邻井法面距离计算方法的改进

邻井法面距离计算方法的改进
夏泊洢
(中国石油长城钻探公司工程技术研究院,辽宁 盘锦 124010)
摘要：当邻井井段的两个端点都位于比较井某个计算点的法面之同侧时，现有的邻井法面距离扫描算法对于法面与邻井井段的交点的位置判断是不完善的，容易造成错误的判断，影响法面距离计算的可靠性。

利用矢量代数工具推导出了法面与邻井上稳斜井段和圆弧井段的交点的解析计算公式，避开了原有算法中利用与端点坐标参数有关的一个不等式对法面与交点的位置关系的判断。

对于其他曲线类型的比较井段，当井段端点位于法面同侧时，利用法面法矢量与比较井段切线夹角的连续单调性，使用数值迭代法能够求出比较井段与平行于法面的某个斜平面的切点(如果存在交点)，进而使用二分法求出法面与比较井段的两个交点。

使用以上改进方法开发的邻井防碰扫描计算机软件增加了法面距离计算的可靠性。

关键词：法面距离；井眼轨道；轨迹监控；钻井设计；防碰扫描
作者简介：夏泊洢，男，1985年5月生。

2008年毕业于中国石油大学(北京)计算机科学与技术专业，助理工程师，从事钻井工程计算及钻井软件研发等工作。

项目基金：本项研究受国家科技重大专项“大型油气田及煤层气开发”之课题21-6“钻井工程设计和工艺软件”(编号:2008ZX05021-006)和中国石油长城钻探工程有限公司科技开发项目“钻井数据管理系统配套与应用”(编号:2010A11)的资助。

Perfection of Calculating Normal Plane Distance between Wells
XIA Bo-yi
(Engineering & Technology Research Institute of Great Wall Drilling Corporation of PetroChina;
Panjin Liaoning 124010)
Key Words：normal plane distance；trajectory；drilling monitoring；drilling design；anti-collision scanning
在定向井、水平井的实钻监控过程中，法面距离是
衡量实钻井眼轨迹与设计轨迹之间的偏差的一个重要
依据。

在丛式井防碰方面，法面距离也可以用来度量邻
井之间的接近程度。

1
XYZ O
法面距离的计算原理[1,2]比较简单：求基准井上某点(计算点)的法平面与比较井的交点，这两个交点之间的距离就是法面距离。

法面距离扫描计算[3-6]主要包括两个步骤：(1)判断法面与比较井的交点所在的井段；
(2)使用解析法或数值迭代法计算交点。

判断交点所在比较井段依据一个不等式判据，当将比较井段两个端点坐标值代入计算点的法面方程时，如果异号，则认为交点在该井段上。

然而这个判别方法是不准确的，它隐含着假设比较井与基准井的走向相近，在考察实钻井与设计井之间的偏差情况时比较合适；但是在丛式井防碰扫描时，由于可能会出现两井轨迹接近垂直的情况，这时的法面距离计算会出现异常。

本文提出一种严密的数学方法，能够在任何情况下都能准确地判断出法面与比较井的交点的位置关系。

约定：除非特别指明，具有长度量纲的参数其单位为m，角度的单位为弧度(rad)。

1 法面方程
以基准井的井口为坐标原点建立整体坐标系−，X轴指向正北方向，Y轴指向正东方向，Z 轴垂直向下，形成右手坐标系。

井眼轨迹上任一点的井身参数包括：井深L，井斜角α，方位角ϕ，北坐标X，东坐标Y，垂深Z。

井眼轨迹在该点的切线方向矢量为：
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
α
ϕ
α
ϕ
α
cos
sin
sin
cos
sin
n
m
l
t
主法线方向矢量(即法面的法矢量)为：
⎟
⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=αϕαϕαsin sin cos cos cos ξ
约定：当G 为整体坐标系中任一点时，用表示任意物理参数u 在点G 的值。

例如，表示G 点的井深，表示G 点的空间(整体)坐标。

G u G L ),,(G G G Z Y X 空间中的点有时也用矢量符号来表示：
⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛=Z Y X r
矢量长度为：
2
22Z X ++=r
空间中任意两点G 和K 之间的距离为：
K G K G d r r −=),(
在没有歧义的情况下，也简记为。

),(K G d d GK = 过这两点的有向直线GK 的方向矢量为：
GK
G
K GK d r r q −=
已知基准井轨迹上任一点P 的井身参数，则法面
的方程为：
P Ω0)(=−⋅P P r r t (1) 式中运算符号·表示矢量内积。

记式(1)左端为函数),,(Z Y X f ，亦简记
),,()(G G G Z Y X f G f =
一般认为[6]
，如果
0)()(≤B f A f (2) 则法面与井段AB 有交点C ，法面距离等于。

