高中数学变化率与导数

变化率与导数

【学习目标】

（1）理解平均变化率的概念；

（2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

（3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； （4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率； 【要点梳理】

要点一、平均变化率问题 1.变化率

事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率

一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121

()()

f x f x x x --

要点诠释：

① 本质：如果函数的自变量的“增量”为x ∆,且21x x x ∆=-,相应的函数值的“增量”为y ∆,21()()y f x f x ∆=-,则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为

2121()()f x f x y x x x -∆=∆- ② 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.

即递增或递减幅度的大小。

对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。如位移运动中，位移S （m ）从

t 1秒到t 2秒的平均变化率即为t 1秒到t 2秒这段时间的平均速度。

高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

3.如何求函数的平均变化率

求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=- ②作商：对所求得的差作商，即2121

()()f x f x y x x x -∆=∆-。 要点诠释：

1. x ∆是1x 的一个“增量”，可用1x x +∆代替2x ，同样21()()y f x f x ∆=-。

2. x 是一个整体符号，而不是与x 相乘。

3. 求函数平均变化率时注意,x y ，两者都可正、可负，但x 的值不能为零，y 的值可以为零。若函数()y f x =为常函数，则y =0. 要点二、导数的概念

定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()x

x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000lim lim

，我们称它为函

数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0

x x y ='

()()()x

x f x x f x y

x f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000lim lim

＝

要点诠释：

① 增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数。

② 0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数。

即存在一个常数与

00()()

f x x f x y x x

+∆-∆=

∆∆无限接近。 ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率。

要点三、求导数的方法： 求导数值的一般步骤：

① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；

② 求平均变化率：00()()

f x x f x y x x

+∆-∆=

∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()lim lim

x x f x x f x y

f x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆。 也可称为三步法求导数。

【典型例题】

类型一：求平均变化率

例1 函数1

()y f x x

==

在区间[1，1+Δx]内的平均变化率为________。 【解析】 ∵1(1)(1)111x

y f x f x x

-∆∆=+∆-=-=

+∆+∆ ∴1

1y x x

∆=-

∆+∆ 【点评】 由于平均变化率是函数值增量与自变量增量之比，所以求函数在给定区间[x 0，

x 0+Δx]上的平均变化率问题，就是求

00()()

f x x f x y x x

+∆-∆=∆∆的值。 举一反三：

【变式1】求2x y =在0x x =附近的平均变化率. 【答案】2020)(x x x y -∆+=∆

所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆2

20)(x x x

x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02

【变式2】求221y x =+在0x 到0x x +∆之间的平均变化率，并求01x =，1

2

x ∆=时平均变化率的值.

【答案】当变量从0x 变到0x x +∆时，函数的平均变化率为

22

0000()()[2()1][21]

f x x f x x x x x x

+∆-+∆+-+=

∆∆042x x =+∆ 当01x =，12x ∆=

时，平均变化率的值为：1

41252

⨯+⨯=. 【变式3】 已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,

则

=∆∆x

y

． 【答案】 ∵ )1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，

∴ 2(1)(1)23y x x x x x

∆--+∆+-+∆+==-∆∆∆ 类型二：利用定义求导数值

例2 （1）求函数 2()3f x x =在x =1处的导数.

（2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 【解析】 (1) 22(1)(1)3(1)363()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆

2

63()63y x x x x x

∆∆+∆==+∆∆∆, 0lim(63)6x x ∆→+∆=，即(1)6f '=.

所以 函数 2()3f x x =在x =1处的导数为6 .

（2） 依照定义，f (x )在1x =-的平均变化率，为两增量之比，