2021届河南省信阳市普通高中高三第一次教学质量检测数学(文)试题Word版含解析

2021届河南省信阳市普通高中高三第一次教学质量检测
数学（文）试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知N是自然数集，在数轴上表示出集合A，如果所示，则A∩N=（）
A. {﹣1，0，1，2，3}
B. {0，1，2，3}
C. {1，2，3}
D. {2，3}
【答案】B
【解析】解：由题意得A=（﹣1，3]，
∴A∩N={0，1，2，3}．
故选：B．
2. 要得到函数y=sin（4x+）的图象，只需要将函数y=sinx的图象（）
A. 向左平移个单位，再把所得图象上的点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）
B. 向左平移个单位，再把所得图象上的点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变）
C. 向左平移个单位，再把所得图象上的点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）
D. 向左平移个单位，再把所得图象上的点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变）
【答案】C
【解析】解：要得到函数y=sin（4x+）的图象，只需要将函数y=sinx的图象，
向左平移个单位得到：y=sin（x+）的图象，再把横标缩短为原来的倍，
得到：y=sin（4x+）的图象．
故选：C
3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，c=，则B等于（）
A. 30°
B. 120°
C. 135°
D. 150°
【答案】D
【解析】解：由a=1，b=，c=，
余弦定理，可得cosB=．
∵0°＜B＜180°．
∴B=150°．
故选：D．
4. 函数y=的定义域是（）
A. （﹣∞，2]
B. （0，2]
C. （﹣∞，1]
D. [1，2]
【答案】B
【解析】解：要使原函数有意义，则1﹣log2x≥0，
x≤1，解得0＜x≤2．
即log
2
∴函数y=的定义域是（0，2]．
故选：B．
5. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于（）
A. 4
B. 4
C. 4
D.
【答案】C
【解析】解：A=180°﹣60°﹣75°=45°
由正弦定理可知，b=
故选C
6. 已知向量=（m，2），=（m+4，2），若||=||，则实数m等于（）
A. ﹣2
B. 2
C. ﹣4
D. 4
【答案】A
【解析】解：根据题意，向量=（m，2），=（m+4，2），
则=（2m+4，4），=（﹣4，0），
若| |=| |，则有（2m+4）2+16=（﹣4）2+0，
解可得m=﹣2，
故选：A．
7. 若x=，y=lg3，z=，则（）
A. y＜z＜x
B. z＜x＜y
C. x＜y＜z
D. z＜y＜x
【答案】A
【解析】解：x==50.4＞1，y=lg3＜，z=∈．
∴x＞z＞y．
故选：A．
8. 函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，设函数f（g（x））有m个零点，函数g（f（x））有n个零点，则m+n等于（）
A. 6
B. 10
C. 8
D. 1
【答案】B
【解析】解：由图象可知，
若f（g（x））=0，则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；
由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1；
g（x）=0时，x的值有3个；g（x）=1时，x=2或x=﹣2；
g（x）=﹣1时，x=1或x=﹣1．
故m=7；
若g（f（x））=0，则f（x）=﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；
由图1知，f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5无解；
f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0，故n=3；
故m+n=10；
故选：B．
点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
9. 已知函数f（x）=sinx﹣x，则不等式f（x+2）+f（1﹣2x）＜0的解集是（）
A. B. C. （3，+∞） D. （﹣∞，3）
【答案】D
【解析】解：函数f（x）=sinx﹣x，其定义域为R，且f（﹣x）=sin（﹣x）﹣（﹣x）=﹣（sinx ﹣x），
则函数f（x）是定义在R上的奇函数，
导函数是f'（x）=cosx﹣1≤0，所以f（x）=sinx﹣x是减函数，
不等式f（x+2）+f（1﹣2x）＜0⇒f（x+2）＜f（2x﹣1），
即x+2＞2x﹣1⇒x＜3，
故选：D．
10. 函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，若||=5，则（）
A. ω=，φ=
B. ω=φ=
C. ω=，φ=
D. ω=6，φ=
【答案】B
【解析】解：根据函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，可得
|AB|==5，∴T==6，∴ω=．
再根据2cosφ=1，可得cosφ=，∴ω=，
故选：B．
点睛：已知函数的图象求解析式
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.
