学而思初一数学秋季班第11讲 角的计算与证明

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初一秋季·第11讲·尖子班·教师版

原来如此！！！

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漫画释义

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角的计算与证明

图形的认识7级 平行线的性质及判定

图形的认识6级 直线的相交 图形的认识5级 角的计算与证明

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1. 角的定义、表示方法、分类．

2. 角平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，这条射线叫做这个角的角平分线． 3. 余角和补角

余角：如果两个角的和等于90︒，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 补角：如果两个角的和等于180︒，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 两个基本定理：① 同角（或等角）的余角相等．②同角（或等角）的补角相等．

注意：暑期班提及过余角、补角、角分线相关知识但只是简单介绍，本讲深入了解，并让学生熟练掌

握．对于角的基本概念、分类和表示方法等相关知识这里不再重复讲解，建议教师根据班级情况自行讲解.

【例1】 ⑴ 如果90αβ∠+∠=︒，而β∠与γ∠互余，那么α∠与γ∠的关系为（ ）

A ．互余

B ．互补

C ．相等

D ．不能确定

⑵ 已知α∠是锐角，α∠与β∠互补，α∠与γ∠互余，则βγ∠-∠的值等于（ ） A ．45° B ．60° C ．90° D ．180°

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典题精练

题型一：余角、补角及角分线的简单运算

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D

O

E

C

B

A

⑶如果α∠和β∠互补，且αβ∠>∠，则下列表示β∠的余角的式子中：① 90β︒-∠；

②90α∠-︒；③ 1()2αβ∠+∠；④ 1

()2

αβ∠-∠．正确的有（ ）

A ． 4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

⑷ 一个角的余角的2倍和它的补角的

1

2

互为补角，求这个角的度数．

【解析】 ⑴ C ；同角或等角的余角相等；⑵C ；一个角的补角与这个角的余角的差等于90°；⑶B ； ⑷ 设这个角的度数为x ，则它的余角为90x ︒-，补角为180x ︒-，由题意，得：

1

2(90)(180)1802

x x ︒-+︒-=︒，解得：36x =︒．

【铺垫】⑴ 下列说法：①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是

同一个角的余角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．其中正确的说法有（ ） A ． 4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 ⑵ 下列说法中，正确的是（ ） A ．一个角的补角必是钝角 B ．两个锐角一定互为余角 C ．直角没有补角

D ．如果180MON ∠=︒，那么M ，O ，N 三点在一条直线上 ⑶ 下列语句正确的是（ ）

A ．钝角与锐角的差不可能是钝角

B ．两个锐角的和不可能是锐角

C ．钝角的补角一定是锐角

D ．α∠和β∠互补（αβ∠>∠），则α∠是钝角或直角 【解析】 ⑴ C; ⑵ D;⑶C.

【备选】⑴ 若一个角的余角是40°，则这个角是（ ）

A ．40°

B ．50°

C ．60°

D ．140° ⑵ 互为补角的两个角度比是3:2，这两个角是（ ）

A ．108°，72°

B ．95°，85°

C ．108°，80°

D ．110°，70°

⑶ 对于互补的下列说法中：①∠A+∠B+∠C=90°，则∠A 、∠B 、∠C 互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中，正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

⑷如图，A ，O ，B 在一条直线上，AOC ∠是锐角，则AOC ∠的余角是（ ）

A ．12BOC AOC ∠-∠

B ．1322BO

C AOC ∠-∠ C ．1()2BOC AOC ∠-∠

D ．1

()

3BOC AOC ∠+∠

【解析】⑴ B ；⑵ A ；⑶B ；⑷C. 【总结】复习余角与补角的基本概念

【例2】 ⑴ 如右图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平 分 COB ∠，

若55EOB ∠=︒，则BOD ∠的度数是（ ） A B C O

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F

E D C

B

A

N M

A

B C D

O

A

C D E 图2

图1

F

A ．35︒

B ．55︒

C ．70︒

D ．110︒

⑵ 如右图，分别在长方形ABCD 的边DC 、BC 上取两点E 、F ， 使得AE 平分∠DAF ，若∠BAF = 60°，则∠DAE =（ ）． A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°

⑶ 如右图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=︒，

10BOC ∠=︒，求AOD ∠= .

【解析】 ⑴ C ；⑵ A ；⑶22501090AOD MON BOC ∠=∠-∠=⨯︒-︒=︒．

【例3】 如图所示，OM 是AOC ∠的平分线，ON 是BOC ∠的平分线，

⑴ 如果28AOC ∠=°，35MON ∠=°，求出AOB ∠的度数； ⑵ 如果MON n ∠=°，求出AOB ∠的度数；

⑶ 如果MON n ∠=°的大小改变，AOB ∠的大小是否随之改变? 它们之间有怎样的大小关系?请写出来. 【解析】 ⑴ ∵OM 平分AOC ∠

∴1

2

MOC AOC ∠=∠

∵ON 平分AOC ∠

∴1

2

NOC BOC ∠=∠

∵()11

22

MON NOC MOC BOC AOC AOB ∠=∠+∠=

∠+∠=∠ 35MON ∠=°

∴2AOB MON ∠=∠ ∴70AOB ∠=°；

⑵ 同上22°AOB MON n ∠=∠=；

⑶ MON ∠的大小改变时AOB ∠的大小也随之改变 当090n ︒<︒≤时，2AOB MON ∠=∠． 当90180n ︒<<︒时，3602AOB n ∠=︒-.

N

M A

B

O

C