第一章集合与函数概念章末整合提升随堂优化训练课件

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要使函数 f(x) 在 x ∈[2 ，＋∞) 上为增函数，必须 f(x1) －
f(x2)＜0 恒成立．
∵x1－x2＜0，∴a＜x1x2(x1＋x2)恒成立． 又∵x1＋x2＞4，x1x2＞4， ∴x1x2(x1＋x2)＞16. ∴a 的取值范围是(－∞，16]．
专题三
函数的实际应用
【例 3】 我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价 格调控等手段以达到节约用水的目的，某市用水收费标准是： 水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定： ①若每月用水量不超过最低限量 m 立方米时，只付基本费 9 元和每户每月定额损耗费 a 元； ②若每月用水量超过 m 立方米时，除了付基本费和定额损
a 当 a≠0 时，f(x)＝x ＋x (a≠0，x≠0)，
2
取 x＝±1，得 f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0， ∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)． ∴函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)设 2≤x1＜x2，
a a 2 2 f(x1)－f(x2)＝x1＋x －x2－x 1 2 (x1－x2) ＝ x x [x1x2· (x1＋x2)－a]，
15－ 17 15± 17 解得 t＝ 2 .∴t＝ . 2
②当 6<t≤8 时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小， ∴f(10)－f(8)＝12－t，解得 t＝8.
③当 8<t<10 时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小， ∴f(10)－f(t)＝12－t，即 t2－17t＋72＝0.
【互动与探究】 1．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价 格曲线 y＝f(x)，一种是平均价格曲线 y＝g(x)，如 f(2)＝3 表示
开始交易后 2 小时的即时价格为 3 元，g(2)＝4 表示开始交易后
2 小时内所有成交股票的平均价格为 4 元，下面所给出的四个 图象中，实线表示 y＝f(x)，虚线表示 y＝g(x)，其中可能正确的 是( )
∴当 r∈[30,40]时，函数 y 单调递减．
10 000 ∴函数 y＝300 000＋960π× π －7680π 在[30,40] ＋ r r
上为减函数． ∴当 r＝40 时，ymin≈636 461. 即运动场的造价最低为636 461元．
耗费外，超过部分每立方米付 n 元的超额费；
③每户每月的定额损耗费 a 不超过 5 元．
(1)求每户每月水费 y(单位：元)与用水量 x(单位：立方米) 的函数关系式； (2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用 如下表所示： 月份 一 二 三
用水量/立方米 4 5 2.5
水费/元 17 23 11
(2)是否存在常数 t(t≥0)，当 x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间
D，且区间 D 的长度为 12－t(视区间[a，b]的长度为 b－a)．
解：(1)∵f(x)＝x2－16x＋q＋3 的对称轴是 x＝8， ∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数． 函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有：
【互动与探究】
a 3．已知函数 f(x)＝x ＋x (x≠0，常数 a∈R)．
2
(1)讨论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数 f(x)在 x∈[2，＋∞)上为增函数，求实数 a 的取
值范围．
解：(1)当 a＝0 时，f(x)＝x2， ∵对任意 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
f(1)≤0， f(－1)≥0，
1－16＋q＋3≤0， 即 1＋16＋q＋3≥0，
∴－20≤q≤12.
(2)当 0≤t<10 时，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间(8,10] 上是增函数，且对称轴是 x＝8.
①当 0≤t≤6 时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，
∴f(t)－f(8)＝12－t，即 t2－15t＋52＝0.
章末整合提升
专题一
数形结合思想在函数中的应用
数形结合思想是数学中重要的思想方法之一，具有直观性、 灵活性和深刻性的特点，并跨越各学科界限，有较强的综合性， 加强这方面的学习和训练，对巩固数学知识、打好基础、提高
能力有重要作用．
【例 1】 用 min{a，b}表示 a，b 两数中的最小值，若函数
(2)由于条件限制 r∈[30,40]，问当 r 取何值时，运动场的造 价最低(精确到整数)?