11. 若定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，则不等式f（log4x）+f（log0.25x）≤2f（1）的解集为（）
A. [，2]
B. [，4]
C. [，2]
D. [，4]
【答案】B
【解析】解：根据题意，f（log4x）+f（log0.25x）≤2f（1）⇔f（log4x）+f（﹣log4x）≤2f（1），
又由函数f（x）为R上的偶函数，则有f（log
4x）=f（log
4
x）=f（|log
4
x|），则原不等式可
以转化为f（|log
4
x|）≤f（1），
又由函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，则f（|log
4x|）≤f（1）⇒|log
4
x|≤1，即﹣1≤log
4
x
≤1，
解可得≤x≤4，
即不等式的解集为[，4]，
故选：B．
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内；
12. 如图，将一半径为2的半圆形纸板裁剪成等腰梯形ABCD的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则所得梯形面积的最大值为（）
A. 3
B. 3
C. 5
D. 5
【答案】A
【解析】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．
设∠AOD=θ，θ∈．
OE=2cosθ，DE=2sinθ．
可得CD=2OE=4cosθ，
∴梯形ABCD的面积S=（4+4cosθ）•2sinθ
=4sinθ（1+cosθ），
S′=4（cosθ+cos2θ﹣sin2θ）
=4（2cos2θ+cosθ﹣1）
=4（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．
∵θ∈．∴cosθ∈（0，1）．
∴当cosθ=即θ=时，S取得最大值，S=3．
故选：A．
点睛：求函数最值的五种常用方法，（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
13. 若=m，lg6=n，则102m﹣n=_____．
【答案】
【解析】解：∵==m，lg6=n，
∴102m﹣n==
故答案为：．
14. 已知3x+x3=100，[x]表示不超过x的最大整数，则[x]=_____．
【答案】3
【解析】解：因为函数y=3x与y=x3在R上都是增函数，
所以f（x）=3x+x3在R上也是增函数．
又因为f（3）=54＜100，f（4）=145＞100，3x+x3=100，
所以3＜x＜4，
所以[x]=3．
故答案为：3
15. 已知定义在R上的可导函数f（x）满足f'（x）＜1，若f（2﹣m）﹣f（m）＞2﹣2m，则实数m的取值范围是_____．
【答案】（1，+∞），
【解析】解：设g（x）=f（x）﹣x，则g′（x）=f′（x）﹣1，
∵f（x）满足f′（x）＜1，
∴g′（x）=f′（x）﹣1＜0，
即函数g（x）在定义域上为减函数，
若f（2﹣m）﹣f（m）＞2﹣2m，
则f（2﹣m）﹣f（m）＞（2﹣m）﹣m，
即f（2﹣m）﹣（2﹣m）＞f（m）﹣m，
即g（2﹣m）＞g（m），
则2﹣m＜m，得m＞1，
故实数m的取值范围是（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）．
16. 在正△ABC内有一点M满足，且∠MCA=45°，则=_____．
【答案】
【解析】解：过M作DM∥BC交AC于D，作EM∥AC交BC于E，
则
∴
在△CDM中，∠MCD=45°，∠CMD=15°，
∴
故答案为：．
三．解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知sin﹣2cos=0．
（Ⅰ）求tanx的值；
（Ⅱ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解答】解：（Ⅰ）由sin﹣2cos=0，得tan=2．
∴tanx=；
（Ⅱ）=
=
=（﹣）+1=．
【解析】略
18. 已知幂函数y=f（x）的图象过点（8，m）和（9，3）．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=log a f（x）（a＞0，a≠1）在区间[16，36]上的最大值比最小值大1，求实数a的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解答】解：（Ⅰ）由题意，y=f（x）是幂函数，设f（x）=xα，图象过点（8，m）和（9，3）
可得9α=3，所以α=，
故f（x）=．
∴m=f（8）=2．
故得m的值为2．
（Ⅱ）函数g（x）=log a f（x）即为g（x）=，
∵x在区间[16，36]上，
∴∈[4，6]，
①当0＜a＜1时，g（x）min=log a6，g（x）max=log a4，
由log a4﹣log a6=log a=1，
解得a=；
②当a＞1时，g（x）min=log a4，g（x）max=log a6，
由log a6﹣log a4=log a=1，
解得a=．
综上可得，实数a的值为或．
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意y=f（x）是幂函数，设设f（x）=xα，图象过点（8，m）和（9，3）即可求解m的值．
f（x）在区间[16，36]上的最大值比最小值大1，对底数进行讨论，（Ⅱ）函数g（x）=log
a
利用单调性求最值，可得实数a的值．
试题解析：解：（Ⅰ）由题意，y=f（x）是幂函数，设f（x）=xα，图象过点（8，m）和（9，3）可得9α=3，所以α=，
故f（x）=．
∴m=f（8）=2．
故得m的值为2．
f（x）即为g（x）=，
（Ⅱ）函数g（x）=log
a
∵x在区间[16，36]上，
∴∈[4，6]，
①当0＜a＜1时，g（x）
min =log
a
6，g（x）
max
=log
a
4，
由log
a 4﹣log
a
6=log
a
=1，
解得a=；
②当a＞1时，g（x）
min =log
a
4，g（x）
max
=log
a
6，
由log
a 6﹣log
a
4=log
a
=1，
解得a=．
综上可得，实数a的值为或．
19. 已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣m，﹣3﹣m）．
（Ⅰ）若点A，B，C不能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（Ⅱ）若△ABC为直角三角形，且C为直角，求实数m的值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解答】解：（Ⅰ）依题意，可得=（3，1），=（2﹣m，1﹣m），
