线性规划与二次规划

m 1
线性规划
x y1 y x 2 m yn xn ,c m y1 x1 m x2 y2 m xn yn
m 1 m 2
5.1 线性规划举例
有数据点的最大偏差是最小的。
问题描述 设多项式函数为
y Pm ( x) ai xi [1, x,
i 0 m
, x m ]a
a [a0 , a1 ,
, am ]T
m 1
在每个数据点的偏差
k Pm ( xk ) yk [1, xk , , xkm ]a yk
z [A eq , beq ] 0 t A eq , beq z 0 T z d , t 1 T [d , ] 1 t t0
5.2 线性规划的标准形式
min c x c1 x1 c2 x2 n
x
A是 m1 n 的矩阵 A eq 是 m 2 n 的矩阵
s.t., Ax b Aeq x beq
T min c x n x
cn xn
b, beq 是m1和m 2维的列向量 m1个不等式，m 2个等式约束
A b s.t., Aeq x beq Aeq beq
max{ k } m [1, xk , , xk ]a yk
[1, xk ,
m , xk ]a yk
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[1, xk , , xkm ]a yk [1, xk , , xkm ]a yk
5.1 线性规划举例
1 1 x1 min [ ,a ] 1 1 x2 s.t., A c a 1 1 xn A 1 1 x1 1 1 x2 1 1 xn
5.1 线性规划举例 运输问题
有I个生产基P1，P2，…,PI存储着某种货物，这些货物必须运至J个 港 口 M1,M2,…,MJ 装 船 出 口 。 生 产 基 地 Pi 存 储 货 物 的 总 量 是 si(i=1,2,…,I), 港口 Mj 对货物运输能力是 rj. 设从基地 Pi 到港口 Mj 单位质量货品的运输价格是 bij. 在基地库存充足情况下，设计一个 运输调度方案，满足：1). 基地所有存货被运抵港口；2). 每个港口 的运输能力被充分利用；3). 运输调度方案的总运费最小。 (注：库存充足意味着 s1+s2+…+sIr1+r2+…+rJ.)
线性分式规划问题-Linear Fractional Programming 找出n维向量
x [ x1 , x2 , , xn ]
n
,使得线性分式函数
cT x f ( x) T d x
在非空、有界集合
R x
n
Ax b A eq x b eq
求最大值的线性规划
max c x c1 x1 c2 x2 n
T x
cn xn
T max c x n x
s.t., Ax b A eq x b eq
求最小值的线性规划
T
A b s.t., Aeq x beq Aeq beq
决策变量：设从基地Pi 运输到港口Mj的货物量为yij 总运费： C bij yij
i 1 j 1 I J
存货全部运出约束： yij si 运输能力充分利用约束： yij rj
yij 0 非负约束：
i 1
j 1
J
I
5.1 线性规划举例
线性规划
min C
5.1 线性规划举例
线性分式规划问题-Linear Fractional Programming 注意到目标函数是齐次的(分子-分母都是线性的),因 此，对分子分母同乘以正数 t 0 ，目标函数的值是不 变的。所以，可以引入辅助变量t，使得分母
(dT x )t dT xt t 1
5.1 线性规划举例
线性分式规划问题-Linear Fractional Programming
T z max [c , ] n 1 [ z ,t ] t z s.t., [A, b] x 0 t
cT x max f ( x) T n x d x s.t., Ax b A eq x b eq
5.3 线性规划的性质
T max c x n x
A b s.t., Aeq x beq Aeq beq
● ● ●
满足所有约束条件的向量构成的集合 是线性规划的可行域，最优解是否存 在取决于可行域的性质 线性规划的可行域是凸集； 线性规划可能有解、无解或无界； 线性规划的最优解在凸多面体的顶点上；
T
s.t.,
a
i 1
m
ji
xi c j , j 1, 2, ,m
,n
xi 0, i 1, 2,
s.t., Ax c x0
a12 a22 an 2 a1m a2 m anm
x1 b1 c1 a11 x b c a x 2 , b 2 , c 2 , A 21 xm bm cn an1
可行域有界
线性规划有解
凸集
顶点
凸集
非凸集
可行域空集 线性规划无解 线性规划有解或无界
D是凸集 对D内任意两点x、y的连线上所 有点都在集合 内，即对任意的实数0≤a≤1，点 可行域无界 ax＋(1－a)y在D中。
数学建模理论与实验
第五讲: 线性规划与二次规划
---水鹏朗
