一类非线性四阶波动方程的初边值问题

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( )且 u x0 , ( , )=/ ( Z )于 ( )n ( , o 力) u( 0 , )= u ( )于 £ ( . 力) 定 理 1 设 “ )满 足 ( ,。∈ / (2 H) t /)n 2 o
而 p+2≤

, >4 2 <p+2 < ∞ , n ;
第2 6卷 第 4期
哈 尔 滨 师 范 大 学 自然 科 学 学 报
NAT URA CENC SJ LS I E OUR NAL OF HAR N NO BI RMAL UN VE I Y I RST
V 12 , o42 1 o. 6 N . 0 0

类 非 线 性 四 阶 波 动 方 程 的 初 边 值 问题
△“ Jn=0 其 中 ∈R 为有界 域. , 利用 G lri 方 法证 明 了如 果厂 ( )≤ C 且 存在 aekn S o

常数 A、 B使 得 I ≤ Al +B, 中 0 <P≤ 厂 ( )I 5 I 其
儿 一
, 凡>4 0 <P < ∞ , : ; n
收稿 日期 :0 9—0 20 5—1 2
E[,) 0T 成立(; +l △ , )r ( u ) ( △ d + ,) ,

,I

f( ) ) +(1 , d Ⅱ, (o‘ , ∈ )+ ,) V P
第 4期
一类非线性四阶波动方程 的初边值问题
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时 , P < ∞ , I l ≤ CI 1≤ 且 l l UI l l 引 理 2。 对 ∈ ( ) l ul 为 ,I △ l l l 的等价模 . l l . 文中 , 对 u )作如 下假 设 :
估计 和 时空估 计 , 利用 这 些估 计 研究 了 并
卞 春 雨
( 哈尔滨师范大学 )
【 摘要 】 研究 当n≥4 一类弱阻尼非线性 四阶波动方程的初边值 问题 “ A +
+O l=/ ) >0 ∈力, L U . , ( , t>0 “ , ) t ( ,l 0 =I ( , =0 , ( 0 =I ) “( ) t ) “I 0 , 1 m ,
n=4, 而 由( ) 、7 式 、 从 6 式 ( ) 引理 1 引理 2 得 及 可
( , ∈ ( ,()=一I ()y () ) )F Yd s
,l
般 的非 线 性 项 , 而且 关 于 问题 ( ) ~ ( )的 1 4
解 还 未被 研 究 过. 该 文 中利 用 G lri 在 aekn方 法 研究 了问题( )~( ) 1 4 整体弱解的存在性 、 唯一性 及 渐 进 性 质 . 方 便 记 , 函数 的 ( 为 将 力)
+B, 中 0<P≤—! n>40 <P <∞ , 其 , ; n=4 . 定义 称 “ ,) 问题 ( ) 一 ( )在 × ( t是 1 4
论. 陈勇明 , 杨晗等在参考文献 [ ,]中利用位势 23 井 理论 研究 了方 程 + 。 “=I l 整体解 △ “+ “ f“ 卜

其 中 力为 R 中边界 充分 光滑 的有界 域 , >0 . 方 程 ( ) 一类 梁 震 动 方 程 …. 不具 有 耗 1是 在
散项 的情 况下 Lvn ok 在参考 文献 [ ] ead sy 1 中研究 了方程 u +△ u+ =I I M 对应 的线性 方程 的
( )的范数 用 l l, M 表示 I・I p ; k
“ +A + Ⅱ #=厂 u , E , ( ) t>0 ( ) 1 “ , ) =u ( , ( 0 ( 0 0 ) , )=“ ( , ∈力 1 )
() 2 uI =0 m △ 加 =0 Ml () 3 () 4
的存 在性 、 唯一性 及光 滑性 , 构造不 稳定集 证 明 了 解在 有 限时刻 发生 爆 破. 是 上 述 方 程都 不 具备 但

[ ,) 0 T 的整体弱解 : “ , 若 ( t )∈L 0 ; ( ( , )
n ( ) , ,)∈L 0 T L(- )对 所有 t ) u( t ( , ; 1) 1
[, 5 12,]所研 究的 问题 , 到 了较 好的 结果. 得
关键词 :波动 方程 ; 整体弱 解 ; 边值 问题 初
考 虑如 下 非 线性 四 阶 波 动方 程 的初 边 值 问
题:
范 数记 为 l I・ Sb l o oe 间 v空
, =2时 ,I・ P I
= I l・
“ 对时间变量 t 求导 ;u (, )=J vx fud. n
引理 1 S b lv 入定 理 ) ( o oe 嵌 设 c R 有 “
, ' ’.
界且 是 有 锥 性 质 , 当 2 则 k≤ 几时 , ( )嵌 入
( )其 中 2 , k<乃时 , 1≤P≤ ; 2 =凡 当

4,。∈ ( “ 力)n ( )u ,。∈ L ( ) 则 问题 存 在 整 体 弱 解 ( £ ∈ L 0, , ,) ( ; ( )n n ( ) o ) .并 且 讨 论 了 问题 整 体 弱 解 的 唯 一 性 及 渐 进 性 , 宽 了文 献 ' 拓
方程 1 3 , “+△ u+u+仅 ‘= _ u IuI 。 u的 C u h a c y问
题 的局部 解 的存在 性及 渐进 性质 和低 能量 散射 理
( ) 凡≥4 ∈C H 设 () s 上方有界 , 即存 在 常数 C , f ()≤ C , I s ≤ A} 。使 s o且 厂 ()I s I
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