第四章空间力系

M M1 M 2
Mn M
i 1
n
如同空间汇交力系，可用几何法与解析法求汇交力系的合 成，但一般均用解析法。对空间力偶系，求其合力偶矩矢，也
用解析法。
合力偶矩矢的解析表达式为
其中
合力偶矩矢的大小和方向
由于空间力偶系可以用一个合力偶来代替，因此，空间 力偶系平衡的必要和充分条件是:该力偶系的合力偶矩等于零， 亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即
由
有
上式即为空间力偶系的平衡方程。 三个独立的方程，只能求解三个未知量
§4-4
空间一般力系向一点简化
把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的 简化问题，但须把平面坐标系 扩充为空间坐标系。 设作用在刚体上有 空间一般力系 F1 , F2 , Fn
试将力系向O点简化
一、简化方法
⒈ 任选O点为简化中心
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力 系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系； (b)图为空间任意力系； (b)图中去掉风力后为空间平行力系。
迎 面 风 力
侧 面 风 力
b
第四章
§ 4 –1 § 4 –2 § 4 –3 § 4 –4 § 4 –5 § 4 –6 § 4 –7
F F F
xi
0
0 亦称为空间汇交力系的平衡方程
wk.baidu.com
yi
zi
0
三个独立的方程，只能求解三个未知量
§4-2
力对点的矩与力对轴的矩
一、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 在空间的情况下，决定力对刚体的作用效应,除力矩的大小、
力矩的转向外,还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不
同，则力对物体的作用效应也不同。所以空间力对刚体的作用
cos( FR , j )
Fy FR
Fz cos( FR , k ) FR
三、空间汇交力系的平衡
⒈ 平衡的充要条件 空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
FR Fi 0
⑴ 几何法平衡充要条件 几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
⑵
解析法平衡充要条件
解析法平衡充要条件为：
定理：作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等， 则它们彼此等效。
四、空间力偶系的合成与平衡 由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任 意一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符 合矢量运算法则。 因此：任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩
矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即
FRx Fxi
FRy Fyi FRz Fzi
空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
合力的大小和方向余弦
大小： 方向余弦：
cos( F R
FR ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2 ( Fzi ) 2
F , i) FR
x
由于力矩矢的大小和方向都与矩 心 O 的位置有关，故力矩矢的始端必 须在矩心，不可任意挪动，这种矢量 称为定位矢量。
三、力对轴的矩
⒉ 定义 力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力 对该轴之矩.
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy d 2OAB
⒈ 实例
它是代数量，正负规定
M o ( F ) zFx xFz M y ( F ) y
M o ( F ) xFy yFz M z ( F ) z
结论：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于 这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩 的关系。
M o ( F ) M o [ M x ( F )]2 [ M y ( F )]2 [ M z ( F )]2
效应取决于下列三要素： ⒈
⒉
力矩的大小 ；
力矩的转向 ；
⒊ 力的作用线与矩心所组
成的平面的方位 (力矩作用面)。
二、力对点的矩的矢量表示
在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题 中，由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。
⒈
⑴
力矩矢的表示方法
力矩矢大小 ：
M O (F ) M O (F ) F h 2AOB面积
i j k x y z Fx Fy Fz
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
力对O点的矩在三个坐标轴的投影：
M o ( F ) yFz zFy x
M o ( F ) zFx xFz y
M o ( F ) xFy yFx z
+
–
结论：力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零。 力对轴的矩的单位为 N· m。
3
力对轴的矩的解析式
由合力矩定理：
M z ( F ) M O ( Fxy ) M O ( Fx ) M O ( Fy )
即
M z ( F ) xFy yFx
Fy
Fx
同理可得其余两式，即有：
y
二、力偶矩用矢量表示： ⒈ 力偶矩矢
空间力偶三要素可以用一个矢量表示，该矢量称为力偶矩 矢。即用力偶中的两个力对空间某点之矩的矢量和来度量。 由于 F F
M o ( F , F ) rA F rB F (rA rB ) F rBA F
可见，力偶对空间任一点的力矩矢都等于力偶 矩矢，与矩心位置无关。以记号M（F，F′） 或M表示力偶矩矢，则 M rBA F
F h M O (F )
又∵ ∴
r F 的方向和 M O ( F )方向相同，
M O (F ) r F.
⑵
结论
力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。
3.力对点的矩的解析表达式 r xi yj zk F Fx i Fy j Fz k
则 M O ( F ) (r F ) ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
Fx F sin g cos Fxy cos F cos cos Fy F sin g sin Fxy sin F cos sin
Fz F cos g F sin
二、空间汇交力系的合力与平衡条件
三、空间力偶的等效定理 力偶可以在同平面内任意移转，用矢量表示后此矢量可在 此平面内任意平行移动，即力偶矩矢可以“搬来搬去”，力偶 可搬移到与其作用面平行的任意平面内，则力偶矩矢又可“滑 来滑去”，只要保持力偶矩矢不变，就不改变它对刚体的作用
。“搬来搬去”，是指力偶矩矢量可在同一平面内平行搬动，
而“滑来滑去”是指力偶矩矢可在不同的但相互平行的平面内 滑来滑去（类似于力的可传性中的力）。
⒉ 将各力平行搬移到O点
根据力线平移定理，将各
力平行搬移到O点，得到一空 间汇交力系：F ' , F ' , F ' F ' 1 2 3 n 和一附加力偶系： m1 ,m2 ,mn
F1 ' F1 , F2 ' F2 , Fn ' Fn ;
m1 mO ( F1 ), m2 mO ( F2 ), mn mO ( Fn ) .
