连续体的振动

化简得：
(4-56)
对x+dx截面任一点取矩，做力矩平衡方程得：
化简得：
梁的横向振动
将(4-58)代入（4-56）得：
(4-57) (4-58)
梁的横向振动
上式即为等截面横梁自由振动的运动方程，它是一个四阶齐次 偏微分方程
薄膜的横向振动
横向振动方程
如下图所示，在xy平面内边界曲线为S=S(x,y)的薄膜。 令f(x,y,t)表示沿z方向作用的力 T表示在某点处张力的密度，为常量
2.与离散系统相似，弦在任意初始条件下的自由振动可以由固 有振型的叠加构成。
3.阶数越高，节点数越越多。第i阶振型中节点个数为i-1。
杆的纵向振动
以等截面细直杆的纵向振动为例
假设振动过程中各截面仍保持为平面 忽略有纵向振动引起的横向变形
杆的纵向振动
微段分析
u(x,t)为杆上距原点x处截面在时刻t的纵向位移
3.因连续体有无限个自由度，所以运动方程不再像有限 多自由度系统那样是二阶常微分方程组，而是偏微分方程
弦的横向振动
微元法求弦振动方程 弦两端固定，以张力F拉紧，在分布力作用下做横向振动 ρ为单位长度弦的质量 p(x,t)为单位长度弦上分布的作用力， 建立坐标系xoy y(x,t)弦上距原点x处的横截面在t时刻的横向位移
取微段，对微段进行受力分析：
弦的横向振动
根据达朗贝尔原理:
将方程整理得：
弦的横向振动的固有频率和主振型
固有频率和主振型 从前面的章节中，我们知道振动系统的固有频率和主振型可以通 过研究其自由振动来获得。 弦的自由振动有一个性质：弦上的各点做同步运动
可以用数学中的分离变量法：将弦振动函数y(x,t)分解为空间函 数Y(x)和时间函数F(t)的乘积
总结 弦的横向振动 杆的纵向振动 轴的扭转振动
虽然它们在运动形式上表现不同，但运动微分方程是类似的，都 是一维波动方程
轴的扭转振动
所以根据弦横向振动微分方程的解可直接写出：
梁的横向振动
梁的横向自由振动 一根棱柱形梁在x-y平面内所做的横向自由振动
梁的横向振动
取微段
由达朗贝尔原理列出方程式：
梁的横向振动
将上式代入（4-37）得：
设为
得到：
杆的纵向振动
这两个微分方程的解分别为：
轴的扭转振动
轴的扭转振动 细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动
假设振动过程中各截面仍保持为平面
轴的扭转振动
取微段，截面处的扭矩为T,则： 由达朗贝尔原理列出方程为： 整理得：
(圆截面杆的强迫振动方程)
轴的扭转振动
弦的横向振动的固有频率和主振型
整理则有：
（4-4）
关于方程(4-4)二阶常微分方程，解为：
（4-5） （4-6）
弦的横向振动的固有频率和主振型
式中，A、B由两个初始条件决定。
式中，C、D由两个初始条件决定。
对于两端固定的弦，边界条件是：
{
{或
（4-7） （4-8）
弦的横向振动的固有频率和主振型
由达朗贝尔原理列出方程式为：
(4-36)
杆的纵向振动
将（3-35）代入（4-37）得：
(4-37) （杆的纵向强迫振动方程）
对于等直杆ES为常数，自由振动时p(x,t)=0，所以：
杆的固有频率和主振型
由于杆的振动方程和弦横向振动方程类似，也是运用分离变 量法
u(x,t)=U(x)F(t) 式中 U(x)为空间函数，F(t)为时间函数
连续体振动
关于连续体 咱们之前研究的单自由度、双自由度、多自由度系统 都是有限多自由度系统，可以看成由有限个质量、刚度 集中点所构成； 而连续体则将零件看成由质量、刚度连续分布的物体所 组成。
1.连续体也叫弹性体，具有连续分布的质量和弹性，现 实中的机械零件都是连续体。
2.由于确定连续体上无数质点的位置，需要无限多个坐 标，所以连续体是一种无限自由度的系统。
运动的初始条件为：
{
（4-9）
有了这四个约束条件，就能求解系统的偏微分方程了。将(4-8) 代入式(4-7)中，得到：
（4-10） 这就是两端固定弦的特征方程，由此可得到一系列的特征值：
弦的横向振动的固有频率和主振型
（4-12）
一一对应
弦的横向振动的固有频率和主振型
由于D=0，振型是各点振幅的比值，比例因子C不影响该比值，所以： （4-13）
将(4-13)和(4-6)代入y(x,t)=Y(x)F(t)中，即得到弦的主振动
由于弦各阶主振动的叠加即为百度文库由振动定解，所以：
弦振动性结论
弦振动性结论
1.两端固定弦的自由振动，除了基频之外，还可以包含频率为 基频整数倍的振动，这种倍频振动称为谐波振动。在音乐上， 正是这种频率之间的整数倍关系模式的谐波与基波组成了各种 悦耳的谐音结构。
薄膜的横向振动
若薄膜均匀，载荷处处相等，则上式化简即获得薄膜横向 强迫振动的微分方程：
薄膜的横向振动
如果外力f(x,y,t)=0,则可以由上式得自由振动方程：
(经典的二维波动方程)