高等数学泰勒公式

(k) (x)
=
(−1)k
−1
(k −1)! (1+ x)k
(k = 1, 2,
)
类似可得
ln(1+ x) = x − x2 + x3 − 23
+
(−1)n−1
xn n
+ Rn (x)
其中
Rn (x) =
(−1)n xn+1
n +1 (1+θ x)n+1
(0 < θ < 1)
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f (x) = f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) x2+ + f (n) (0) xn
2!
n!
+ f (n+1) (θ x) xn+1
(n +1) !
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
由此得近似公式
若f在(fx公)(x式=)成f≈(立xf0()的0+)区f+间′(fx′上0()0()xfx−(+n+x1)0f()′2x′()+!0)≤fx′′M22(x+!,0 )则(x有+−误fx(0nn差))!(20估+) 计xn 式
14
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三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
f (x) ≈ f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) x2 +
2!
误差
Rn (x)
≤M (n +1) !
x
n+1
+ f (n) (0) xn n!
M 为 f (n+1) (x) 在包含 0 , x 的某区间上的上界.
需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
2!
+ α (α −1)
(α − n +1)
n!
xn + Rn (x)
其中
Rn (x)
=
α (α
−1) (α
(n +1) !
−
n)
(1 + θ
x)α −n−1 xn+1
(0 < θ < 1)
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(5) f (x) = ln(1+ x) (x > −1)
已知
f
f (n+1) (ξ )
(n +1) !
(
x
−
x0
)
n+1
(ξ 在 x0 与 x 之间)
当在 x0 的某邻域内 f (n+1) (x) ≤ M 时
Rn (x)
≤
M (n +1)!
x
−
x0
n+1
∴ Rn (x) = o((x − x0 )n ) (x → x0 )
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y = f (x)
p1 ( x)
x 的一次多项式
特点: p1(x0 ) = f (x0 )
p1′(x0 ) = f ′(x0 )
p1 ( x)
o x0 x
x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
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1. 求 n 次近似多项式 pn (x), 并要求它的系数满足:
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f (x) =
f (x0 ) +
f ′(x0 )(x − x0 ) +
f
′′( x0 2!
)
(
x
−
x0
)
2
+
+
f
(n) (x0 n!
)
(
x
−
x0
)
n
+ o[(x −
x0 )n ]
④
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
2!
n ! (n +1) !
由于 0 < eθ < e < 3, 欲使
Rn (1)
<
(n
3 + 1)
!
<
10−6
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
e ≈ 1+1+ 1 + + 1 = 2.718281 2! 9!
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例2 用近似公式cos x ≈ 1− x2 计算 cos x 的近似值, 2!
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泰勒中值定理 :
若 f (x) 在包含 x0 的某开区间 (a,b) 内具有
直到 n +1阶的导数 , 则当 x ∈ (a ,b)时, 有
f (x) =
f (x0 ) +
f ′(x0 )(x − x0 ) +
f
′′( 2
x0 !
)
(
x
−
x0
)2
+
+
f
(n) (x0 ) (x − n!
x0 )n
+
f
(
n) (x0 ) ( n ! Rn
x− (x)
x≤0
)n +Mf((nn++1x)1()ξn!+)1
(n +1) !
(x − x0 )n+1
(ξ 在 x0 与
x
之间)
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二、几个初等函数的麦克劳林公式
(1) f (x) = ex
∵ f (k) (x) = ex , f (k) (0) = 1 (k = 1, 2, )
(
x
− x0 )n+1
(ξ 在 x0
与
x
之间
)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f (x) = f (x0 ) + f ′(ξ )(x − x0 ) (ξ 在 x0 与 x 之间)
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见
f (x) =
f (x) ≈
源自文库
f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 )
f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 )
+
f
′′(ξ
2(!ξ
) (x −
在 x0
x0 )2
与x
之间
)
误差
R1(x) =
f
′′(ξ
2!
)
(
x
−
x0
)2
(ξ 在 x0 与 x 之间)
df
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在泰勒公式中若取 x0 = 0 , ξ = θ x (0 < θ < 1) , 则有
pn (x0 ) = f (x0 ), pn′ (x0 ) = f ′(x0 ), , pn(n) (x0 ) = f (n) (x0 )
令 pn (x) = a0+a1(x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + + an (x − x0 )n
则 pn′ (x) =
a1 + 2a2 (x − x0 ) + + n an (x − x0 )n−1
pn′′ (x) =
2 !a2 + + n(n −1)an (x − x0 )n−2
pn(n) (x) =
n!an
a0 = pn (x0 ) = f (x0 ) ,
a1 = pn′ (x0 ) = f ′(x0 ),
a2
=
1 2!
pn′′ (x0 )=
1 2!
f
′′(x0 ),
, an
=
1 n!
pn(n)
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例1 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过10−6.
解: 已知 ex 的麦克劳林公式为
ex = 1 + x + x2 + x3 + + xn + eθ x xn+1
2! 3!
n ! (n +1) !
令x=1,得
e =1+1+ 1 +
+1+
eθ
(0 < θ < 1) (0 < θ < 1)
f
(k ) (0)
=
sin
k
π
2
=
⎧ ⎩⎨
0, (−1)m−1
,
k = 2m (m = 1, 2,
k = 2m −1
)
∴ sin x = x − x3 + x5 − 3! 5!
+
(−1)m−1
x 2 m −1 (2m −1)
!