若点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线，
∴∥，
∴3（1﹣m）﹣（2﹣m）=0，解得m=；
（Ⅱ））∵=（2﹣m，1﹣m），=（﹣1﹣m，﹣m），=0，
∴（2﹣m）（﹣1﹣m）+（1﹣m）（﹣m）=0，
解得m=．
（Ⅱ）利用向量垂直的充要条件，可得（2﹣m）（﹣1﹣m）+（1﹣m）（﹣m）=0，即可得到结论试题解析：解：（Ⅰ）依题意，可得=（3，1），=（2﹣m，1﹣m），
若点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线，
∴∥，
∴3（1﹣m）﹣（2﹣m）=0，解得m=；
（Ⅱ））∵=（2﹣m，1﹣m），=（﹣1﹣m，﹣m），=0，
∴（2﹣m）（﹣1﹣m）+（1﹣m）（﹣m）=0，
解得m=．
20. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA+cosA=2．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=．试从中选出两个可以确△ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC的面积．（只写出一个方案即可）
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）选择①②,
【解答】解：（Ⅰ）依题意得2sin（A+）=2，即sin（A+）=1，
∵0＜A＜π，
∴＜A+＜，
∴A+=，
∴A=．
（Ⅱ）选择①②由正弦定理=，得b=•sinB=2，
∵A+B+C=π，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+，
∴S=absinC=×2×2×=+1．
【解析】试题分析：（1）根据题目条件，利用辅助角公式，再结合是三角形的内角，即可求出的大小；（2）根据（1）的结论，利用条件①，②，并结合正弦定理，即可求出边，进而可求出边和角，从而可确定,并可以求得其面积.
试题解析：（1）由，得
因为，所以，
所以，即
（2）方案一：选①和②
由正弦定理得，
又，
的面积为
方案二：选①和③
由余弦定理得，
则，
解得，于是
的面积为
考点：1、辅助角公式；2、三角形面积；3、正弦定理，余弦定理.
21. 已知函数f（x）=有极值．
（Ⅰ）求实数c的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜+2d恒成立，求实数d的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．
【解答】解（Ⅰ）∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，
∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，
从而△=1﹣4c＞0，
∴c＜．
（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值，
∴f′（2）=4﹣2+c=0，
∴c=﹣2．
∴f（x）=x3﹣x2﹣2x+d，
∵f′（x）=x2﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），
∴当x∈（﹣∞，﹣1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（﹣1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．
∴x＜0时，f（x）在x=﹣1处取得最大值+d，
∵x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，
∴+d＜d2+2d，即（d+7）（d﹣1）＞0，
∴d＜﹣7或d＞1，
即d的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．
【解析】（1）∵，∴
要使有极值，则方程有两个实数解，
从而△＝，∴．
（2）∵在处取得极值，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减．
∴时，在处取得最大值，
∵时，恒成立，
∴，即，
∴或，即的取值范围是．
22. 已知实数λ＞0，设函数f（x）=eλx﹣x．
（Ⅰ）当λ=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥0恒成立，求λ的最小值．【答案】（Ⅰ）极小值是1；（Ⅱ）
【解答】解：（Ⅰ）λ=1时，函数f（x）=e x﹣x，f′（x）=e x﹣1，
令f′（x）＜0，解得：x＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞0，
故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
故f（x）无极大值，只有极小值，且极小值是f（0）=1；
（Ⅱ）x＞0时，f（x）≥0⇔λ≥，
令g（x）=，g′（x）=，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，
故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
故g（x）最大值=g（e）=，
故λ的最小值是．
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）问题转化为λ≥，令g（x）=，根据函数的单调性求出g（x）的最大值即λ的最小值即可．
试题解析：解：（Ⅰ）λ=1时，函数f（x）=e x﹣x，f′（x）=e x﹣1，
令f′（x）＜0，解得：x＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞0，
故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
故f（x）无极大值，只有极小值，且极小值是f（0）=1；
（Ⅱ）x＞0时，f（x）≥0⇔λ≥，
令g（x）=，g′（x）=，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，
故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
=g（e）=，
故g（x）
最大值
故λ的最小值是．
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.。