电磁场与电磁波_ 矢量分析和场论_

1.09
0.8625
-20
0.635
0.4075
0.18
1.2.2 标量场的等值面
标量场同一数 值各点在空间 形成的曲面
ux,y,z C
14 16
18
20
−35.50
22
12 50 MLAT 10 60 70
80
2 0 MLT
40 8
30
20
10
6
0
−10
−20
4
−30
−40
33.42
Potential (kV)
u z
n方向为该点所在等值面的法线方向
1.2.4 梯度
标量场的梯度函数建立
了标量场与矢量场的联 系，这一联系使得某一 类矢量场可以通过标量 函数来研究，或者说标 量场可以通过矢量场的 来研究。
标量场的梯度垂直于通 过该点的等值面（或切 平面）
1.2.4 梯度的性质
标量场的梯度是矢量场，其方向表示标量场变化最快的方 向，其数值表示变化最快方向上场的空间变化率。 标量场在方向上的方向导数，是梯度在方向上的投影。 标量场的梯度垂直于过该点场的等值面，因此空间任意点 的梯度方向是过该点标量场的等值面的法矢方向。所以等值 面的单位矢量可表示为： n u
1.4 矢量场的环量
不是所有的矢量场都由通量 源激发。存在另一类不同于 通量源的矢量源，它所激发 的矢量场的力线是闭合的， 它对于任何闭合曲面的通量 为零。但在场所定义的空间 中闭合路径的积分不为零。
1.4 矢量场的环量
磁场沿任意闭合曲线的积分 与通过闭合曲线所围曲面的 电流成正比，即：
L
S
1.4.1 旋度的公式
y e ˆz rotF
z
zeˆ
ex
rotF ex
Fyy| z
z
Fyy| z z
2
2
Fz Fy
Fzz| y y 2
Fyz| y y 2
y
zy z
x
s yz lyz
y
1.4.4 旋度的公式
根据线积分的公式，直角坐标系中旋度的表达式为:
rotF
e ˆlsxiyzm01s
Fdle
l yz
ˆ lim y
u u n ucos u en el uel
l n l n
n
P1
P2
dn
dl
P
| u
ˆ
u nl
maeˆx x uxeˆy
u y
eˆz
u z
e ˆx x e ˆyy e ˆzz
1.2.4 梯度
标量场的梯度：标量场在空间变化最快的方 向及数值
| u nˆu l
u
ຫໍສະໝຸດ Baidu
u
max eˆx x eˆy y eˆz
场在某点处沿不同方 向变化快慢程度（方 向性导数）不同，必 存在变化最快的方向 定义为梯度
l1
l2
l
M
u u u u l2 l1 l
1.2.4 梯度
u l
(u ex u ey x y
u ez)( z
dx ex dl
dy ey dl
dz dl
ez)
(u ex u ey u ez)el x y z
矢量场对于闭合曲线 L 的环量定义为:
xd,y,z
L
0 0
F
（1）如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称 该矢量场为无旋场，又称为保守场。
（2）如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零， 称该矢量场为有旋矢量场
1.4.2 旋度的概念
旋度的定义为：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为包 含M点在内的小面元边界的环量与小面元比值极限的最大值， 其方向为极限取得最大值时小面积元的法线方向，即：
22
−35.50
12 50 MLAT 10 60
70 80
2 0 MLT
40
8 30
20 10 6 0
−10
−20
4
−30
−40
33.42
Potential (kV)
Z [R]
15 10
5 0 -5 -10 -15
10
t = 21:15 UT
0
-10
X [R]
p [nPa]
2
1.7725
1.545
1.3175
1.2 梯 度
自强●弘毅●求是●拓新
1.2.1 场的概念
任何物理过程总是在一定空间上发生，对应的物理量在 空间区域按特定的规律分布。如
电荷在其周围空间激发电场的分布 电流在周围空间激发磁场的分布 地球上太阳及其他原因激发温度的分布
在空间区域上每一点有确定物理量与之对应，称在该区 域上定义了该物理量的场
|u |
1.2.5 习题
例：已知标量场u(x, y,z) x2y y2x1，求(2,1,3)处方向导数的最大值。
解：根据梯度的定义，求得该标量场的梯度为：
zyx
那么在(2,1,3)处的梯度为
e y e yz x e xy u
zyx
eeeu
其最大值为 |u | 117
1.4 旋度
自强●弘毅●求是●拓新
z
lim
1
rotF
n
ˆ s0
s
l F dl Max
y
x
1.4.4 旋度的公式
根据线积分的公式，直角坐标系中旋度的表达式为:
rotF e ˆlxim 1 Fdle ˆ lim y
s syz0
l yz
sxz0
1Fdl xz s
Fz edlˆ1 lim
l sxy0
l
yz
xz
xy
e ˆxrotFe ˆ xeroˆ tyFe ˆ
1.2.2 标量场的等值面
例：点电荷Q位于直角坐标系的原点，它在空间的电位是：
求等值面方程？
(x,y,z)
Q
40 x2 y2 z2
解：
(x,y,z)
Q
C
40 x2 y2 2z
Q
1.2.3 方向导数
实际应用中不仅需要了解宏观 上场在空间的数值，还需要知 道场在不同方向变化。
方向性导数可以描述标量场在 空间某个方向上变化情况
1.2.1 场的概念
只有数值的大小而没有方向的场称为标量场 既有数值的大小又有方向的场称为矢量场 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场
静态标量场用 ux,y,z 时变场标量场用 ux,y,z,t
静态矢量场 Fx,y,z 时变矢量场 Fx,y,z,t
1.2.1 场的概念
14 16 18 20
Mrl Mr
1.2.3 方向导数
| lim u
l
M0
u l0 l
u
x
dx
u y
dy
u z
dz
1 dl
ex u ey x
u ez y
uˆexdxeyˆdyl ezdˆz
z
dl
u cos ucos cous
x
y
z
cos,cos,cos为 l 的方向余弦
Mr
Mrl
1.2.4 梯度
sxz0
1Fdl xz s
Fz edˆl1 lim
l sxy0
lx
yz
xz
xy
eˆxrotFexey ˆrotFey ezroˆtFez ˆ ˆ
ˆ
rotF e ˆxFz Fy eFˆxy Fz Fye ˆzFx y z z x x y