多变量控制系统分析与设计04

x [ A BF[(I DF ) 1 C]x B[I F (I DF ) 1 D]r [ A BF[(I DF ) 1 C]x B[I F(I DF) 1 D]r [ A B[(I FD) 1 FC]x B[I FD(I FD) 1 ]r [ A B[(I FD) 1 FC]x B[(I FD)(I FD) 1 FD(I FD) 1 ]r [ A B[(I FD) 1 FC]x B(I FD) 1 r
1 0 0 BC 1 0 0 0 0 1
(s 1) 1 0 s 0 (s 1)(s 2)(s 4) TH (s) sI A BC 2 0 2 s4
s2 s +1 I LGKF 2 (s 1)(s 3)
(s 2)(s 4) s 4 (s 1)(s 3) s3
系数矩阵A的特征值存在实部为零的单重特征值，临界稳定
关于系统稳定性的结论
系统稳定的充分必要条件是：系统的特征方程的所有 根都具有负实部，或者说都位于S平面的虚轴之左。
系统稳定性的基本概念(二)
(2) 系统的外部稳定性 BIBO稳定性(有界输入-有界输出)
y( s) G( s)u( s)
[定义4-5] 如果对于任一有界的输入向量u(t)：
x1
二维空间李雅普诺夫下稳定性的几何解释示意图
系统渐近稳定
[定义4-3] 若系统在平衡点x=x*处稳定，且：
lim x(t ) x*
则称系统在平衡点处渐近稳定，或简称平衡点 x=x*渐近稳定。
x2

t
s ( )
- 初始状态 - 平衡状态
x0 xe

s( )
x1
二维空间渐近稳定性的几何解释示意图
1 1 x A B ( I FD ) FC x B ( I FD ) r Ac Bc
y (I l DFy ) 1 Cx (I l DFy ) 1 Dr
Cc Dc
当且仅当AC所有特征值均具有负实部时，闭环系统稳定
x Ax Bu y Cx Du
第4章 系统的稳定性分析
4.1 稳定性的基本概念
多变量系统可以分别从它的内部结构和外部特性考察其动态行为，
从而建立起它的内部描述(如状态空间描述 )或外部描述 (传递函数矩阵描
述)。系统的稳定性相应从内部和外部两个方面来考察。 (1) 内部稳定性 系统的内部稳定性反映系统内部状态变化内在性质，与输入输出无 关。它是在外部输入为零(又称为零输入)情况下，当状态向量偏离了某个 平衡点时，系统能否自己回复到这个平衡点上来的性质。
s 17 9 sI A =0 30 s-16
s1 2 s2 1
由于存在右半平面上的特征值 s2＝1，故此系统不稳定，或者更严格地 说，此系统的零输入响应在平衡点X*＝0处不稳定。 系统的传递函数为： g ( s)
1 s2
系统BIBO稳定。
系统稳定性考察(续)
G(s) C(sI A)1 B D
只有当 P(s) 为最小阶系统时，其所有极点才能完全反映到 G(s)中。
因此，当且仅当G(s)来自最小阶系统时BIBO稳定性才具有实际的意义。
系统的外部稳定性
[定理4-5] 当G(s)来自最小阶系统时，下述命题等价： (1)系统的零状态响应BIBO稳定； (2)系统的零输入响应渐近稳定； (3)G(s)的所有极点均具有负实部； (4)状态方程中矩阵A的所有特征值均具有负实部。
(I DF ) 1 D D(I FD) 1
u r Fy
p15
y来自百度文库 Cx D(r Fy )
y (I DF ) 1 Cx (I DF) 1 Dr
u r F[(I DF ) 1 Cx (I DF ) 1 Dr ]
x Ax B r F[(I DF ) 1 Cx (I DF ) 1 Dr ]
(4-5)
u(t ) M 1
系统(4-5)的输出向量y(t)也有界，即满足：
y (t ) M 2
则称系统(4-5)BIBO稳定。
t 0,
系统的外部稳定性
[定理4-4] 当且仅当G(s)的所有极点均位于左半开平面上时，系统BIBO 稳定。
系统稳定性考察
解
17 9 A 30 16
i 1
i 1
n
系统闭环稳定性(续)
c.l.c. p I LGKF o.l.c. p
(s ) (s )
i 1 i i 1 n i
n
s 1 P (s) 0 1 0
1 s
1 0 1 0 2 s 3 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
系统的平衡状态(平衡点)
[定义4-1] 满足f(x*)=0的状态x*称为系统 x f (x) 的平衡状态，又称为平 衡点。 非线性系统
x f (x, u)
(4-1)
u0
x f ( x)
(4-2)
x0
线性系统
x Ax
x* 0
(4-3)
系统稳定
[定义4-2] 对于系统 x f (x)，设x x* 为它的某个平衡状态，如果对
0
x ( t ) P e At P 1x (0)
上式为 e i t , te i t ,
t i t e , 2!
2
t m 1 i t 线性组合 , e ( m 1)!
A的特征值具有负的实部时，
limx(t ) 0
t
连续线性定常系统，渐近稳定的充分必要条件是：它的
系数矩阵A的特征值全部都具有负实部。
[定理4-2] 当且仅当A的所有特征值{λi}(i=1~n)均具有非正(负或零)实
部，且具有零实部的特征值是A的最小多项式的单根时，系 统(4-3)在它的每一个平衡点处稳定。
线性系统的稳定性(续)
[定理4-3] 系统(4-3)在平衡点X*=0处(大范围)渐近稳定的充分必要条件 是，A的所有特征值均具有负实部。 证明：
t m 2 e i t ( m 2)! t m 3 e i t ( m 3)! t m 4 e i t ( m 4)! e i t
e i t
t m 1 i t e ( m 1)! m 2 t i t e ( m 2)! t m 3 i t e ( m 3)! i t te e i t mm
x Ax
系统的平衡状态为
x* 0
x ( t ) e A ( t ) x ( 0)
根据李亚普诺夫定义，系统渐进稳定时：
lim x( t ) lim e A ( t ) x( 0) x * 0
t t
考虑作矩阵线性变换：变换矩阵为状态空间模型之系数 矩阵特征向量构成：
x(t ) Px( t )
x(t ) Px(t )
x Ax( t )
Px(t ) APx(t )
x(t ) P 1 APx(t ) Ax(t )
A 为对角线矩阵或者为若当标准型矩阵形式。
1 2 A 0
0 n
J1 J2 A 0
1
1 0 s 0 1 0 2 s 3 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 A 1 0 0 0 2 3
1 0 1 0 0 B 1 0 C= 0 0 1 0 1
A 为约当阵时，
自动控制原理，李友善(第三版) P340
e
At
e J1t 0
e J 2t
0 Jl t e
e Jit
i t e 0
te
i t
t 2 i t e 2! te i t e
i t
[定理4-6] 当且仅当多项式 ( s ) I LGKF TL TG TK TF 所 有零点均处于左半开平面上时，闭环系统稳定。
n
c.l.c. p ( s) ( s i)
o.l.c. p TL TG TK TF ( s i )
于任意一个ε>0，总存在一个δ>0，使得当系统在t0时刻初始状
态 x(t0 )=x0 满足：
x0 x*
系统的状态轨线x(t)恒有：
x(t ) x*
则称系统在平衡点x*处稳定，或简称平衡点x=x*稳定。
系统稳定性示意
x2
s ( )

