基本不等式教学讲义

基本不等式教学讲义
1．基本不等式
设a >0，b >0，则a 、b 的算术平均数为a ＋b
2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则：
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．
(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2
4(简记：和定积最大)．
注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．
3．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a
b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )． (4)⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 2
2(a ，b ∈R )， 2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R )．
(5)a2＋b2
2≥
(a＋b)2
4≥ab(a，b∈R)．
(6)a2＋b2
2≥
a＋b
2≥ab≥
2
1
a＋
1
b
(a>0，b>0)．
1．概念辨析
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b
2≥ab成立的条件是相同的．()
(2)函数y＝x＋1
x的最小值是2.()
(3)函数f(x)＝sin x＋
4
sin x的最小值为2.()
(4)x＞0且y＞0是x
y＋
y
x≥2的充要条件．()
答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小题热身
(1)已知f(x)＝x＋1
x－2(x<0)，则f(x)有()
A．最大值0 B．最小值0 C．最大值－4 D．最小值－4 答案 C
解析因为x<0，所以－x>0，
所以－x＋1
－x≥2(－x)·1
－x ＝2，当且仅当－x＝1
－x
即x＝－1时等号成
立．所以x ＋1x ≤－2.所以f (x )＝x ＋1
x －2≤－4.即f (x )有最大值－4.
(2)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 答案 C
解析 由基本不等式18＝x ＋y ≥2xy ⇔9≥xy ⇔xy ≤81，当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值81，故选C.
(3)已知lg a ＋lg b ＝2，则lg (a ＋b )的最小值为( ) A ．1＋lg 2 B ．2 2 C ．1－lg 2 D ．2 答案 A
解析 由lg a ＋lg b ＝2，可知a >0，b >0， 则lg (ab )＝2，即ab ＝100. 所以a ＋b ≥2ab ＝2100＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时取等号， 所以lg (a ＋b )≥lg 20＝1＋lg 2. 故lg (a ＋b )的最小值为1＋lg 2.
(4)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大．
答案 15 15
2
解析 设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤1
2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．
题型 一 利用基本不等式求最值
角度1 直接应用
1．(2019·沈阳模拟)已知a ＞b ＞0，求a 2＋1
b (a －b )的最小值．
解 ∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0. ∴a 2＋
1
b (a －b )
≥a 2＋1⎝
⎛⎭⎪
⎫b ＋a －b 22＝a 2＋4
a 2
≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b ，a 2
＝2，a ＞b ＞0，即a ＝2，b ＝22时取等号．
∴a 2＋
1
b (a －b )
的最小值是4.
角度2拼凑法求最值
2．求f(x)＝4x－2＋
1
4x－5⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x<
5
4的最大值．
解因为x＜5
4
，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋1
4x－5
＝－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
5－4x＋
1
5－4x
＋
3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝
1
5－4x
，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2
＋1
4x－5
的最大值为1.
角度3构造不等式求最值(多维探究)
3．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为()
A．3 B．4 C.9
2 D.
11
2
答案 B
解析 因为x >0，y >0，且x ＋2y ＋2xy ＝8， 所以x ＋2y ＝8－2xy ≥8－⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22
. 整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，
解得x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8.又x ＋2y >0，所以x ＋2y ≥4.故x ＋2y 的最小值为4.
条件探究 把举例说明3的条件“x ＋2y ＋2xy ＝8”改为“4xy －x －2y ＝4”，其他条件不变，求xy 的最小值．
解 因为x >0，y >0且4xy －x －2y ＝4，所以4xy －4＝x ＋2y ≥22xy . 整理可得2xy －2xy －2≥0.解得2xy ≥2即xy ≥2，所以xy 的最小值为2.
角度4 常数代换法求最值(多维探
究)
4．若直线x a ＋y
b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C
解析 解法一：因为直线x a ＋y
b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)， 所以1a ＋1b ＝1.
所以a ＋b ＝(a ＋b )·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b
a ＝4，当且仅当a ＝
b ＝2时
取“＝”，所以a＋b的最小值为4.
解法二：因为直线x
a ＋y
b
＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，
所以1
a ＋1
b
＝1，
所以b＝a
a－1
>0，所以a>1，a－1>0，
所以a＋b＝a＋a
a－1＝a＋
a－1＋1
a－1
＝a－1＋1
a－1
＋2
≥2(a－1)·1
a－1
＋2＝4.
当且仅当a－1＝1
a－1
即a＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4.