PC d 然而这个判断是不准确的，例如，当A 、B 在法面的同侧且法面与AB 有两个交点(或者法面与井段AB 相切时)时，式(1)并不成立；式(1)只适用于A 、B 在法面的异侧(或者其中之一在法面上)且与法面只有一个交点的情况。

因此，需要寻找更好、更准确的办法来正确判断法面与井段交点之间的位置关系。

2 法面与稳斜井段的交点
稳斜井段在一条空间直线上。

空间直线与法面之间
的位置关系有三种情况：(1)直线在法面上；(2)直线与法面相平行；(3)直线与法面相较于一点。

据此可以给出稳斜井段与法面之间的位置关系的详细分类。

(1)当0)(=A f 且时，稳斜井段AB 位于法面内，井段与法面的交点有无穷多个。

0)(=B f (2)当0)(=A f 且时，交点为A 。

0)(≠B f (3)当0)(≠A f 且时，交点为B 。

0)(=B f (4)当0)(≠A f 且时，如果0)(≠B f 0=⋅A P t t ，则稳斜井段AB 与法面相平行，没有交点。

(5)排除以上各种情况之后，再用式(2)来判断稳斜井段与法面是否存在交点。

假设交点C 的矢量为：
μA A C t r r += (5)
(μ为待定参数)代入式(1)，解得：
AP A
P AP
P d t t q t ⋅⋅=
μ (6)
由式(6)求出μ之后，如果满足下面的不等式：
AB d ≤≤μ0
则交点C 在稳斜井段AB 之内；否则，稳斜井段AB 与法面没有交点。

法面扫描角定义为[8]
：以基准井P 点处的井眼高边
为始边，绕该点处井眼切线方向顺时针转至C 点所形成
的角度。

故有：
PC
P
C P P d r r −⋅
=ξψcos 式中：P ψ为法面扫描角，P ξ为P 点处的井眼轨迹主法线方向矢量，为P 点与C 点之间的距离(即法面
距离)。

PC d 3 法面与圆弧井段的交点
圆弧井段AB 是位于空间中的一个斜平面上的，简称这个斜平面为斜面。

计算圆弧井段与法面的交点时，也要首先考虑第2段中的前三种特殊情况。

第(4)种特殊情况是法面与斜面相平行。

假设圆弧曲率半径为R ，圆心角为ε，圆心为点D ，则有[7]
：
A B AD t t q ε
εtan 1
sin 1−=
(7) 斜面的法向单位矢量为
2
εsin A B A AD D t t t q a ×=
×= (8) 式中运算符号×表示矢量叉积。

当时，法面与
斜面相平行，圆弧井段与法面必然没有交点。

D P a t = 除了以上四种特殊情况之外，斜面与法面相交于一条直线EF ，见图1。

因此，法面与圆弧AB 的相交情况等价于直线EF 与圆弧AB 的相交情况，这样就将一个
空间几何问题简化为斜平面上的一个平面几何问题。

图1 法面与斜面相交于直线
直线EF 的方程由法面方程和斜面方程联立而成：
⎩⎨
⎧=−⋅=−⋅0)(0
)(D D
P P r r a r r t (9) 假设C 为圆弧AB 上的任一点，子弧AC 的圆心角为θ，显然应有： εθ≤≤0 (10) 再利用式(7)得：
A C AD t t q θθtan 1
sin 1−=
(11) C B CD
t t q )tan(1)sin(1θεθε−−−= (12) 解的：
A AD C t q t )(cos )(sin θθ+= (13)
B
C
D C R
R
t t r r )
sin()tan(θεθε−−−+= (14)
将式(13)～(14)代入方程组(9)的第一个方程中，
得到关于未知数θ的方程： g b c =−θθcos sin (15) 式中：
AD P b q t ⋅= A P c t t ⋅=
R
g D P P r
r t −⋅= 如果C 点在直线EF 上，则方程(15)必有满足不等式(10)的解θ。

反之，如果方程(15)无解，或者有解但
不满足不等式(15)，则法面与圆弧井段没有交点。

如果，则方程(15)的通解如下：
2
2
2
g c b ≥+2
2
arcsin
)1(arctan c
b g c
b
k k +−++=πθ
式中：k 为任意整数。

应注意方程存在两个解的情况，见图
2。

图2 直线与圆弧的三种位置关系
4 法面与其他曲线井段的交点
前面考虑了比较井上井段为圆弧井段和稳斜井段的情况，在这两种情况下，如果法面与比较井段有交点，则交点参数可以解析计算，计算简捷、快速。

