第一节 函数及其表示

名称
称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y=f(x),x∈A
对应f:A→B
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栏目只多有学的“考在科点上”素面的加书养，，做只· 提超上链”升考接点，一且“这各种个简栏化目标居题中放；
▶提醒 判断一个对应关系是不是函数关系,就看这个对应关系是否满足函 数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个 核心点.
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考点一 函数、映射概念的理解
典例1 (1)给出下列四个对应:
①A=R,B=R,对应关系f:x→y,y= 1 ,x∈A,y∈B;
x 1
②A= a
|
1 2
a
N*
,B= b
|
b
1 n
,n
N*
,对应关系f:a→b,b=
1 a
;
③A={x|x≥0},B=R,对应关系f:x→y,y2=x,x∈A,y∈B;
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3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 对应 关系 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示 的是一个函数. ▶提醒 一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的 定义域不可以相交.
学习要求: 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映 射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解 析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用.
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则mx2+4mx+3≠0恒成立,
①当m=0时,显然满足条件;
②当m≠0时,由Δ=(4m)2-4m×3<0,
得0<m<3 .
4
综上可知,0≤m<3 .
4
(2)函数f(x)= ax2 abx b 的定义域是不等式ax2+abx+b≥0的解集. 由题意知不等式ax2+abx+b≥0的解集为{x|1≤x≤2},
④A={x|x是平面α内的矩形},B={y|y是平面α内的圆},对应关系f:每一个矩形都
对应它的外接圆.
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其中是从A到B的映射的为 ( B )
A.①③
B.②④
C.①④
D.③④
(2)下列函数中,与函数y=x+1是相等函数的是 ( B )
A.y=( x 1)2
2.基本初等函数的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为
4ac 4a
b2
,
;当a<0时,值域为
,
4ac 4a
b2
.
(3)y= k (k≠0)的值域是{y|y≠0}.
x
(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).
B.y= 3 x3 +1
C.y= x2 +1
x
D.y= x2 +1
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解析 (1)对于①,当x=-1时,y的值不存在,所以①不是从A到B的映射;对于
②,A,B是两个集合,分别用列举法表述为A={2,4,6,…},B=
1,
1 2
,
1 3
,
1 4
,,由对应
(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.
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1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)函数y=1与y=x0是同一个函数. ( ✕ ) (2)f(x)= x 3+ 2 x 是一个函数. ( ✕ ) (3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等. ( ✕ )
x3
A.(2,3)
B.(2,4]
C.(2,3)∪(3,4]
D.(-1,3)∪(3,6]
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解析
(1)要使函数f(x)=
x
1+lg(6-3x)有意义,则
x 6
1 3x
0, 即-1≤x<2.故函数
0,
f(x)的定义域为[-1,2).
4 | x | 0,
(2)要使函数f(x)有意义,需满足
x2
x
5x 3
6
0,
| x | 4,
即
(x
3)(x x3
2)
0,
解得2<x<3或3<x≤4,故f(x)的定义域为(2,3)∪(3,4].
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角度二 已知函数定义域,求参数的取值范围
典例3
(1)(2019河北衡水联考)若函数y=
A.①③
B.②④
C.③④
D.②③
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2.下列四组函数中,表示相等函数的一组是 ( A ) A.f(x)=|x|,g(x)= x2 B.f(x)= x2 ,g(x)=( x )2 C.f(x)= x2 1,g(x)=x+1
x 1
D.f(x)= x 1· x 1 ,g(x)= x2 1
关系f:a→b,b= 1 知,②是从A到B的映射;③不是从A到B的映射,如A中的元素1
a
对应B中两个元素±1;④是从A到B的映射.
(2)对于A,函数y=( x 1)2的定义域为{x|x≥-1},与函数y=x+1的定义域不同,不
是相等函数;对于B,两个函数的定义域和对应关系都相同,是相等函数;对
于C,函数y= x2 +1的定义域为{x|x≠0},与函数y=x+1的定义域不同,不是相等函
(4)函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个.( √ )
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2.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y= f(x)的图象可能是 ( B )
x
1 2
+f
x
1 2
的定义域
是
1 2
,
3 2
.
