(完整)基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案),推荐文档

基本不等式及其应用
1．基本不等式
若a>0,，b>0，则≥，当且仅当
时取“＝”．
a ＋b
2ab 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数．
注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；（一正）(2)和或积为定值；（二定）
(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）2．常用不等式
(1)a 2＋b 2
≥(a ，b ∈R )．ab 22
a b
+≤
()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和
≥它们成立的条件不同，前者只要求2
b
a +a
b a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（）2
.
2
b a +(3)ab ≤ (a ，b ∈R )．
2
2⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (4)＋≥2(a ，b 同号且不为0)．
b
a a
b (5)(a ，b ∈R ).
2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+b a ≤
a 2＋
b 22
（6）b
a a
b b a b a 112
2222+≥
≥+≥+()0,>b a
(7)abc ≤;a 3＋b 3＋c 3
3
()
,,0a b c >(8)
≥；a ＋b ＋c 3
3
abc ()
,,0a b c >3．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有 ，即
a ＋
b ≥
，a 2＋b 2≥
.
(2)求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即 ；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值
(
a ＞0，
b ＞0)，即
.
设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A.6
B.4
C.2
D.22
26
解：因为2a ＞0，2b ＞0，由基本不等式得
2a ＋2b ≥＝2＝4，当且仅当a ＝
b ＝时取等号，故选B.
2a ·2b 2a ＋b 23
2 若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )A.
B.1
C.2
D.4
12解：∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥，即ab ≤
.当且仅当
2ab 1
2a ＝1，b ＝时等号成立.故选A.
12 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )
A.a ＜v ＜
B.v ＝ab ab
C.＜v ＜
D.v ＝ab a ＋b
2a ＋b
2
解：设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a ＜b ，∴v ＝＝＜＝.2s
s
a
＋s
b 2ab
a ＋
b 2ab
2ab ab 又v －a ＝－a ＝＞＝0，∴v ＞
a.故选A.
2ab
a ＋
b ab －a 2
a ＋
b a 2－a 2
a ＋
b ()若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.
2014·上海解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x
2＋≥2，当且仅当x ＝±时等号成立.故填
2
x 224
2.
2
点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则
log 2m ＋log 2n 的最大值是________.
解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤＝，
(m ＋n 2)
2 1
4当且仅当m ＝n ＝时取等号，
1
2∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 2＝－2，故填－2.
1
4类型一　利用基本不等式求最值　(1)求函数y ＝
(x ＞－1)的值域.
（x ＋5）（x ＋2）
x ＋1
解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且
y ＝＝m ＋＋5≥2
＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故
（m ＋4）（m ＋1）m
4
m m ·
4
m y min ＝9.
又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).(2)下列不等式一定成立的是( )
A.lg
>lg x (x >0)
B.sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )
(
x 2＋
1
4)
1
sin x C.x 2＋1≥2(x ∈R )
D.>1(x ∈R )|x |1
x 2＋1解：A 中，x 2＋≥x (x ＞0)，当x ＝时，x 2＋＝x.
1
41
21
4B 中，sin x ＋≥2(sin x ∈(0，1])；
1
sin x sin x ＋≤－2(sin x ∈[－1，0)).1
sin x C 中，x 2－2|x |＋1＝(|x |－1)2≥0(x ∈R ).
D 中，∈(0，1](x ∈R ).故C 一定成立，故选C.
1
x 2＋1点拨：
这里(1)是形如f (x )＝
的最值问题，只要分母x ＋d ＞0，都可以将
ax 2＋bx ＋c
x ＋d
f (x )转化为f (x )＝a (x ＋d )＋＋h (这里ae ＞0；若ae ＜0，可以直接利用单调性e
x ＋d 等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.
(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立
条件要存在
.
　(1)已知t ＞0，则函数f (t )＝
的最小值为
.
t 2－4t ＋1
t
解：∵t ＞0，∴f (t )＝
＝t ＋－4≥－2，
t 2－4t ＋1
t
1
t 当且仅当t ＝1时，f (t )min ＝－2，故填－2.
(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(Ⅰ)xy 的最小值；(Ⅱ)x ＋y 的最小值.
解：(Ⅰ)由2x ＋8y －xy ＝0，得＋＝1，又x ＞0，y ＞0，8x 2
y 则1＝＋≥2＝，得xy ≥64，
8x 2
y 8x ·
2y 8xy 当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立.
(Ⅱ)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝，∵x ＞0，∴y ＞2，
8y
y －2则x ＋y ＝y ＋＝(y －2)＋＋10≥18，
8y
y －216
y －2当且仅当y －2＝，即y ＝6，x ＝12时等号成立.