图 1-3 解：(1)塑胶跑道面积为
2 10 000 － π r S＝π[r2－(r－8)2]＋8× ×2 2r
80 000 ＝ r ＋8πr－64π. 100 ∵πr ＜10 000，r－8≥0，∴8≤r＜ . π
【互动与探究】 4．某学校要建造一个面积为 10 000 平方米的运动场．如 图 1-3，运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD，BC 为直径 的两个半圆组成．跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道，运动场除跑
道外，其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方米造价为 150
元，草皮每平方米造价为 30 元． (1)设半圆的半径 OA＝r(单位：米)，试建立塑胶跑道面积 S 与 r 的函数关系 S(r)；
解得 t＝8 或 t＝9，∴t＝9.
15－ 17 综上所述，存在常数 t＝ 或 t＝8 或 t＝9 满足条件． 2
“区间固定对称轴动”以及“对称轴固定区 间动”是二次函数中分类讨论的最基本的两种题型．本例中的 二次函数是对称轴固定，而区间不固定，因此需要讨论该区间 相对于对称轴的位置关系，即分情况讨论．
4 立方米，5 立方米都大于最低限量 m 立方米．
x＝4， 将 y＝17 x＝5， 和 y＝23
分别代入②式，
17＝9＋n(4－m)＋a， 得 23＝9＋n(5－m)＋a，
两式相减，得 n＝6. 代入 17＝9＋n(4－m)＋a，得 a＝6m－16. 又三月份用水量为 2.5 立方米，
1 f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线 x＝－2对称，如图 11，则
t 的值为(
)
A．－2
B．2
图 1-1 C．－1
D．1ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 思维突破：由图形可以看出，要使图象关于x＝－ 对称， 2
则 t＝1.
答案：D
数形结合的实质是“以形助数”或“以数解 形”，运用数形结合思想解题，不仅直观且易于寻找解题途径， 更可以避免繁杂的计算和推理．
试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最
低限量 ，并求 m，n，a 的值．
解：(1)依题意，得
9＋a y＝ 9＋n(x－m)＋a
(0≤x≤m)， ① 其中 0≤a≤5. (x>m)， ②
(2)∵0≤a≤5，∴9<9＋a≤14.
由于该家庭今年一、二月份的水费均大于 14 元，故用水量
2
(2)设运动场的造价为 y 元，
80 000 80 000 ＋ 8π r － 64π 10 000 － － 8π r ＋ 64π y＝150× ＋30× r r
＝300
80 000 000＋120× r ＋8πr－7680π
10 000 ＝300 000＋960π× π －7680π. ＋r r 100 ∵当 8≤r＜ 时，函数 y 单调递减， π
专题二
分类讨论思想在函数中的应用
解分类讨论问题时，以下几点要予以足够重视： (1)做到分类讨论不重复、不遗漏． (2)克服分类讨论中的主观性和盲目性．
(3)注意掌握好基础知识、基本方法，这是解分类讨论问题
的前提条件．
【例 2】 已知二次函数 f(x)＝x2－16x＋q＋3.
(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数 q 的取值范围；
A
B
C
D
解析：f(0)与 g(0)应该相等，故排除 A，B 中开始交易的平 均价格高于即时价格，D 中恰好相反．故选 C.
答案：C
2．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假 定为直线)行驶．甲车和乙车的速度曲线分别为 v 甲和 v 乙(如图 1-2)．那么对于图中给定的 t0 和 t1，下列判断中一定正确的是 ( ) A．在 t1 时刻，甲车在乙车的前面 B．t1 时刻后，甲车在乙车的后面 C．在 t0 时刻，两车的位置相同 D．t0 时刻后，乙车在甲车的前面 图 1-2 解析：由图象可知：曲线 v甲比 v乙在 0～t0，0～t1 与x 轴所 围成图形面积大，则在t0 和t1 时刻，甲车均在乙车前面．故选A. 答案：A
若
x＝2.5， m<2.5，将 y＝11
代入②式，
得 a＝6m－13， 这与 a＝6m－16 矛盾．
∴m≥2.5，即该家庭三月份用水量 2.5 平方米没有超最低 限量．
x＝2.5， 将 y＝11
代入①式，得 11＝9＋a，
a＝2， 解得 m＝3.
a＝6m－16， 由 11＝9＋a，