第二章-弹性力学基础知识

静力学、几何学和物理学三方面条件，建立
三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条
件，建立边界条件; 并在边界条件下求解上
述方程，得出较精确的解答。
4
第一节 弹性力学的内容
研究方法
材力 也考虑这几方面的条件，但不
是十分严格的：常常引用近似的计算假设 （如平面截面假设）来简化问题，并在许
多方面进行了近似的处理。
8
（2）完全弹性 -- 假定物体是, a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无 残余变形。 b.线性弹性—应力与应变成正比。
因此，即应力与应变关系可用胡克定律表示 （物理线性）。
9
（3）均匀性--假定物体由同种材料组成。 因此， E、μ等与位置 ( x, y, z )无关。 （4）各向同性--假定物体各向同性。 因此， E、μ等与方向无关。 由（3）,（4）知E、μ等为常数 符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体。
x , y , z
xy , yz , zx
应 变 位 外 力
x , y , z
xy , yz , zx
u , v, w
X ,Y, Z
X ,Y , Z
27
O( z )
思考题
1. 试画出平面问题正负 y 面上正的应力和正的面 力。
2.试画出C点正的位移。
O x
x
y
z
x , y , z , xy , yz , xz u, v, w
（1）应力边界条件； 建立边界条件： （2）位移边界条件；
31
一
平衡微分方程
• 从弹性体内任一点取出微元体，建立弹性 体内一点的应力分量与体力分量之间的关 系。
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32
对于平面问题,分析平衡方程
取微小的六面体PABC（P点附近），
fy
x
fy
fx
y
y
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2. 应力
(1) 物体内部分子或原子间的相互作用力; 内力
(不考虑)
(2) 由于外力作用引起的相互作用力.
Q (1) P点的内力面分布集度 ----P点的应力 s lim A0 A (2) 应力矢量. Q 的极限方向
由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度 应力的法向分量 应力的切向分量
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例：正的应力
O( z )
yx
xy
x
y
x
x
xy
y
y
yx
22
应力与面力
在正面上，两者正方向一致， 在负面上，两者正方向相反。
O( z )
x
x
f yxy
xy
x
fy fx
fx
y
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弹力与材力 相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同
O( z )
x
O( z )
x
x
y
x
y
材力：顺时针向为正
第二章 弹性力学基础知识
教学目的：了解弹性力学问题的研究方法。 教学重点：三大方程、两类平面问题的特点、 应力边界条件。 教学难点：两类平面问题的区分。
1
定义
弹性力学
--研究弹性体由于受外力、边 变和位移。
界约束或温度改变等原因而发生的应力、形
研究弹性体的力学，有材料力学、结构 力学、弹性力学。它们的研究对象分别如下：
条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后
的尺寸。 b.简化几何方程：在几何方程中，由于
( , ) ( , ) ( , ) 可略去 ,
2 3
( , )
2
等项,使几何方程成为线性方程。
12
弹性力学基本假定，确定了弹性 力学的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
材力：以拉为正
24
3. 形变 (1) 一点形变的度量
形变 —— 物体形状的改变 （1）线段长度的改变 ——用正（线）应变ε度量 （2）两线段间夹角的改变。 ——用剪应变γ度量 （剪应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量）
三个方向的线应变：
三个平面内的剪应变：
x , y , z xy , yz , zx
因此材料力学建立的是近似理论，得 出的是近似的解答。从其精度来看，材料 力学解法只能适用于杆件形状的结构。
5
地位
弹性力学在力学学科和工程学科中,
具有重要的地位： 弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。 弹性力学是工程结构分析的重要手段。 尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大 型工程结构，须用弹力方法进行分析。
符号：
z
Q
Z
X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影
单位： 1N/m2 =1Pa (帕) 1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
k i
x O j
X
S Y
y
正负号： X Y Z 的正负号由坐标方向确定。
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例：表示出下图中正的体力和面力
O( z )
fx
fx
fy
x
O( z )
fy fx
z C
z
A
O
应变的正负： 正应变： 伸长时为正，缩短时为负；
剪应变： 以直角变小时为正，变大时为负； x
x P
y
B y
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(2) 一点应变状态
—— 代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变
x yx zx
xy xz y yz zy z
PA dx PB dy
Z 方向取一个单位长度。 设PA、PB面的应力为： x , y , xy 体力： X ，Y AC面：
2
O
y
P
x
yx
X Y
yx
y
A
x
xy x 1 x 2 x x dx ( dx ) yx yx dy x 2! x 2 y x y y dy x dx y x 2 xy xy 1 xy 2 dx xy dx (dx) xy 2 x 2! x x y y dy y 注： 这里用了小变形假定，以变形前 BC面： yx 的尺寸代替变形后尺寸。 33 yx dy y
yx
xy
y
y
dy dy ( yx dy)dx 1 yx dx 1 0 y 2 2 1 xy 1 yx dx yx dy 整理得： xy 2 x 2 y
当 dx 0, dy 0 时，有
需建立三个方面的关系：
（1）静力学关系： 应力与体力、面力间的关系； （2）几何学关系： 形变与位移间的关系；
（3）物理学关系： 形变与应力间的关系。
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2.3弹性力学的基本方程与求解
问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件， 求： x , y , z , xy , yz , xz 需建立三个方面的关系： （1）静力学关系： 应力与体力、面力间的关系；—— 平衡微分方程 （2）几何学关系： 形变与位移间的关系； —— 几何方程 （3）物理学关系： 形变与应力间的关系。 —— 物理方程
z
Z
Q
符号：X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影
k i
X
O j
V Y
y
正负号：X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。 x 如：重力，磁场力、惯性力等
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(2) 面力 —— 作用于物体表面单位面积上的外力。
Q —— 面力分布集度（矢量） F lim S 0 S
F Xi Yj Z k
其中
xy yx yz zy
z
C
z
A
zx xz
x P
y
B
注：
应变无量纲； 应变分量均为位置坐标的函数，即
x
O
z
y
x x ( x, y, z ), ; xy xy ( x, y, z ),
4. 位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm u —— x方向的位移 分量； 位移分量： v —— y方向的位移 分量； w—— z方向的位移 分量。
2
研究对象
材料力学--研究杆件（如梁、柱和轴） 的拉压、弯曲、剪切、扭转和组 合变形等问题。 结构力学--在材料力学基础上研究杆系结构 （如 桁架、刚架等）。
弹性力学--研究各种形状的弹性体，如杆 件、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构等问题。
3
研究方法
在研究方法上，弹力和材力也有区别： 弹力研究方法 ：在区域V内严格考虑
xy
D B
x x dx x
C