+
R2m
(
x)
其中 R2m (x) =
s(−in1()θmxco+s2(θm2+x1π) ) x2m+1 (0 < θ < 1)
−
4
.
（补充题）
解: 用泰勒公式将分子展到 x2 项, 由于
3x
+
4
=
2(11++4343xx)
1 2
=
2[
1
+
1 2
⋅
(
3 4
x)
+
1 2!
⋅
1 2
(12
−1)
(43
x)2
+
o(
x2
)
]
=
2
+
3 4
x
−
1 4
⋅ 196
x2
+
o( x2 )
(1
+∴x4)α原− =3式+1x α+==(ααxl2i→xm−((1+01n−)α+−43(112α)(2xα⋅!)!−1912−61)nx=x)2x2(212+++−oθ43( xxx+)2α−)α−14n(=α⋅−119−6−x3nx192+)21
(
x0
)
=
1 n!
f
(n) (x0 )
故
pn
(x)
=
f
( x0
)
+f +
′( x0 1f
n!
)(x − x0 ) (n) (x0 )(x
+ −
1
2! f x0 )n
′′( x0
)( x
−
x0
)2+
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2. 余项估计
令 Rn (x) = f (x) − pn (x) (称为余项) , 则有
Rn (x) Rn (x0 ) = Rn′ (x0 ) = (x − x0 )n+1
= Rn(n) (x0 ) = 0
=
Rn (x
(x) −Rn (x0 )
− x0 )n+1 −0
=
(n
+
Rn′ (ξ1) 1)(ξ1 −
x0
)n
(ξ1 在 x0 与 x 之间)
=
Rn′ (ξ1) −Rn′ (x0 )
(0(α<−θn<+11))
n!
xn
∴+ α (α −11+) x (>α1−+nx) (−1+xθ2 x)α(x−n>−10x)n+1 (0 < θ < 1)
(n +1) ! 2 8
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3. 利用泰勒公式求极限
例4
求 lim x→0
3x
+
4
+ x
4
2
−
3x
+Rn (x)
①
其中 Rn (x) =
f (n+1) (ξ )
(n +1) !
(
x
−
x0
)n+1
(ξ 在 x0 与 x 之间)
②
公式 ① 称为 f (x)的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
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注意到 Rn (x) = o[(x − x0 )n ]
使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.
解: 近似公式的误差
R3(x) =
x4 cos(θ x)
4!
≤
x4 24
令
x 4 ≤ 0.005
24
解得
x ≤ 0.588
即当 x ≤ 0.588 时, 由给定的近似公式计算的结果
能准确到 0.005 .
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∴ ex =1 + x + x2 + x3 + 2! 3!
+
xn n!
+
Rn
(
x)
其中
Rn (x)
=
eθ x (n +1) !
x n +1
(0 < θ < 1)
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(2) f (x) = sin x
∵ f (k) (x) = sin(x + k ⋅ π )
2
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Rn (x) = f (x) − pn (x)
Rn (x) (x − x0 )n+1
=
Rn(n+1) (ξ )
(n +1) !
(ξ 在 x0 与 x 之间)
∵ pn(n+1) (x) = 0, ∴ Rn(n+1) (x) = f (n+1) (x)
Rn (x) =
2. 利用泰勒公式证明不等式
例3 证明 1+ x > 1+ x − x2 (x > 0). 28
证: ∵
1
1+ x = (1+ x)2
= 1+ x + 1 ⋅ 1 (1 −1)x2 2 2! 2 2
+
1
⋅ 1 (1
− 1)( 1
− 2)(1+θ
x)
−
5 2
x3
3! 2 2 2
(1+ x)α = 1 +=α1x++2xα−(αx282!−+1)116x2(1++θ +x)α−52(αx3−1)
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(4) f (x) = (1+ x)α (x > −1)
∵ f (k) (x) = α (α −1) (α − k +1)(1+ x)α−k f (k) (0) = α (α −1) (α − k +1) (k = 1, 2, )
∴ (1+ x)α = 1 +α x + α (α −1) x2 +
第三章
第二节 泰勒公式（Taylor Formula）
理论分析 用多项式近似表示函数 — 应用 近似计算
一、泰勒公式的建立
二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
四、小结与思考练习
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一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
y
f (x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 )
(2m +1) !
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(3) f (x) = cos x
类似可得
cos x = 1 − x2 + x4 + 2! 4!
+
(−1)m
x2m (2m)
!
+
R2m+1
(
x)
其中
R2m+1(x) =
(−1)m+1 cos(θ x)
(2m + 2) !
x2m+2
(0 < θ < 1)
f (x) 在点 x0 有直到 n 阶的导数 ④ 式成立
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f (x) =
f (x0 ) +
f ′(x0 )(x − x0 )
+
f
′′(x0 ) 2!
(x
−
x0 )2
+
特例:
+
f
(n) (x0 ) (x n!
−
x0 )n
+
f (n (n
+1) (ξ )
+1) !
(n +1)(ξ1 − x0 )n−0
=
Rn′′(ξ2 ) (n +1)n(ξ2 − x0 )n−1
(ξ 2 在 x0 与 ξ1 之间)
=
=
Rn(n) (ξn )
−
R(n) n
(
x0
)
=
R ( n +1) n
(ξ
)
(n +1) 2(ξn − x0 ) −0 (n +1) !
(ξ 在 x0 与ξxn 之间)