5.1 线性规划举例
例1某工厂每日8小时产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划
聘请两种不同水平的检验员。 一级检验员：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时； 二级检验员：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时。 检验员每错检一次，工厂要损失2元。 问题：为使总检验费用最省，应聘用一级、二级检验员各几名？
y [ y11 , y12 , , y1J , y21 , , y2 J , , yI 1 , , yIJ ]T
0 s1 s 0 , ceq 2 1 I(IJ) sI
5.1 线性规划举例
数据拟合问题-Min_Max问题 设测定了一组数据 {( xn , yn ) : n 1,2, , N} ,用m(m n 1) 次的多 项式拟合变量x和y之间的关系,问题:找一个m次多项式使得所
决策变量：设需要一级和二级检验员的人数分别为x1，x2人 工资花费： 8 4 x1 8 3 x2 32 x1 24 x2 错检损失： 8 25 (1 0.98) x1 8 15 (1 0.95) x2 2 8x1 12 x2
固定，然后最大化分子 (cT x )t cT xt t
优化变量： z xt ,[z, t ]
z 目标函数： c , t
T
n


cT x max f ( x) T n x d x s.t., Ax b A eq x b eq
I i 1 J
b y ij ij i 1 j 1
I J
min bT y s.t ., Ay c
标准化
,J ,I
s.t., yij rj ,
j 1, 2, i 1, 2,
A eq y c eq y0
e1 e2 eJ 0 1 0 e1 e2 ，c e J J (I J) r1 r 2 ; rJ
e1 e yij 0, i 1, 2, , I ; j 1, 2, , J A 2 T b [b11 , b12 , , b1J , b21 , , b2 J , , bI 1 , , bIJ ] , e J
j 1
y
ij
si ,
1 0 1是元素全是1 的J 维行向量 A eq 0是J维行向量 0 e j 是第j个元素为1 ，其它元素是0的J维行向量
总花费：
z 40 x1 36 x2
5 x1 3x2 45
约束条件： 8 25 x1 8 15 x2 1800 x1 0; x2 0
5.1 线性规划举例
min{z 40 x1 36 x2 [40,36][ x1 , x2 ]T } s.t., 5 x1 3x2 45 x1 0 x2 0 线性规划：目标函数是线性函数，约束 条件是线性不等式或等式。 满足约束条件的所有点构成的集合称作 可行解集合。
5.1 线性规划举例
线性分式规划问题-Linear Fractional Programming
约束条件的转化：
z Ax b Axt bt 0 [ A, b] 0 t z A eq x b eq A eq xt b eq t 0 [ A eq , b eq ] 0 t z T T d xt t 1 [d , ] 1 t t 0
决策变量：设每天食物 Fi 的量分别是 xi
花费代价： C bi xi
i 1
ji
m
营养约束：
a
i 1
m
xi c j , j 1, 2, ,m
,N
xi 0, i 1, 2,
5.1 线性规划举例
线性规划
m min C bi xi i 1
min b x
max{x1 x2 } s.t., x1 0; x2 0
凸多边形区域
subject to = s.t.
x2
可行解集合
5 x1 3x2 45
x1
5.1 线性规划举例
配餐问题
有m种不同类型的食物, F1 , F2 , , Fm ，这些食物提供了有益于健 c j 是人体每天对营养成分 N j 的最 康的n种营养成分 N1 , N 2 , , N n 。 小需求量。bi 是食物 Fi 的单价. a ji 是每单位质量的食物 Fi 包含营养 成分 N j 的量。 问题：如何配餐的花费代价最小 ？
上的最大值。
基本假定：线性分式函 数的分母在集合上是严 格正的.
带线性约束的优化问 题 , 可以直接求解，很 难说明得到的解是全 局最优的。 问题：如何转化为线 性规划求解？
cT x max f ( x) T n x d x wk.baidu.com s.t., Ax b A eq x b eq
5.1 线性规划举例
问题描述(续)
min
a
max { }
k 1,2, , N k
[1, xk ,
绝对值约束转 化为线性约束
m , xk ]a yk k m , xk ]a yk k
[1, xk ,
where
关于a的线性等式约束 引进辅助变量控制所有样本点的偏差
k [1, xk , , xkm ]a yk