16
y －2解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得＋＝1，
8x 2
y 则x ＋y ＝·(x ＋y )＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当
(8x ＋
2y )
2x y 8y
x 2x y ·8y x y ＝6，x ＝12时等号成立.
类型二　利用基本不等式求有关参数范围
　若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( )
A.2∈M ，0∈M
B.2∉M ，0∉M
C.2∈M ，0∉M
D.2∉M ，0∈M
解法一：求出不等式的解集：(1＋k 2)x ≤k 4＋4⇒x ≤＝(k 2＋1)k 4＋4
k 2＋1＋－2⇒x ≤
＝2－2(当且仅当k 2＝－1时取等5k 2＋1[（k 2＋1）＋5
k 2＋1－2]
min 55号).
解法二(代入法)：将x ＝2，x ＝0分别代入不等式中，判断关于k 的不等式解集是否为R .
故选A.
点拨：
一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：
(1)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；(2)a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ；
(3)a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ； (4)a ＜f (x )有解⇔a ＜f (x )max .
　已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数.若关于x 的不
等式
mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围.解：由条件知m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立.
令
t ＝e x (x ＞0)，则
t ＞1，且m ≤－＝
－对任意
t －1
t 2－t ＋11
t －1＋1
t －1＋1
t ＞1成立.
∵t －1＋＋1≥2
＋1＝3，
1
t －1（t －1）·
1
t －1∴－
≥－，
1
t －1＋
1t －1
＋1
13
当且仅当t ＝2，即x ＝ln2时等号成立.
故实数m 的取值范围是
.
(
－∞，－
1
3]
类型三　利用基本不等式解决实际问题
　围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)
，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).
(1)将y 表示为x 的函数；
(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.
由已知xa ＝360，得a ＝，
360
x 所以y ＝225x ＋－360(x ≥2).
3602
x (2)∵x ≥0，∴225x ＋≥2＝10800，
3602
x 225×3602∴y ＝225x ＋－360≥10440，
3602
x
当且仅当225x ＝，即x ＝24时等号成立.
3602
x 答：当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元
.
　如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖
长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔排出，设箱体的长度为a m ，高度为b m ，已知排出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比.现有制箱材料60 m 2，问a ，b 各为多少m 时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔面积忽略不计)
.
解法一：设y 为排出的水中杂质的质量分数，
根据题意可知：y ＝，其中k 是比例系数且k ＞0.k
ab 依题意要使y 最小，只需ab 最大.
由题设得：4b ＋2ab ＋2a ≤60(a ＞0，b ＞0)，即a ＋2b ≤30－ab (a ＞0，b ＞0).∵a ＋2b ≥，
2ab ∴·＋ab ≤30，得0＜≤3.
2ab ab 2当且仅当a ＝2b 时取“＝”号，ab 最大值为18，此时得a ＝6，b ＝3.故当a ＝6 m ，b ＝3 m 时经沉淀后排出的水中杂质最少.
解法二：同解法一得b ≤
，代入y ＝求解.
30－a
a ＋2k
ab
1.若a ＞1，则a ＋的最小值是( )
1
a －1A.2
B.a
C.3
D.2a
a －1
解：∵a ＞1，∴a ＋＝a －1＋＋1≥＋1＝2＋1＝3，
1
a －11
a －1（a －1）·
1
a －1当a ＝2时等号成立.故选C.
2.设a ，b ∈R ，a ≠b ，且a ＋b ＝2，则下列各式正确的是( )
A.ab ＜1＜
B.ab ＜1≤
C.1＜ab ＜
a 2＋
b 2
2
a 2＋
b 2
2
a 2＋
b 2
2
D.ab ≤
≤1
a 2＋
b 22
解：运用不等式ab ≤
2
⇒ab ≤1以及(a ＋b )2
≤2(a 2
＋b 2
)⇒2≤a 2
＋b 2
(由
(a ＋b
2)于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜
，故选A.
a 2＋
b 2
2
3.函数f (x )＝在(－∞，2)上的最小值是( )5－4x ＋x 2
2－x A.0
B.1
C.2
D.3
解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝＝＋(2－x )≥2·
1＋（4－4x ＋x 2）
2－x
1
2－x ＝2，当且仅当＝2－x 时上式取等号.而此方程有解1
2－x ·（2－x ）1
2－x x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.