条件探究将举例说明4条件变为“x＞0，y＞0且1
x＋
9
y＝1”，求x＋y的最
小值．
解∵x＞0，y＞0，∴y＞9且x＝
y
y－9
.
∴x＋y＝y
y－9＋y＝y＋
y－9＋9
y－9
＝y＋9
y－9＋1＝(y－9)＋9
y－9
＋10.
∵y＞9，∴y－9＞0.
∴y－9＋9
y－9＋10≥2(y－9)·9
y－9
＋10＝16.
当且仅当y－9＝9
y－9
，即y＝12时取等号．
又1 x ＋9
y
＝1，则x＝4.
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
1．拼凑法求解最值应注意的问题
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件． 2．通过消元法求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．如举例说明4解法二．
3．常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．如举例说明4解法一．
(4)利用基本不等式求解最值．
1．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B.223 C.33 D.233 答案 B
解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x －x ，
∴x ＋y ＝2x 3＋1
3x ≥2
29＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．故选B.
2．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋1
8b 的最小值为________．
答案 14
解析 因为a －3b ＋6＝0，所以a －3b ＝－6,2a ＋18b ＝2a ＋1
23b ＝2a ＋2－
3b
≥2
2a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－6＝
1
4
⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当2a ＝18b ＝18，即a ＝－3，b ＝1时取等号，所以2a
＋18b 的最小值为14. 题型 二 基本不等式的综合应用
角度1 基本不等式中的恒成立问
题
1．当x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2时，2sin 2x －a sin2x ＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是
________．
答案 (－∞，3]
解析 当x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2时，sin2x >0，
原不等式可化为a sin2x ≤2sin 2x ＋1， a ≤2sin 2x ＋1
sin2x . 设f (x )＝2sin 2x ＋1
sin2x ，则
f (x )＝2sin 2x ＋sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x ＝32tan x ＋
12tan x . 因为x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，所以tan x >0.
所以f (x )＝32tan x ＋1
2tan x ≥2
32tan x ·12tan x ＝3，
当且仅当32tan x ＝12tan x ，即tan x ＝3
3时等号成立， 所以f (x )min ＝3，所以a ≤ 3.
角度2基本不等式与其他知识的综合问题
2．(2018·西安模拟)若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，则cos C的最小值是()
A.6－2
4 B.
6＋2
4
C.6－2
2 D.
6＋2
2
答案 A
解析由正弦定理，得a＋2b＝2c.
所以cos C＝a2＋b2－c2
2ab
＝
a2＋b2－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
a＋2b
2
2
2ab
＝3a2＋2b2－22ab
8ab≥
26ab－22ab
8ab
＝
6－2
4.
当且仅当3a2＝2b2，即3a＝2b时，等号成立．
所以cos C的最小值为6－2 4.
基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
(1)应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，结合函数的单调性进行大小的比较．
(2)利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主，如举例说明
1.
(3)与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个工
具，常出现于解三角形求最值、解析几何求最值问题等．如举例说明2.
1．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－∞，22－1)
C ．(－1,22－1)
D ．(－22－1,22－1)
答案 B
解析 由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x ＋2
3x . ∵3x ＋2
3x ≥22，∴k ＋1<22，即k <22－1.
2．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8
a n 的
最小值是( )
A.92
B.7
2 C ．22＋1
2 D ．22－1
2 答案 A
解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )
2， ∴S n ＋8a n ＝n (n ＋1)
2＋8n ＝
12⎝ ⎛⎭⎪⎫
n ＋16n ＋1 ≥12⎝
⎛
⎭
⎪⎫2n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n
的最小值是9
2.故选A.
题型 三 基本不等式在实际问题中的应用
某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂
的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－
k
m ＋1
(k 为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2017年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ，∴k ＝2，∴x ＝3－2
m ＋1
.
由题意可知每件产品的销售价格为1.5×8＋16x
x (元)， ∴2017年的利润y ＝1.5x ·8＋16x
x －8－16x －m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤
16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)∵当m ≥0时，
16
m ＋1
＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当
16
m ＋1
＝m ＋1，即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2017年的促销费用投入3(万元)时，厂家的利润最大为21万元．
利用基本不等式求解实际问题的求解策略
(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
提醒：利用基本不等式求最值时，一定要结合变量的实际意义验证等号是否
成立．
(2018·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．
答案 2 20
解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2
x (k 2≠0)，
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝ ⎛
⎭⎪⎫5x ＋20x 万元，
∵5x ＋20
x ≥2
5x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20
x ，即x ＝2时，运费与仓储费之
和最小，为20万元．。