(完整)基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案),推荐文档

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基本不等式及其应用
1.基本不等式
若a>0,,b>0,则≥,当且仅当
时取“=”.
a +b
2ab 这一定理叙述为:两个正数的算术平均数 它们的几何平均数.
注:运用均值不等式求最值时,必须注意以下三点:(1)各项或各因式均正;(一正)(2)和或积为定值;(二定)
(3)等号成立的条件存在:含变数的各项均相等,取得最值.(三相等)2.常用不等式
(1)a 2+b 2
≥(a ,b ∈R ).ab 22
a b
+≤
()0,>b a 注:不等式a 2+b 2≥2ab 和
≥它们成立的条件不同,前者只要求2
b
a +a
b a 、b 都是实数,而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形:ab≤()2
.
2
b a +(3)ab ≤ (a ,b ∈R ).
2
2⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (4)+≥2(a ,b 同号且不为0).
b
a a
b (5)(a ,b ∈R ).
2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+b a ≤
a 2+
b 22
(6)b
a a
b b a b a 112
2222+≥
≥+≥+()0,>b a
(7)abc ≤;a 3+b 3+c 3
3
()
,,0a b c >(8)
≥;a +b +c 3
3
abc ()
,,0a b c >3.利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)求最小值:a >0,b >0,当ab 为定值时,a +b ,a 2+b 2有 ,即
a +
b ≥
,a 2+b 2≥
.
(2)求最大值:a >0,b >0,当a +b 为定值时,ab 有最大值,即 ;或a 2+b 2为定值时,ab 有最大值
(
a >0,
b >0),即
.
设a ,b ∈R ,且a +b =3,则2a +2b 的最小值是( )A.6
B.4
C.2
D.22
26
解:因为2a >0,2b >0,由基本不等式得
2a +2b ≥=2=4,当且仅当a =
b =时取等号,故选B.
2a ·2b 2a +b 23
2 若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( )A.
B.1
C.2
D.4
12解:∵a >0,b >0,a +2b =2,∴a +2b =2≥,即ab ≤
.当且仅当
2ab 1
2a =1,b =时等号成立.故选A.
12 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b ),其全程的平均时速为v ,则( )
A.a <v <
B.v =ab ab
C.<v <
D.v =ab a +b
2a +b
2
解:设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a <b ,∴v ==<=.2s
s
a
+s
b 2ab
a +
b 2ab
2ab ab 又v -a =-a =>=0,∴v >
a.故选A.
2ab
a +
b ab -a 2
a +
b a 2-a 2
a +
b ()若实数x ,y 满足xy =1,则x 2+2y 2的最小值为________.
2014·上海解:由xy =1得x 2+2y 2=x
2+≥2,当且仅当x =±时等号成立.故填
2
x 224
2.
2
点(m ,n )在直线x +y =1位于第一象限内的图象上运动,则
log 2m +log 2n 的最大值是________.
解:由条件知,m >0,n >0,m +n =1,所以mn ≤=,
(m +n 2)
2 1
4当且仅当m =n =时取等号,
1
2∴log 2m +log 2n =log 2mn ≤log 2=-2,故填-2.
1
4类型一 利用基本不等式求最值 (1)求函数y =
(x >-1)的值域.
(x +5)(x +2)
x +1
解:∵x >-1,∴x +1>0,令m =x +1,则m >0,且
y ==m ++5≥2
+5=9,当且仅当m =2时取等号,故
(m +4)(m +1)m
4
m m ·
4
m y min =9.
又当m →+∞或m →0时,y →+∞,故原函数的值域是[9,+∞).(2)下列不等式一定成立的是( )
A.lg
>lg x (x >0)
B.sin x +≥2(x ≠k π,k ∈Z )
(
x 2+
1
4)
1
sin x C.x 2+1≥2(x ∈R )
D.>1(x ∈R )|x |1
x 2+1解:A 中,x 2+≥x (x >0),当x =时,x 2+=x.
