信号与系统复习总结

（3）傅立叶变换的性质
1 F( j ) •尺度变换特性 f (at) a a 时域压缩——频域展宽
a0
•时移特性
f (t t0 ) F ( j)e jt0
f (t )e j0t F j( 0 )
d n f (t ) ( j ) n F ( j ) dtn
0 为常数
•频移特性
•微分特性
五
信号的三大变换
（一）傅立叶变换 3、非周期信号的傅立叶变换
（3）傅立叶变换的性质
t
F ( j ) •积分特性 f ( )d F (0) ( ) j d n F ( j ) ( jt) n f (t ) •频域微分定理 d n f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( j ) F2 ( j ) •时域卷积定理


0
Sa (t )dt

2
t 0



Sa(t )dt
四
典型信号
（二）离散时间信号 1、单位样值信号 2、单位阶跃序列 3、矩形序列 4、指数序列 5、正弦序列 6、复指数序列
五
信号的三大变换
1 2 3
傅立叶变换
拉普拉斯变换
Z变换
连续时间信号 离散时间信号
五
信号的三大变换
（一）傅立叶变换 1、周期信号的傅立叶级数 三角函数形式： (t ) a0 (an cosn1t bn sin n1t ) f
n 0 n
双边 X ( z )
n
x ( n) z n

2、收敛域
•有限长序列：至少 0 z 可能包含 z 0, z 两点。
•右边（因果）序列： z R
•左边序列 (n 1) ： z R
五
信号的三大变换
（三）z变换 3、典型序列的z变换
• s域平移
f (t )e
at
F (s a)
•尺度变换特性
1 s f ( at ) F ( ) a a
五
信号的三大变换
（二）拉普拉斯变换 4、拉氏变换的性质 tf (t ) F / (s) •s域微分 •s域积分 •初值定理 •终值定理
1 f (t ) F ( s ) ds s t f (0 ) lim sF ( s)

f (t ) c0 cn cos(n1t n )
n 1
f (t )
n
Fn e jn1t

周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性
五
信号的三大变换
（一）傅立叶变换 3、非周期信号的傅立叶变换 （1）定义式
F ( j )


f (t )e
jt
•单位样值序列 (n) 1
z •单位阶跃序列 u (n) z 1 z •斜变序列 nu(n) ( z 1) 2
n
( z 1)
( z 1)
z •指数序列 a u ( n) ( z a) za z n a u (n 1) ( z a) za
五
f (t )
x(n n0 )
x(n)
a 1 扩展 5、尺度变换 f ( at) a 1 压缩 a 1 抽取 x(an) 0 a 1 内插
三
信号的基本运算
df (t ) 6、微、积分 dt
7、差分

t

f ( )d
前向差分: x(n) x(n 1) x(n) 后向差分: 8、累加
d X ( z) •z域微分特性 nx (n) z dz z z n •z域尺度变换特性 a x(n) X ( ), Rx1 Rx 2 a a an x(n) X (az), Rx1 az Rx 2
五
信号的三大变换
x (0) lim X ( z )
z
（三）z变换 4、性质 •初值定理
（二）拉普
信号的三大变换
（二）拉普拉斯变换 4、拉氏变换的性质 •线性特性 •时域微分 •时域积分 •时域平移
k1 f1 (t ) k2 f 2 (t ) k1F1 (s) k2 F2 (s)
f / (t ) sF (s) f (0 ) t F ( s) f ( 1) (0 ) f ( )d s s f (t t0 )u(t t0 ) e st 0 F (s)
信号与系统
复习总结
大连轻工业学院信息学院
信号与系统
信 号
系 统
信号
一
信号的定义及分类
信号的特性 信号的基本运算 典型信号 信号的三大变换
二 三 四
五
一
信号的定义及分类
1、信号的定义：随时间变化的物理量。 2、信号的分类： 确定性信号 随机信号
f (t )、x(n)
周期信号
非周期信号
f (t ) f (t nT )、x(n) x(n mN) f (t ) f (t nT )、x(n) x(n mN)



f (t ) (t )dt f (0)
四
典型信号
（一）连续时间信号 2、单位冲激信号
性质：A）抽样性
B）与函数乘

t


f (t ) (t t 0 )dt f (t 0 )
f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
C）偶函数性
(t ) (t )
1 f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( j ) F2 ( j ) 2
•频域卷积定理
五
信号的三大变换
F (s) f (t )e dt
st 0
（二）拉普拉斯变换 1、单边定义式
1 f (t ) 2πj 2、拉氏变换的收敛域

σ j
σ j
F ( s )e ds u (t )
D） u (t ) ( )d E） (t ) u / (t )
四
典型信号
f (t ) e
t
（一）连续时间信号 3、单边指数信号 4、正弦信号
u(t )
f (t ) k sin( t ) f (t ) k cos( t ) sin t 5、抽样信号 Sa (t ) t lim Sa (t ) 1 Sa(t ) Sa(t )
n 1
余弦形式：f (t ) c0 cn cos(n1t n )
n 1

