勾股定理经典例题(含答案)83672

=16

类型一：勾股定理的直接用法

1 、在 Rt △ABC 中，∠ C=90° (1) 已知 a=6， c=10 ，求 b ， (2) 已知 a=40，b=9，求 c ； (3) 已知 c=25， b=15，求 a. 思路点拨 : 写解的过程中， 一定要先写上在哪个直角三角形中， 注意勾股定理的变形使 用。

解析： (1) 在△ ABC 中，∠ C=90°， a=6， c=10,b=

(2) 在△ ABC 中，∠ C=90°， a=40，b=9,c=

(3) 在△ ABC 中，∠ C=90°， c=25，b=15,a=

举一反三

【变式】 : 如图∠B =∠ACD =90°, AD =13, CD =12, BC =3,则

AB 的长是

多少？

【答案】∵∠ ACD =90°

AD =13, CD=12

∴ AC 2 =AD 2－ CD 2 =13 2－ 122

=25

∴AC =5

又∵∠ ABC=90°且 BC =3 ∴由勾股定理可得

AB 2=AC 2－BC 2

=5 2－ 32

经典例题透析

∴ AB= 4

∴ AB的长是 4. =16

举一反三【变式 1】如图，已知： ， ， 于 P . 求证： . 类型二：勾股定理的构造应用

2 、如图，已知：在 中， ， ， . 求： BC 的长 .

思路点拨 ：由条件 ，想到构造含 角的直角三角形，为此作 于 D ，则 有

， ，再由勾股定理计算出 AD 、 DC 的长，进 而求出

BC 的长 .

解析 ：作 于 D ，则因 ，

∴ （ 的两个锐角互余）

∴ （在 中，如果一个锐角等于 ， 那么它所对的直角边等于斜边的一半） . 根据勾股定理，在 中，

.

根据勾股定理，在 中，

.

∴

.

解析：连结BM，根据勾股定理，在中，

.

而在中，则根据勾股定理有

.

∴

又∵ （已知），∴.

在中，根据勾股定理有

，

∴.

【变式2】已知：如图，∠ B=∠D=90°，∠ A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

解析：延长AD、BC交于E。

∵∠ A=∠60°，∠ B=90°，∴∠ E=30°。

C Ｈ＝０ . ６＋２ . ３＝２ . ９（米）＞２ . ５（米）．

因此高度上有米的余量，所以卡车能通过厂门．

（二）用勾股定理求最短问题

4 、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电

∴BE 2=AE 2-AB 2=82-4 2=48，BE= = 。

∵DE 2= CE 2-CD 2=42-2 2=12，∴ DE= = 。

∴ S 四边形 ABCD =S △ABE -S △CDE = AB · BE- CD · DE=

类型三：勾股定理的实际应用

一）用勾股定理求两点之间的距离问题

如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿

3、 北偏 东 60°方向走了 到达 B 点，然后再沿北偏西 30°方向 走了 500m 到达目的地 C 点。

1）求 A 、 C 两点之间的距离。

2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。

解 析 ： （ 1 ） 过 B 点 作 BE

米，

网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，

现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线

部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．

解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为

AB+BC+CD ＝3，AB+BC+C＝D3

图（3）中，在Rt△ABC中

同理

∴图（3）中的路线长为

图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH

由∠ FBH＝及勾股定理得：

EA ＝ED＝FB＝FC＝

∴EF＝1－2FH＝1－∴此图中总线路的长为4EA+EF＝

3>>

∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．举一反三

【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一

只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

（提问：勾股定理） ∴ AC ＝ ＝ ＝ ≈１０．７７（ cm ）（勾股定理）． 答：最短路程约为１０．７７ cm ．

类型四：利用勾股定理作长为 的线段

5 、作长为 、 、 的线段。

思路点拨： 由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于 ， 为 和 1 的直角三角形斜边长就是 ，类似地可作 。

作法：如图所示

斜边为 ；

样斜边 、 、 、 的长度就是

、、、。

举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。

解析： 可以把 看作是直角三角形的斜边，

为了有利于画图让其他两边的长为整数，

解：

直角边 1） 2）

作直角边为 1（单位长）的等腰直角△ ACB ，使 AB 为斜边；

以 AB 为一条直角边，作另一直角边为 1 的直角

3） 顺次这样做下去， 最后做到直角三角形 ，这

如图， cm ， 根据勾股定理得