1
41
21
4B 中,sin x +≥2(sin x ∈(0,1]);
1
sin x sin x +≤-2(sin x ∈[-1,0)).1
sin x C 中,x 2-2|x |+1=(|x |-1)2≥0(x ∈R ).
D 中,∈(0,1](x ∈R ).故C 一定成立,故选C.
1
x 2+1点拨:
这里(1)是形如f (x )=
的最值问题,只要分母x +d >0,都可以将
ax 2+bx +c
x +d
f (x )转化为f (x )=a (x +d )++h (这里ae >0;若ae <0,可以直接利用单调性e
x +d 等方法求最值),再利用基本不等式求其最值.
(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等,特别注意等号成立
条件要存在
.
 (1)已知t >0,则函数f (t )=
的最小值为
.
t 2-4t +1
t
解:∵t >0,∴f (t )=
=t +-4≥-2,
t 2-4t +1
t
1
t 当且仅当t =1时,f (t )min =-2,故填-2.
(2)已知x >0,y >0,且2x +8y -xy =0,求:(Ⅰ)xy 的最小值;(Ⅱ)x +y 的最小值.
解:(Ⅰ)由2x +8y -xy =0,得+=1,又x >0,y >0,8x 2
y 则1=+≥2=,得xy ≥64,
8x 2
y 8x ·
2y 8xy 当且仅当x =4y ,即x =16,y =4时等号成立.
(Ⅱ)解法一:由2x +8y -xy =0,得x =,∵x >0,∴y >2,
8y
y -2则x +y =y +=(y -2)++10≥18,
8y
y -216
y -2当且仅当y -2=,即y =6,x =12时等号成立.
16
y -2解法二:由2x +8y -xy =0,得+=1,
8x 2
y 则x +y =·(x +y )=10++≥10+2=18,当且仅当
(8x +
2y )
2x y 8y
x 2x y ·8y x y =6,x =12时等号成立.
类型二 利用基本不等式求有关参数范围
 若关于x 的不等式(1+k 2)x ≤k 4+4的解集是M ,则对任意实常数k ,总有( )
A.2∈M ,0∈M
B.2∉M ,0∉M
C.2∈M ,0∉M
D.2∉M ,0∈M
解法一:求出不等式的解集:(1+k 2)x ≤k 4+4⇒x ≤=(k 2+1)k 4+4
k 2+1+-2⇒x ≤
=2-2(当且仅当k 2=-1时取等5k 2+1[(k 2+1)+5
k 2+1-2]
min 55号).
解法二(代入法):将x =2,x =0分别代入不等式中,判断关于k 的不等式解集是否为R .
故选A.
点拨:
一般地,对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题,对于“恒成立”的不等式,一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外,要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题:
(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ;(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min ;
(3)a >f (x )有解⇔a >f (x )min ; (4)a <f (x )有解⇔a <f (x )max .
 已知函数f (x )=e x +e -x ,其中e 是自然对数的底数.若关于x 的不
等式
mf (x )≤e -x +m -1在(0,+∞)上恒成立,求实数m 的取值范围.解:由条件知m (e x +e -x -1)≤e -x -1在(0,+∞)上恒成立.

t =e x (x >0),则
t >1,且m ≤-=
-对任意
t -1
t 2-t +11
t -1+1
t -1+1
t >1成立.
∵t -1++1≥2
+1=3,
1
t -1(t -1)·
1
t -1∴-
≥-,
1
t -1+
1t -1
+1
13
当且仅当t =2,即x =ln2时等号成立.
故实数m 的取值范围是
.
(
-∞,-
1
3]
类型三 利用基本不等式解决实际问题
 围建一个面积为360 m 2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)
,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m ,新墙的造价为180元/m ,设利用的旧墙的长度为x (单位:元),修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位:元).
(1)将y 表示为x 的函数;
(2)试确定x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.解:(1)如图,设矩形的另一边长为a m ,则y =45x +180(x -2)+180·2a =225x +360a -360.
由已知xa =360,得a =,
360
x 所以y =225x +-360(x ≥2).
