高一数学集合讲义

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高一数学：集合讲义

一、集合及其基本概念

１、若干个（有限个或无限个）确定对象的全体,可以看作一个集合。

集合的元素特征：确定性；互异性；无序性。

注意：集合{0}与空集∅的区别：前者是含有一个元素“０”的集合，后者是不含元素的集合。 例１:下列各项中不能组成集合的是

(A ）所有正三角形 （B ）《数学》教材中所有的习题

(C ）所有数学难题 (D ）所有无理数

2、元素与集合的关系

一个集合A 与一个对象a ，要么a 是A 中的元素，记作a A ∈（读作a 属于A ）；

要么a 不是A 中的元素,记作a A ∉(读作a 不属于A )。这个性质即为集合中元素的确定性。

在元素与集合之间，只能用∈或∉表示,它们之间只存在这两种关系。

例2、若A=｛x ｜ ｘ＝0}，则下列各式正确的是

（A)φ＝A （B ）φ∈A

(C){ 0 }∈A （D ）０ ∈A

3、集合的表示方法

我们用列举法与描述法表示一个集合。

列举法就是把集合中的元素一一列举出来,并写在大括号中。

描述法就是通过描述集合中所有元素的共同特性来表示集合，一般写作{}|x x 具有某种特性。

我们应熟练记住一些常用的数学符号:自然数集可以用N 表示；正整数集可以用+N 表示；整数集可以

用Z 表示；有理数集可以用Q 表示;实数集可以用R 表示。

例3、用列举法表示集合{}N y N x y x y x ∈∈=-+,,052|),(＿_____＿＿＿____＿__＿＿__

例4、解不等式23<-x ，并把其正整数解表示出来_＿____＿＿____＿_＿_＿__＿___＿__.

二、集合与集合的关系

1、子集

对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集,记作A B ⊆。任何集合都是自己的子集;空集是任何集合的子集。

2、真子集

对于两个集合A 和B ,如果集合A B ⊆,并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真

子集，记作A ⊂≠B 。

含有)N*(∈n n 个元素的有限集合的子集个数为2n 个，真子集个数为21n -个，非空子集个数为21n -个,非空真子集个数为22n

-个。

３、相等的集合

对于两个集合A 和B ,若A B ⊆且B A ⊆则称集合A 与集合B 相等,记作A B =。也就是说,集合A 和集合B 含有完全相同的元素。

由定义可知，要证集合A 与B 相等，只需证明A B ⊆且B A ⊆。

三、集合的运算

集合的运算从文字语言、符号语言和图形语言三个角度来认识和理解。

１、交集

(1)定义 由集合A 与集合B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与B 的交集,记作“A B ”。即{}|A B x x A x B =∈∈且。

(2)交集的性质 ①A

B B A =；②A A A =;③A ∅=∅; ④,A B A A B B ⊆⊆；⑤若A B A =，则A B ⊆；反之亦然。

例5、设集合{}2|->=x x A ,{}3|<=x x B ,则A ∩B=________＿_＿＿_________＿.

例6、设集合{}12|),(-==x y y x A ,{}3|),(+==x y y x B ,求A ∩B ． ２、并集

(1)定义 由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合叫做集合A 与B 的并集，记作“A B ”。即{}|A B x x A x B =∈∈或。

(2)并集的性质

①A B B A =；②A A A =;③A

A ∅=; ④,A A

B B A B ⊆⊆;⑤若A B B =，则A B ⊆;反之亦然。

例７、设集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，则A ∪B=_____＿＿_＿____ ３、补集

(１)定义 设U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于集合A 的元素组成的集合叫做集合A 在全

集U 中的补集,记作C U A 。即

{}C |U A x x U x A =∈∉且。 (2)补集的性质

①()C C U U A A =;②U Cu CuU =∅∅=,；③C U A A =∅，C U A A U =；④若A B ⊆,则C U A B =∅;若A B ⊆，则C U B A U =

⑤若()C C C U U U A B A B =,()C C C U U U A B A B =。

例8、设集合{}10,8,6,4,2=A ,{}9,7,5,3,1=A C U ，{}9,8,6,4,1=B C U ，求集合B.

练习：

1、已知集合{}1|2==x x P ，集合{}1|==ax x Q ，若P Q ⊆，求实数a .

2、用列举法表示集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∈+-∈=5,12

|n N n n N n A ___＿______＿__＿_＿＿＿

３、用下列符号“=⊇⊆∉∈,,,,”填空:

{a ，ｅ}_＿_{ａ,ｂ,ｃ,d,e}

{}8|___61≤x x

{}{}1|____3|-≤≤x x x x

{菱形}___＿{平行四边形｝ {}{}++∈+=∈-=Z n n x x Z n n x x ,12|___,12|

４、已知集合Ａ中有10个元素,集合B 中有8个元素,集合A ∩B 中共有４个元素，则集合A ∪B 中共有( )个元素

(Ａ） 14 (B) １6 (C) 1８ （Ｄ)不确定

5、满足M={ａ,b}⊆Ａ⊆{a,b,c ，d ｝,A 集合的个数是( ）

A 、１

B 、2

C 、3 Ｄ、4

6、已知全集U ＝{- ４,－3，-2，-1，0}，集合M ＝｛－ 2,－1,０},

N={－4，－3,0}，则=⋂N M C u )( 。

7、已知集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<,B =22{|0}(1)x a

x x a -<-+。

（1)当a =2时,求A ∩B ; （2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围。