xy
dx
O 由微元体PABC平衡，得
y
P
x
yx
X
A
M
D
0
x
y
xy
D
x x dx x
Y
B C
yx
yx y
xy
y dy
xy x
dx
dy
dx dx ( xy dx)dy 1 xy dy 1 x 2 2
w
u
O
x P v
P
S
y
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表 1-2
基本量 应力 正应力 剪应力 正应变 剪应变 移 体力 面力 符号
直角坐标表示的基本量
量纲 [力][长度]-2 [力][长度]-2 无量纲 无量纲 [长度] [力][长度]-3 [力][长度]-2 沿坐标轴正向为正 正负号规定 正面上沿坐标轴正向为正 负面上沿坐标轴负向为正 线段伸长为正 线段间直夹角变小为正
xy
第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向；
z
与材力中剪应力τ正负号规定的区别：
规定使得单元体顺时的剪应力τ为 正，反之为负。
z
xy yx
x
O
xz xy y y yx yz x zx zy z
y
yx
zx
zy yz
在用应力莫尔圆时必须按材料力学的规定求解问题
·
C y
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前面的主要内容：
基本假定： （1） 连续性假定； （2） 完全弹性假定； （3） 均匀性假定； （了解这些假定的作用） （4） 各向同性假定；
（5）小变形假定。
基本概念： 外力、应力、形变、位移。 （注意：应力正负号规定）
29
弹性力学问题： 已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性、约 束条件等，求解应力、应变、位移分量。
13
表 1-3
基本假定 物理假设 体假设） 几何假设
弹性力学基本假定及其引用后的结果
引用后的结果 应力、应变和位移可用坐标的连续函数表示。 物体的弹性常数不随坐标位置而改变。 物体的弹性常数不随方向而改变。 保证了应力与应变之间的一一对应的线性关系。 基本方程化为线性方程 ，可应用硬化原理 ，叠加原理
y面的应力： z面的应力：
y , yx , yz
z , zx , zy
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用矩阵表示：
其中，只有6个量独立。
x xy xz yx y yz zx zy z
z
z
xy yx yz zy zx xz
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变形状态假定： （5）小变形假定--假定位移和形变为很小。
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
b. ε , 1.
例：梁的 ≤10－3 ＜＜1, ＜＜1弧度（57.3°）.
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第三节 弹性力学中的基本假定
变形状态假定
小变形假定的应用：
a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡

P ΔA
ΔQ
n

(法线)
应力分量 单位：

—— 正应力 —— 剪应力

与面力相同
MPa (兆帕)
应力关于坐标连续分布的
( x, y, z ) ( x, y, z )
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(2) 一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： x , xy , xz
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2.1弹性力学的基本假定 为什么要提出基本假定？ 任何学科的研究，都要略去影响很
小的次要因素，抓住主要因素,从而建立
计算模型,并归纳为学科的基本假定。
7
弹性力学中的五个基本假定。
关于材料性质的假定及其在建立弹 性力学理论中的作用： （1）连续性--假定物体是连续的。 因此，各物理量可用连续函数表示。
剪应力互等定理
O x
xz xy y y yx yz x zy zx z
y
yx
zx
zy yz
应力符号的意义(P8)
第2个下标 y 表示τ的方向. 应力正负号的规定(P8) 正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正； 坐标负面上，与坐标正向相反时为正。 20
① ② ③
连续性假定 均匀性假定 各向同性假定 完全弹性 微小变形
（理想弹性
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2.2 弹性力学中的几个基本概念
基本概念： 外力、应力、形变、位移 1. 外力： 体力、面力 (1) 体力 —— 弹性体内单位体积上所受的外力。
Q F lim V 0 V
F Xi Yj Zk
单位： N/m3 kN/m3 —— 体力分布集度 （矢量）