4.()要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知2014·福建该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A.80元
B.120元
C.160元
D.240元
解：假设底面的长、宽分别为x m ， m ，由条件知该容器的最低总造价为
4
x y ＝80＋20x ＋≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.80x 故选C.
5.下列不等式中正确的是( )
A.若a ，b ∈R ，则＋≥2
＝2b a a
b b a ·a b B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y
C.若x <0，则x ＋≥－2
＝－4
4
x x ·
4
x D.若x ≤0，则2x ＋2－x ≥2＝2
2x ·2－x 解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋＝－
≤－2＝－4，C 错；对于4
x [（－x ）＋4
－x ]（－x ）·4
－x D ，若x ≤0，则2x ＋2－x ≥2＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.
2x ·2－x 6.()若log 4(3a ＋4b )＝log 2，则a ＋b 的最小值是( )2014·重庆ab A.6＋2 B.7＋233C.6＋4
D.7＋433解：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即
ab 3a ＋4b ＝ab ，且
即a ＞0，b ＞0，所以＋＝1(a ＞0，b ＞0)，
{
3a ＋4b ＞0，ab ＞0，)4a 3b a ＋b ＝(a ＋b )＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取
(4
a ＋
3
b )
4b
a 3a
b 4b a ·3a b 34b a 3a
b 等号.故选D.
7.若对任意x ＞0，≤a 恒成立，则a 的取值范围是.
x
x 2＋3x ＋1解：因为x ＞0，所以x ＋≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，
1
x
所以有＝≤＝，
x
x 2＋3x ＋11
x ＋1x ＋3
12＋315即的最大值为，故填a ≥.x x 2＋3x ＋115158.()设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线2014·四川mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________.
解：易知定点A (0，0)，B (1，3).
且无论m 取何值，两直线垂直.
所以无论P 与A ，B 重合与否，均有
|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10(P 在以AB 为直径的圆上).
所以|PA |·|PB |≤(|PA |2＋|PB |2)＝5.
12当且仅当|PA |＝|PB |＝时，等号成立.故填5.
59.(1)已知0＜x ＜，求x (4－3x )的最大值；
4
3(2)点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，求2x ＋4y 的最小值.
解：(1)已知0＜x ＜，∴0＜3x ＜4.
4
3∴x (4－3x )＝(3x )(4－3x )≤＝，1313(3x ＋4－3x 2)
2 4
3当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝时“＝”成立.
2
3∴当x ＝时，x (4－3x )取最大值为.
234
3(2)已知点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，所以x ＋2y ＝3.
∴2x ＋4y ≥2＝2＝2＝4.
2x ·4y 2x ＋2y 232
当且仅当 即x ＝，y ＝时“＝”成立.{2x ＝4y ，
x ＋2y ＝3，)
3234∴当x ＝，y ＝时，2x ＋4y 取最小值为4.
323
4210.已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，求S ＝2－4a 2－b 2的最大值.
ab 解：∵a ＞0，b ＞0，2a ＋b ＝1，∴4a 2＋b 2＝(2a ＋b )2－4ab ＝1－4ab.且
1＝2a ＋b ≥，即≤，ab ≤，∴S ＝2－4a 2－b 2＝2－(1－4ab )
2ab ab 2418ab ab ＝＋4ab
－1≤.当且仅当a ＝，b ＝时，等号成立.ab 2－12141
211.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？
解：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件，知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.
设每间虎笼的面积为S ，则S ＝xy.
解法一：由于2x ＋3y ≥2＝2，
2x ×3y 6xy ∴≤18，得xy ≤，即S ≤.
6xy 27227
2当且仅当2x ＝3y 时等号成立.
由解得{2x ＝3y ，2x ＋3y ＝18，){x ＝4.5，
y ＝3.)
故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大.
解法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－y.
32∵x ＞0，∴0＜y ＜6.
S ＝xy ＝y ＝(6－y )y.(9－32y )
32∵0＜y ＜6，∴6－y ＞0.∴S ≤＝.32[（6－y ）＋y 2]
2 272当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长4.5 m ，宽
3 m 时，可使每间虎笼面积最大.
(2)由条件知S ＝xy ＝24.
设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y.
解法一：∵2x ＋3y ≥2＝2＝24，
2x ·3y 6xy ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立.由解得{2x ＝3y ，xy ＝24，){x ＝6，
y ＝4.)
故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小.解法二：由xy ＝24，得x ＝.
24y ∴l ＝4x ＋6y ＝＋6y ＝6≥6×2
＝48，
96y (16y ＋y )16y ×y 当且仅当＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6.16
y 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小.。