3602
x (2)∵x ≥0,∴225x +≥2=10800,
3602
x 225×3602∴y =225x +-360≥10440,
3602
x
当且仅当225x =,即x =24时等号成立.
3602
x 答:当x =24 m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元
.
 如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽2 m 的无盖
长方体的沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B 孔排出,设箱体的长度为a m ,高度为b m ,已知排出的水中该杂质的质量分数与a ,b 的乘积ab 成反比.现有制箱材料60 m 2,问a ,b 各为多少m 时,经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A ,B 孔面积忽略不计)
.
解法一:设y 为排出的水中杂质的质量分数,
根据题意可知:y =,其中k 是比例系数且k >0.k
ab 依题意要使y 最小,只需ab 最大.
由题设得:4b +2ab +2a ≤60(a >0,b >0),即a +2b ≤30-ab (a >0,b >0).∵a +2b ≥,
2ab ∴·+ab ≤30,得0<≤3.
2ab ab 2当且仅当a =2b 时取“=”号,ab 最大值为18,此时得a =6,b =3.故当a =6 m ,b =3 m 时经沉淀后排出的水中杂质最少.
解法二:同解法一得b ≤
,代入y =求解.
30-a
a +2k
ab
1.若a >1,则a +的最小值是( )
1
a -1A.2
B.a
C.3
D.2a
a -1
解:∵a >1,∴a +=a -1++1≥+1=2+1=3,
1
a -11
a -1(a -1)·
1
a -1当a =2时等号成立.故选C.
2.设a ,b ∈R ,a ≠b ,且a +b =2,则下列各式正确的是( )
A.ab <1<
B.ab <1≤
C.1<ab <
a 2+
b 2
2
a 2+
b 2
2
a 2+
b 2
2
D.ab ≤
≤1
a 2+
b 22
解:运用不等式ab ≤
2
⇒ab ≤1以及(a +b )2
≤2(a 2
+b 2
)⇒2≤a 2
+b 2
(由
(a +b
2)于a ≠b ,所以不能取等号)得,ab <1<
,故选A.
a 2+
b 2
2
3.函数f (x )=在(-∞,2)上的最小值是( )5-4x +x 2
2-x A.0
B.1
C.2
D.3
解:当x <2时,2-x >0,因此f (x )==+(2-x )≥2·
1+(4-4x +x 2)
2-x
1
2-x =2,当且仅当=2-x 时上式取等号.而此方程有解1
2-x ·(2-x )1
2-x x =1∈(-∞,2),因此f (x )在(-∞,2)上的最小值为2,故选C.
4.()要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器,已知2014·福建该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )
A.80元
B.120元
C.160元
D.240元
解:假设底面的长、宽分别为x m , m ,由条件知该容器的最低总造价为
4
x y =80+20x +≥160,当且仅当底面边长x =2时,总造价最低,且为160元.80x 故选C.
5.下列不等式中正确的是( )
A.若a ,b ∈R ,则+≥2
=2b a a
b b a ·a b B.若x ,y 都是正数,则lg x +lg y ≥2lg x ·lg y
C.若x <0,则x +≥-2
=-4
4
x x ·
4
x D.若x ≤0,则2x +2-x ≥2=2
2x ·2-x 解:对于A ,a 与b 可能异号,A 错;对于B ,lg x 与lg y 可能是负数,B 错;对于C ,应是x +=-
≤-2=-4,C 错;对于4
x [(-x )+4
-x ](-x )·4
-x D ,若x ≤0,则2x +2-x ≥2=2成立(x =0时取等号).故选D.
2x ·2-x 6.()若log 4(3a +4b )=log 2,则a +b 的最小值是( )2014·重庆ab A.6+2 B.7+233C.6+4
D.7+433解:因为log 4(3a +4b )=log 2,所以log 4(3a +4b )=log 4(ab ),即
ab 3a +4b =ab ,且
即a >0,b >0,所以+=1(a >0,b >0),
{
3a +4b >0,ab >0,)4a 3b a +b =(a +b )=7++≥7+2=7+4,当且仅当=时取
(4
a +
3
b )
4b
a 3a
b 4b a ·3a b 34b a 3a
b 等号.故选D.
