法，
适用于短距离）。 基本思路： a、按照平均引数展开的泰勒级数把大地线两 端点的经差、纬差和方位角差各表示为大地线长 S的幂级数； b、利用大地线微分方程推求幂级数中各阶 导数，最终得到大地问题解算公式。
大地主题解算分类：
正算：已知(B1, L1)，A12，S12，计算(B2, L2)，A21 反算：已知(B1, L1)， (B2, L2)， 计算A12，S12 ， A21 S 120 Km 120 Km S 400 Km 短距离 S 400 Km 中距离 长距离 解算方法：级数展开 勒让德级数 高斯平均引数公式 贝塞尔公式
高斯平均引数公式
若取大地线中点展开，得：
2 2 3 3 dB S d B S d B S B2 BM 2 3 dS M 2 dS M 8 dS M 48
N
2 2 3 3 dB S d B S d B S B1 BM 2 3 dS M 2 dS M 8 dS M 48
P 1 B1 , L1
两式相加，得：
d 2B S 2 Bm BM dS 2 8 M
类似地，有：
d 2L S 2 Lm LM dS 2 8 , M
1 其中： Bm B1 B2 , 2
dB 将 dS M
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大 地 问 题 反 解 —— 已 知 P1P2 两 点 的 大 地 坐 标 （ B1 ， L1 ）、（B2 ， L2）反算P1P2 的 大地线长 S 和大地方位角 A1 、 A2。
（二）解算方法
1、按解算的距离分为：短距离（<400km)、中 距离（400～1000km)和长距离（1000～2000km) 的解算。 2、按解算形式分为：直接解法和间接解法 直接解法——直接解求点B、A和相邻起算点的 大地经差。 间接解法——先求大地经差、纬差和大地方位 角差，再加入到已知点的相应大地数据中。主要 用于短距离大地问题的解算。