解析
因为函数f(x)的定义域是[0,2],所以函数g(x)=f
x
1 2
+f
x
1 2
中的自变
量x需要满足
0 0
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2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域: 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的⑦ 定义域 ; 与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ⑧ 值域 . (2)函数的三要素:⑨ 定义域 、值域和对应关系. (3)相等函数:若两个函数的⑩ 定义域 相同,且 对应关系 完全一致, 则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据. (4)函数的表示方法: 解析法 、图象法、列表法.
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3.(新教材人教A版必修第一册P65例2改编)函数f(x)= 1 的定义域为 ( A )
2x 1
A.(0,+∞)
B.[0,+∞)
C.(1,+∞)
D.[1,+∞)
x
数;对于D,两个函数的定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B.
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名师点评 1.定义域和值域都相同的两个函数不一定是相等函数. 2.判断一个从集合A到集合B的对应是不是一个函数(映射)的依据可归纳为 可以一对一,也可以多对一,但不能一对多.
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a 0,
所以1 2
b,解得
a
3 2
,
1
2
b
,
b 3,
a
所以a+b=- 3 -3=- 9 .
22
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角度三 抽象函数的定义域
典例4
已知函数f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=f
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1.下列对应关系:
①A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3}, f:x→x的平方根;
②A=R,B=R, f:x→x的倒数;
③A=R,B=R, f:x→x2-2;
④A={-1,0,1},B={-1,0,1}, f:x→x2.
其中是A到B的映射的是 ( C )
1.函数与映射的概念
函数
映射
两集合A、B 设A、B是两个① 非空数集
设A、B是两个② 非空集合
对应关系 f:A→B
按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中 的③ 任意 一个数x,在集合B中都有 ④ 唯一确定 的数f(x)与之对应
按某种确定的对应关系f,使对于集合A中的⑤ 任 意 一个元素x,在集合B中都有⑥ 唯一定 的 元素y与之对应
(5)y=tan
x的定义域为x
x R且x
k
π 2
,k
Z
.
(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}.
(7)y=logax(a>0,且a≠1)的定义域为{x|x>0}.
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知识拓展 1.常见函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于0.
(2)偶次根式函数的被开方式大于等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.
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考点二 函数的定义域
角度一 具体函数的定义域
典例2 (1)函数f(x)= x 1+lg(6-3x)的定义域为 ( C )
A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.[-1,2)
D.[-1,2]
(2)函数f(x)= 4 | x |+lg x2 5x 6的定义域为 ( C )
义域为( D )
A.(-1,1)
B.
1,
1 2
C.(-1,0)
D.
1 2
,1来自百度文库
解析 ∵f(x)的定义域为(-1,0),
∴-1<2x-2<0,解得
1 2
<x<1,∴函数f(2x-2)的定义域为
1 2
,1,故选D.
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mx
2
mx 1 4mx
3
的定义域为R,则实数m
的取值范围是 ( D )
A.
0,
3 4
B.
0,
3 4
C. 0,
3 4
D. 0,
3 4
9
(2)若函数f(x)= ax2 abx b的定义域为{x|1≤x≤2},则a+b的值为
-
2
.
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解析 (1)要使函数的定义域为R,
5.已知f(x)是一次函数,且f [f(x)]=x+2,则f(x)= ( A ) A.x+1 B.2x-1 C.-x+1 D.x+1或-x-1
解析 因为f(x)是一次函数,所以可设f(x)=kx+b(k≠0).由f[f(x)]=x+2得k(kx +b)+b=x+2,即k2x+kb+b=x+2,所以k2=1,kb+b=2,解得k=1,b=1,则f(x)=x+1.故选A.
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第二章 函数
第一节 函数及其表示
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解析 要使f(x)= 1 有意义,需满足2x-1>0,解得x>0,∴函数f(x)= 1
2x 1
2x 1
的定义域为(0,+∞),故选A.
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4.(2020山东威海一中期中)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x-2)的定