7.若对任意x >0,≤a 恒成立,则a 的取值范围是.
x
x 2+3x +1解:因为x >0,所以x +≥2(当且仅当x =1时取等号),
1
x
所以有=≤=,
x
x 2+3x +11
x +1x +3
12+315即的最大值为,故填a ≥.x x 2+3x +115158.()设m ∈R ,过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线2014·四川mx -y -m +3=0交于点P (x ,y ),则|PA |·|PB |的最大值是________.
解:易知定点A (0,0),B (1,3).
且无论m 取何值,两直线垂直.
所以无论P 与A ,B 重合与否,均有
|PA |2+|PB |2=|AB |2=10(P 在以AB 为直径的圆上).
所以|PA |·|PB |≤(|PA |2+|PB |2)=5.
12当且仅当|PA |=|PB |=时,等号成立.故填5.
59.(1)已知0<x <,求x (4-3x )的最大值;
4
3(2)点(x ,y )在直线x +2y =3上移动,求2x +4y 的最小值.
解:(1)已知0<x <,∴0<3x <4.
4
3∴x (4-3x )=(3x )(4-3x )≤=,1313(3x +4-3x 2)
2 4
3当且仅当3x =4-3x ,即x =时“=”成立.
2
3∴当x =时,x (4-3x )取最大值为.
234
3(2)已知点(x ,y )在直线x +2y =3上移动,所以x +2y =3.
∴2x +4y ≥2=2=2=4.
2x ·4y 2x +2y 232
当且仅当 即x =,y =时“=”成立.{2x =4y ,
x +2y =3,)
3234∴当x =,y =时,2x +4y 取最小值为4.
323
4210.已知a >0,b >0,且2a +b =1,求S =2-4a 2-b 2的最大值.
ab 解:∵a >0,b >0,2a +b =1,∴4a 2+b 2=(2a +b )2-4ab =1-4ab.且
1=2a +b ≥,即≤,ab ≤,∴S =2-4a 2-b 2=2-(1-4ab )
2ab ab 2418ab ab =+4ab
-1≤.当且仅当a =,b =时,等号成立.ab 2-12141
211.如图,动物园要围成相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.
(1)现有可围36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?
(2)若使每间虎笼面积为24 m 2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小?
解:(1)设每间虎笼长为x m ,宽为y m ,则由条件,知4x +6y =36,即2x +3y =18.
设每间虎笼的面积为S ,则S =xy.
解法一:由于2x +3y ≥2=2,
2x ×3y 6xy ∴≤18,得xy ≤,即S ≤.
6xy 27227
2当且仅当2x =3y 时等号成立.
由解得{2x =3y ,2x +3y =18,){x =4.5,
y =3.)
故每间虎笼长为4.5 m ,宽为3 m 时,可使每间虎笼面积最大.
解法二:由2x +3y =18,得x =9-y.
32∵x >0,∴0<y <6.
S =xy =y =(6-y )y.(9-32y )
32∵0<y <6,∴6-y >0.∴S ≤=.32[(6-y )+y 2]
2 272当且仅当6-y =y ,即y =3时,等号成立,此时x =4.5.故每间虎笼长4.5 m ,宽
3 m 时,可使每间虎笼面积最大.
(2)由条件知S =xy =24.
设钢筋网总长为l ,则l =4x +6y.
解法一:∵2x +3y ≥2=2=24,
2x ·3y 6xy ∴l =4x +6y =2(2x +3y )≥48,当且仅当2x =3y 时,等号成立.由解得{2x =3y ,xy =24,){x =6,
y =4.)
故每间虎笼长6 m ,宽4 m 时,可使钢筋网总长度最小.解法二:由xy =24,得x =.
24y ∴l =4x +6y =+6y =6≥6×2
=48,
96y (16y +y )16y ×y 当且仅当=y ,即y =4时,等号成立,此时x =6.16
y 故每间虎笼长6 m ,宽4 m 时,可使钢筋网总长度最小.。

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