指数函数形式： f (t )
1 F0 ( j) 为单脉冲信号的傅氏变换 Fn F0 ( j ) T1 n
1
n
F e
n

jn1t
五
信号的三大变换
（一）傅立叶变换 2、周期信号的频谱 单边谱 双边谱
st
有限时长信号：整个s平面 单边拉氏变换： 0 双边拉氏变换： 左边拉氏变换： 0
五
信号的三大变换
（二）拉普拉斯变换 3、典型信号的拉氏变换 •单位阶跃信号 •单位冲激函数
1 u (t ) s
(t ) 1
at
1 e u (t ) •衰减的指数函数 sa n! n t u (t ) n 1 •t 的正冪函数 s
f (t ) 2
n
F ( n )
n 1
n

n
1
•理想抽样信号
1 Fs ( j ) Ts
F[ j( n )]
s

五
信号的三大变换
（一）傅立叶变换 3、非周期信号的傅立叶变换
（3）傅立叶变换的性质 •对称特性 •线性特性
F ( jt ) 2 f ( )
dt
1 f (t ) 2



F ( j )e jt d
五
信号的三大变换
（一）傅立叶变换
3、非周期信号的傅立叶变换 （2）典型信号的傅立叶变换
•单边指数信号
•双边指数信号 •矩形脉冲信号
e
e
at
1 a j
2a 2 a 2
a t
•符号函数
2 sgn(t ) j
a1 f1 (t ) a 2 f 2 (t ) a1 F1 ( j ) a 2 F2 ( j )
•奇偶虚实性
实偶函数的傅氏变换必为实偶函数 实奇函数的傅氏变换必为虚奇函数
F ( j) F ( j) ——实信号的充要条件
五
信号的三大变换
（一）傅立叶变换 3、非周期信号的傅立叶变换
sin 1t j [ ( 1 ) ( 1 )]
五
信号的三大变换
（一）傅立叶变换 3、非周期信号的傅立叶变换 （2）典型信号的傅立叶变换
•周期单位冲激序列
T (t )
•周期信号
n
(t nT ) ( n )
1
1


f () lim sF ( s )
s 0
s
•时域卷积定理
f1 (t ) f 2 (t ) F1 (s) F2 (s)
1 F1 ( s) F2 ( s) •s域卷积定理 f1 (t ) f 2 (t ) j 2
五
信号的三大变换
（三）z变换 1、定义式 单边 X ( z ) x(n) z
•终值定理 x() lim[( z 1) X ( z )] •时域卷积定理 5、逆z变换 •幂级数展开法： •部分分式展开法 因果序列按z的降幂排列 左边序列按z的升幂排列
主要表现为信号包含有那些频率分 2．频域特性： 量，各频率分量幅度大小、相位多 少、信号占有的频带宽度等。
三
信号的基本运算
f1 (t ) f 2 (t )
f1 (t ) f 2 (t ) x1 (n) x2 (n) x1 (n) x2 (n)
1、相加 2、相乘 3、移位 4、反褶
f (t t0 )
一
信号的定义及分类
2、信号的分类：
连续时间信号 离散时间信号 能量信号 功率信号
f (t )
x(n) x(nT )
E


f (t ) dt
2
E
1 P lim T T
n
x ( n)

2

T
T
f 2 (t )dt
二
信号的特性
1．时域特性： 主要表现为信号随时间变化快慢的 特性。 如周期大小、幅度高低、上升下降 沿的快慢，脉冲持续时间长短等。
E u (t ) u (t ) ESa( ) 2 2 2
五
信号的三大变换
（一）傅立叶变换
3、非周期信号的傅立叶变换 （2）典型信号的傅立叶变换 •冲激信号 (t ) 1 •直流信号 •冲激偶信号 / (t ) j
1(t ) 2 ( ) 1 ( ) •单位阶跃信号 u (t ) j •正、余弦信号 cos1t [ ( 1 ) ( 1 )]
x(n 1)u(n) z X ( z) x(1)
x(n 2)u(n) z X ( z) z x(1) x(2)
2
1
五
信号的三大变换
（三）z变换 4、性质 •位移性 （2）双边Z变换
x(n m) z X ( z)
m
x(n m) z X ( z)
m
五
信号的三大变换
sin •正弦信号 tu (t ) 2 s 2 s •余弦信号 cos tu (t ) 2 s 2 t •衰减正弦信号 e sin tu (t ) (s )2 2 s t •衰减余弦信号 e costu (t ) (s )2 2 F ( s) •有始周期信号 f (t nT ) 1 e sT n 0
x(n) x(n) x(n 1)
z ( n)
k
x( k )
n
四
典型信号
1 u (t ) 0 t 0 t 0
（一）连续时间信号
1、单位阶跃信号
2、单位冲激信号
(t ) 的三种定义方式：
(t ) dt 1 t0 (t ) 0 1 (t ) lim [u (t ) u (t )] 0 2 2
信号的三大变换
（三）z变换 4、性质 •线性 ax(n) by(n) aX ( z ) bY ( z ) •位移性 （1）单边Z变换 ROC为公共部分
x(n 1)u(n) zX ( z) x(0)
1
x(n 2)u(n) z 2 X ( z) z 2 x(0) zx(1)