当比较井为实钻时，一般使用最小曲率法来根据测斜数据计算实钻井眼轨迹井身参数，这时，每个测段为圆弧井段或稳斜井段，归结为前面的两种情况。

当比较井为非圆弧型的设计井时，无法使用前面的
解析方法计算法面与比较井段的交点，一般需要使用数值迭代法通过类似于式(2)的判别条件来求出近似交点，但是计算量较大。

比较井段AB 与法面之间的位置关系有以下几种情况：
(1)当0)(=A f 且时，
交点至少有两个：A 和B 。

0)(=B f (2)当0)(=A f 且时，交点为A 。

0)(≠B f (3)当0)(≠A f 且时，交点为B 。

0)(=B f (4)当0)()(<B f A f 时，井段端点A 和B 在法面的异侧，唯一一个交点在井段AB 之内。

(5)当时，井段端点A 和B 在法面
的同侧，交点情况有三种：法面与井段相较于两点；法
面与井段在某点相切(有一个交点)；法面与井段无交点。

0)()(>B f A f
3
对于第(4)种情况，使用原有迭代算法[1-2,4,8]
可以
求出法面与井段的交点。

M P M t t ⋅=γcos
根据曲线的凸性可知M γ是单调增加的或者单调减少的，因此，当B A γπγ≤≤2/或A B γπγ≤≤2/时，根据函数的连续性和单调性，在井段上必存在一点C 使得2/πλ=C 。

对于第(5)种情况，原有迭代算法认为法面与比较井段没有交点，产生错误判断。

因此对这种情况，需要给出一个新的迭代算法。

根据微分几何学建立了一个具有严密数学基础的迭代法，由于公式推导、数学证明的过程较长，本文只给出算法思路，详细研究成果将另文发表。

5 结论
(1)判断基准井的法面与邻井交点的经典算法中有一个缺陷，当邻井井段两个端点位于法面的同侧时，经典算法可能产生错误判断。

假设：
(1)井眼轨迹弯曲井段AB 为空间凸连续曲线； (2)井段端点A 和B 在法面的同侧；
(2)基于严密的几何分析，提出了计算法面与稳斜井段和圆弧井段的交点的解析计算公式，可以在存在交点的任何情况下求出法面与稳斜井段和圆弧井段的交点。

(3)井段曲线与法向量为的某个平面相切与C 点； P t 那么：
(3)对于其他类型的曲线井段，通过求曲线井段切线与法面法矢量的夹角，给出了当井段两个端点位于法面同侧时法面与井段的交点的一个新的数值算法。

(1)如果C 点不存在，则法面与井段没有交点。

(2)如果C 点还在法面上，则C 点就是法面与井段的交点。

(4)本文提出的新方法可以改进法面距离扫描计算的可靠性，对于提高邻井防碰扫描计算机软件的功能和计算可靠性有较大的帮助。

(3)如果A 、B 、C 三点在法面的同侧，则法面与井段没有交点。

(4)如果A 、B 与C 在法面的异侧，则法面与井段有两个交点。

参考文献
对于第(4)种情况，由于A 与C 和B 与C 在法面的异侧，可以使用原有迭代算法[1-2,4,8]
可以求出法面与井段
的交点。

[1] 韩志勇,宁秀旭.一种新的定向钻井绘图----法面扫描图
[J].中国石油大学学报(自然科学版),1990,14(3):24-30. [2] 韩志勇.定向钻井设计与计算[M].北京:中国石油大学出版
社,2007.
上面关键之处是求出切点C 。

下面根据两个矢量之
间夹角的属性给出求C 点的一个方法，参见图3。

[3] 鲁港,邢玉德,吴俊林,等.邻井防碰计算的快速扫描算法
[J].石油地质与工程,2007,21(2):78-81.
[4] 齐兆斌.使用最小曲率法计算邻井间法面距离的新方法[J].
石油仪器,2008,22(1):72-74.
[5] 王家华,段天向,于继良.定向钻井法面距离扫描算法的改
进[J].西安石油大学学报(自然科学版),2004,19(1):41-43.
[6] 刘修善,苏义脑.邻井间最近距离的表述及应用[J].中国海
上油气(工程),2000,12(4):31-34.
[7] 唐雪平,苏义脑，陈祖锡.三维井眼轨道设计模型及其精确
解[J].石油学报,2003,24(4):90-93.
图3 求曲线切点C 的示意图
[8] 刘修善,岑章志.井眼轨迹间相互关系的描述与计算[J].钻
采工艺,1999,22(3):7-12.
曲线井段上任意点M 处的切线矢量为，法面的法矢量为，二者之间的标量乘积等于矢量之间夹角的余弦 M t P t
4。