F ,cos g FR
z
注意：
因主矢等于原力系各力的矢量和,所 以它与简化中心的位置无关。
⒉ 主矩：指原空间一般力系对简化中心之矩的矢量和 mo ( Fi )。
即 M o mo ( Fi )
根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:
M Ox [ mO ( F )]x mx ( F );
注意：因主矩等于各力对简化中心之矩的矢量和， 所以它的大小和方向与简化中心有关。
三、结论 空间一般力系向任一点O 简化 ，一般可以得到一力和 一力偶 ；该力作用于简化中心 ，其大小及方向等于该力系的 主矢 ，该力偶之矩矢等于该力系对于简化中心的主矩 。
⒊ 合成空间汇交力系
汇交力系合力
FR Fi Fxi i Fyi j Fzi k
⒋ 合成附加力偶系 空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。 附加力偶的合力偶矩
M o mi mo ( Fi ) (ri Fi )
M o ( yi Fzi zi Fyi )i ( zi Fxi xi Fzi ) j ( xi Fyi yi Fxi )k
M Oy [ mO ( F )] y m y ( F ); M Oz [ mO ( F )]z mz ( F )
大小： M O M Ox 2 M Oy 2 M Oz 2 主矩 M O 解析求法
M Oy M Ox M Oz 方向： cos ' ,cos ' ,cosg MO MO MO
空间力系
空间汇交力系 力对点的矩与力对轴的矩 空间力偶系 空间一般力系向一点的简化 空间一般力系简化结果的讨论 空间一般力系的平衡方程及应用 重心 习题课
§4-1
空间汇交力系
1.力在空间的表示 力的三要素：
一、力在空间轴上的投影：
大小、方向、作用点 大小： F F
g
O
方向：

由、、g 三个方向角确定 或由仰角 与方位角 来确定。 Fxy 作用点： 物体和力矢的起点或终点 的接触之点。
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
力对轴的矩的解析式
四、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系
比较力对点之矩和力对轴之矩，可得如下关系式：
M o ( F ) yFz zFy M x ( F ) x
⑵ 力矩矢方位： 与该力和矩心组成的平面 的法线方位相同
⑶
力矩矢的指向：与转向
的关系服从右手螺旋定则。或从 力矩矢的末端看去，物体由该力 所引起的转向为逆时针转向。 ⒉ 力对点的矩的矢积表达式 ⑴ 导出 如果r 表示A点的矢径，则：
M O (F ) r F , ∵ r F r F sin(r , F )
FR
二、主矢与主矩 1. 主矢：指原空间一般力系各力的矢量和
即 FR Fi
主矢大小: FR ' (
Fi 。
的 主矢 FR 解析求法
主矢方向:
2 2 2 F ) ( F ) ( F ) x y z
F F cos ,cos
x
y
FR
FR
⒈ 几何法
与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法
求合力。
FR F1 F2 · · · Fn Fi
i 1
n
即：合力等于各分力的矢量和,合力的作用线通过汇交点。
(由于力多边形是空间力多边形，合成并不方便，一般不采
用此方法合成）
⒉ 合力
解析法
FR Fxi i Fyi j Fzi k
⒉ 一次投影法（直接投影法） 由图可知： Fx F cos ,
Fy F cos , Fz F cos g 其中： cos , cos , cos g 分别称为
力F 对应于x, y, z三轴的方向余弦
⒊ 二次投影法（间接投影法）
当力与ox,oy轴正向间夹角不易 确定时，可先将 F 投影到xoy 面上，然后再投影到x、y 轴上。 即
cos( M o , i ) cos( M o , j ) cos( M o , k ) M x (F ) M o (F ) M y (F ) M o (F ) M z (F ) M o (F )
§4-3
一、空间力偶三要素
空间力偶系
空间力偶对刚体的作用效果，除了与力偶矩大小和转向有 关外，还与其作用面的方位有关。所以空间力偶对刚体的作 用效应取决于下列三要素： ⒈ 力偶矩的大小 ； ⒉ 力偶作用面的方位 ； ⒊ 力偶的转向 。
M为自由矢量。
⒉
力偶矩矢表示方法
（1）矢量的模，即力偶矩的大小 M Fd 2ABC （2）矢量的方位与力偶作用面相垂直； （3）矢量的指向与力偶的转向的关系服从右手螺 旋法则。即如以力偶的转向为右手螺旋的转动方 向，则螺旋前进的方向或拇指的指向即为矢的指 向 ，或从力矩矢的末端看去，物体由该力所引起 的转向为逆时针转向 。