xe


- 初始状态
- 平衡状态
s( )
系统大范围渐近稳定
[定义4-4] 如果对于任意初始状态x0，系统(4-2)在平衡点x*处都渐近稳
定，则称系统在平衡点x*处大范围渐近稳定，或简称平衡 点x*大范围渐近稳定。
线性系统的稳定性
[定理4-1] 如果线性系统(4-3)在平衡点x*=0处渐近稳定，则它在此平衡 点处也大范围渐近稳定，并且x*=0是此系统唯一的平衡点。
系统(4-9)的Rosenbrock系统矩阵为：
s 17 9 3 P ( s ) 30 s 16 5 7 4 0
系统有一个输入解耦零点s＝1，系统内部不稳定。由于它不反映到G(s)中， 系统输入输出关系是稳定的。
sI A B P( s ) C D
系统闭环稳定性(续)
系统闭环稳定性(续)
TH ( s ) U H ( s) PH ( s ) V ( s ) W ( s ) H H
︱ TH(s)︱=0 的根就是闭环系统的极点。
系统闭环稳定性(续)
TH I LGKF TL TG TK TF
1 s 1 G (s) 2 (s 1)(s 3)
0 1 s 3
K (s) L(s)=F(s) I 2
sI A B P (s) D C
s 1 P(s) 0 1 0
0 Jl
λ1， λ2，…, λn
为A的特征值。 s I A 0
J1, J 2 ,
J l 为A的m重特征值λ1， λ2，…, λl对应的约当块。
1 1 0 0 1 1 0 0 1 J1 0 0 0 0 0
x ( t ) e At x (0)
0 0 1 0 0
0 0 0 1 1 mm
x(t ) Px( t )
x (0) P 1x (0)
Px ( t ) P e At x (0)
x ( t ) P e At P 1 x (0)
A 为对角矩阵时
e
At
e 1t 0
e 2t
0 n t e
自动控制原理，李友善(第三版) P332
e 1t x ( t ) P e AtP 1x (0) P 0
e 2t
0 P 1x ( 0) e nt
t t t x ( t ) 的各分量 x1(t ), x2 (t ), , xn (t ) 是 e 1 , e 2 , , e n 的线性组合
系统稳定性的基本概念(三)
(3) 系统闭环稳定性
x Ax Bu y Cx Du
u r Kx
x ( A BK )x Br y (C DK )x Dr
当且仅当矩阵Ac＝(A-BK)的所有特征值均具有负实部时，闭环系统稳定。 如果采用定常输出反馈
u r Fy